復變函數與積分變換答案(馬柏林、李丹橫、晏華輝)修訂版-習題2

習題二1.求映射下圓周的像.解：設則因為,所以所以,所以即，表示橢圓.2.在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設或.（1）；（2）;(3)x=a,y=b.(a,b為實數)解：設所以(1)記，則映射成w平面內虛軸上從O到4i的一段，即(2)記，則映成了w平面上扇形域，即(3)記，則將直線x=a映成了即是以原點為焦點，張口向左的拋物線將y=b映成了即是以原點為焦點，張口向右拋物線如圖所示.3.求下列極限.(1);解：令,則.于是.(2);解：設z=x+yi，則有顯然當取不同的值時f(z)的極限不同所以極限不存在.（3）；解：=.證明：與（3）類似，由v=C1得因為f(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)為常數.5.|f(z)|=常數.證明：因為|f(z)|=C，對C進行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數.若C0，則f(z)0,但，即u2+v2=C2則兩邊對x,y分別求偏導數，有利用C-R條件，由于f(z)在D內解析，有所以所以即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數.(6)argf(z)=常數.證明：argf(z)=常數，即,于是得C-R條件→解得，即u,v為常數，于是f(z)為常數.8.設f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因為f(z)解析，從而滿足C-R條件.所以.9.試證下列函數在z平面上解析，并求其導數.(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i證明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導，處處解析..(2).證明：處處可微，且所以,所以f(z)處處可導，處處解析.10.設求證：(1)f(z)在z=0處連續(xù)． (2)f(z)在z=0處滿足柯西—黎曼方程． (3)f′(0)不存在．證明.(1)∵而∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0處連續(xù)．(2)考察極限當z沿虛軸趨向于零時，z=iy，有．當z沿實軸趨向于零時，z=x，有它們分別為∴∴滿足C-R條件．(3)當z沿y=x趨向于零時，有∴不存在．即f(z)在z=0處不可導．11.設區(qū)域D位于上半平面，D1是D關于x軸的對稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內解析，求證在區(qū)域D1內解析．證明：設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因為f(z)在區(qū)域D內解析．所以u(x,y),v(x,y)在D內可微且滿足C-R方程，即．，得故φ(x,y),ψ(x,y)在D1內可微且滿足C-R條件從而在D1內解析13.計算下列各值(1)e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)(2)(3)(4)14.設z沿通過原點的放射線趨于∞點，試討論f(z)=z+ez的極限．解：令z=reiθ， 對于θ，z→∞時，r→∞． 故． 所以．15.計算下列各值．(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16.試討論函數f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導性．解：顯然g(z)=|z|在復平面上連續(xù)，lnz除負實軸及原點外處處連續(xù)．設z=x+iy，在復平面內可微．故g(z)=|z|在復平面上處處不可導．從而f(x)=|z|+lnz在復平面上處處不可導．f(z)在復平面除原點及負實軸外處處連續(xù)．17.計算下列各值．(1)(2)(3)18.計算下列各值(1)(2)(3)(4)(5)(6)19.求解下列方程(1)sinz=2．解：(2)解：即(3)解：即(4)解：．20.若z=x+iy，求證(1)sinz=sinxchy+icosx?shy證明：(2)cosz=cosx?chy-isinx?shy證明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y證明： (4)|cosz|2=cos2x+sh2y證明： 21.證明當y→∞時，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于