模糊數(shù)學(xué)課件

模糊集的基本概念

模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方法.眾所周知，經(jīng)典數(shù)學(xué)是以精確性為特徵的.

然而，與精確形相悖的模糊性並不完全是消極的、沒(méi)有價(jià)值的.甚至可以這樣說(shuō)，有時(shí)模糊性比精確性還要好.

例如,要你某時(shí)到某地去迎接一個(gè)“大鬍子高個(gè)子長(zhǎng)頭髮戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”.

儘管這裏只提供了一個(gè)精確資訊――男人，而其他資訊――大鬍子、高個(gè)子、長(zhǎng)頭髮、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經(jīng)過(guò)頭腦的綜合分析判斷，就可以接到這個(gè)人.

模糊數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用幾乎涉及到國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域及部門，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等方面都有模糊數(shù)學(xué)的廣泛而又成功的應(yīng)用.§1.2模糊理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)經(jīng)典集合經(jīng)典集合具有兩條基本屬性：元素彼此相異，即無(wú)重複性；範(fàn)圍邊界分明,即一個(gè)元素x要麼屬於集合A(記作x

A),要麼不屬於集合(記作x

A)，二者必居其一.

集合的表示法：

(1)枚舉法，A={x1,x2,…,xn}；

(2)描述法，A={x|P(x)}.

A

B

若x

A，則x

B；

A

B

若x

B，則x

A；

A=B

A

B且A

B.

集合A的所有子集所組成的集合稱為A的冪集，記為

(A).並集A∪B={x|x

A或x

B}；交集A∩B={x|x

A且x

B}；餘集Ac

={x|x

A}.集合的運(yùn)算規(guī)律冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；

吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U

，A∩U=A

；

A∪

=A

，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；對(duì)偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；

排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=

；U為全集，

為空集.集合的直積：

X

Y={(x,y)|x

X,y

Y

}.映射與擴(kuò)張映射f：X

Y集合A的特徵函數(shù)：特徵函數(shù)滿足：取大運(yùn)算,如2∨3=3取大運(yùn)算,如2∧3=2擴(kuò)張：點(diǎn)集映射集合變換二元關(guān)係

X

Y的子集R稱為從X到Y(jié)的二元關(guān)係，特別地，當(dāng)X=Y時(shí)，稱之為X上的二元關(guān)係.二元關(guān)係簡(jiǎn)稱為關(guān)係.

若(x,y)R，則稱x與y有關(guān)係，記為R(x,y)=1；

若(x,y)R，則稱x與y沒(méi)有關(guān)係，記為R(x,y)=0.

映射R:X

Y{0,1}實(shí)際上是X

Y的子集R上的特徵函數(shù).關(guān)係的三大特性：

設(shè)R為X上的關(guān)係

(1)自反性：若X上的任何元素都與自己有關(guān)係R，即R(x,x)=1，則稱關(guān)係R具有自反性；

(2)對(duì)稱性：對(duì)於X上的任意兩個(gè)元素x,y，若x與y有關(guān)系R時(shí)，則y與x也有關(guān)系R，即若R(x,y)=1，則R(y,x)=1，那麼稱關(guān)係R具有對(duì)稱性；

(3)傳遞性：對(duì)於X上的任意三個(gè)元素x,y,z，若x與y有關(guān)系R，y與z也有關(guān)系R時(shí)，則x與z也有關(guān)系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，則R(x,z)=1，那麼稱關(guān)係R具有傳遞性.

關(guān)係的矩陣表示法

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R為從X到Y(jié)的二元關(guān)係，記rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，則R為布爾矩陣(Boole)，稱為R的關(guān)係矩陣.

布爾矩陣(Boole)是元素只取0或1的矩陣.關(guān)係的合成

設(shè)R1是X到Y(jié)的關(guān)係,R2是Y到Z的關(guān)係,則R1與R2的合成R1°

R2是X到Z上的一個(gè)關(guān)係.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}關(guān)係合成的矩陣表示法

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y(jié)的關(guān)係R1=(aik)m×s，Y到Z的關(guān)係R2=(bkj)s×n，則X到Z的關(guān)係可表示為矩陣的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.

定義：若R為n階方陣，定義R2

=R°

R，R3

=R2

°

R…

例設(shè)X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y(jié)的關(guān)係,R2是Y到Z的關(guān)係,R1={(x,y)|x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(x,y)|y–

z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},則R1與R2的合成R1°

R2={(x,y)|x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.合成(°

)運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(A°B)°C=A°(B°C)；性質(zhì)2：Ak

°Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質(zhì)3：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質(zhì)5：A≤B，C≤D

A°C≤B°D.O為零矩陣，I為n階單位方陣.A≤B

aij≤bij

.關(guān)係三大特性的矩陣表示法：

設(shè)R為X={x1,x2,…,xn}

上的關(guān)係，則其關(guān)係矩陣R=(rij)n×n

為n階方陣.(1)R具有自反性

I≤R；(2)R具有對(duì)稱性

RT

=R

；(3)R具有傳遞性

R2≤R

.

若R具有自反性，則

I≤R≤R2≤R3≤…下麵證明：R具有傳遞性

R2≤R.R=(rij)n×n

設(shè)R具有傳遞性,即對(duì)任意的i,j,k，若有rij=1，rjk=1，則有rik=1.

對(duì)任意的i,j，若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=0，則∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij.

若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=1，則存在1≤s≤n，使得(ris∧rsj)=1，即ris=1,rsj=1.

由於R具有傳遞性，則rij=1，所以∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=rij.綜上所述

R2≤R.

設(shè)R2≤R，則對(duì)任意的i,j,k，若有

rij=1，rjk=1，即(rij∧rjk)=1，因此∨{(ris∧rsk)|1≤s≤n}=1，

由R2≤R，得rik=1，所以R具有傳遞性.集合上的等價(jià)關(guān)係

設(shè)

X上的關(guān)係R具有自反性、對(duì)稱性、傳遞性，則稱R為X上的等價(jià)關(guān)係.

若x與y有等價(jià)關(guān)係R，則記為x

y.集合上的等價(jià)類

設(shè)

R是X上的等價(jià)關(guān)係，x

X.定義x的等價(jià)類：[x]R={y|y

X

，y

x}.集合的分類

設(shè)

X是非空集，Xi

是X的非空子集，若∪Xi=X，且Xi∩Xj

=

(i

j)，則稱集合族{Xi

}是集合X的一個(gè)分類.

定理：集合X上的任一個(gè)等價(jià)關(guān)係R可以確定X的一個(gè)分類.即

(1)任意x

X，[x]R非空；

(2)任意x,y

X，若x與y沒(méi)有關(guān)係R，則[x]R∩[y]R=

；

(3)X=∪[x]R.

證:(1)由於R具有自反性，所以x∈[x]R，即[x]R非空.

(2)假設(shè)[x]R∩[y]R

,取z∈[x]R∩[y]R，則z與x有關(guān)系R，與y也有關(guān)系R.由於R具有對(duì)稱性，所以x與z有關(guān)系R，z與y也有關(guān)系R.又由於R具有傳遞性，x與y也有關(guān)系R.這與題設(shè)矛盾.

(3)略.例設(shè)X={1,2,3,4},定義關(guān)係R1：xi＜xj；R2

：xi+xj為偶數(shù)；R3

：xi+xj=5.

則關(guān)係R1是傳遞的，但不是自反的，也不是對(duì)稱的；容易驗(yàn)證關(guān)係R2是X上的等價(jià)關(guān)係；關(guān)係R3是對(duì)稱和傳遞的，但不是自反的.按關(guān)係R2可將X分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，即X={1,3}∪{2,4}.按關(guān)係R3可將X分為兩類，即X={1,4}∪{2,3}.格

設(shè)在集合L中規(guī)定了兩種運(yùn)算∨與∧,並滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：冪等律：a∨a=a

，a∧a=a

；交換律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a；結(jié)合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，

(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

；吸收律：a∨(a∧b)

=a，

a∧(a∨b)

=a.則稱L是一個(gè)格，記為(L,∨,∧).

設(shè)(L,∨,∧)是一個(gè)格，如果它還滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：分配律：(a∨b)∧c=(a∧c)∨(b∧c),

(a∧b)∨c=(a∨c)∧(b∨c).則稱

(L,∨,∧)為分配格.

若格(L,∨,∧)滿足：

0-1律：在L中存在兩個(gè)元素0與1，且a∨0=a，a∧0=0，a∨1=1，a∧1=a，則稱

(L,∨,∧)有最小元0與最大元1，此時(shí)又稱

(L,∨,∧)為完全格.

若在具有最小元0與最大元1的分配格

(L,∨,∧)中規(guī)定一種餘運(yùn)算c，滿足：還原律：(ac)c=a；互餘律：a∨ac=1，a∧ac=0，則稱(L,∨,∧,c)為一個(gè)Boole代數(shù).

若在具有最小元0與最大元1的分配格

(L,∨,∧)中規(guī)定一種餘運(yùn)算c，滿足：還原律：(ac)c=a

；對(duì)偶律：(a∨b)c=ac∧bc，

(a∧b)c

=ac∨bc，則稱(L,∨,∧,c)

為一個(gè)軟代數(shù).

例1任一個(gè)集合A的冪集

(A)是一個(gè)完全格.

格中的最大元為A(全集)，最小元為

(空集)，並且(J(A),∪,∩,

c)

既是一個(gè)Boole代數(shù)，也是一個(gè)軟代數(shù).

例2記[0,1]上的全體有理數(shù)集為Q，則(Q,∨,∧)是一個(gè)完全格.

格中的最大元為1，最小元為0.

若在Q中定義餘運(yùn)算c為ac

=1-

a，則(Q,∨,∧,c)

不是一個(gè)Boole代數(shù)，但它是一個(gè)軟代數(shù).§1.3模糊子集及其運(yùn)算模糊子集與隸屬函數(shù)

設(shè)U是論域，稱映射A(x)：U→[0,1]確定了一個(gè)U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對(duì)A的隸屬程度.

使A(x)=0.5的點(diǎn)x稱為A的過(guò)渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性.

當(dāng)映射A(x)只取0或1時(shí)，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特徵函數(shù).可見(jiàn)經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.

例設(shè)論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人的身高，那麼U上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為也可用Zadeh表示法：模糊集的運(yùn)算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：A

B

A(x)≤B(x)；並：A∪B的隸屬函數(shù)為

(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隸屬函數(shù)為

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；餘：Ac的隸屬函數(shù)為Ac(x)=1-

A(x).

例設(shè)論域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定義兩個(gè)模糊集：A=“商品品質(zhì)好”，B=“商品品質(zhì)壞”，並設(shè)A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).則Ac=“商品品質(zhì)不好”,Bc=“商品品質(zhì)不壞”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可見(jiàn)Ac

B,

Bc

A.

又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)

U,

A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.模糊集的並、交、餘運(yùn)算性質(zhì)

冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；對(duì)偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，

(A∩B)c=Ac∪Bc；

對(duì)偶律的證明：對(duì)於任意的x

U(論域)，

(A∪B)c(x)=1-

(A∪B)(x)=1-

(A(x)∨B(x))=(1-

A(x))∧(1-

B(x))=Ac(x)∧Bc(x)

=Ac∩Bc(x)

模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了排中律以外，即A∪Ac

U，A∩Ac

.

模糊集不再具有“非此即彼”的特點(diǎn)，這正是模糊性帶來(lái)的本質(zhì)特徵.§1.4模糊集的基本定理(A)

=A

={x|A(x)≥

}

-截集：

模糊集的

-截集A

是一個(gè)經(jīng)典集合，由隸屬度不小於

的成員構(gòu)成.

例：論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(學(xué)生集)，他們的成績(jī)依次為50,60,70,80,90,95，A=“學(xué)習(xí)成績(jī)好的學(xué)生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，則A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.

定理1設(shè)A,B(U)(A,B是論域U的兩個(gè)模糊子集)，,[0,1]，於是有

-截集的性質(zhì)：(1)A

B

A

B

；(2)

≤

A

A

；(3)(A∪B)

=A

∪B

，(A∩B)

=A

∩B

.定理2(分解定理)設(shè)A(U)，

x

A，則A(x)=∨{

，

[0,1]，x

A

}定義(擴(kuò)張?jiān)?設(shè)映射f：X

Y，定義f(A)(y)=∨{A(x)，f(x)=y

}§1.5隸屬函數(shù)的確定1.模糊統(tǒng)計(jì)方法

與概率統(tǒng)計(jì)類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的點(diǎn)”是否落在“不動(dòng)的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的圈”是否蓋住“不動(dòng)的點(diǎn)”.2.指派方法

一種主觀方法，一般給出隸屬函數(shù)的解析運(yùn)算式。3.借用已有的“客觀”尺度

擴(kuò)展原理，又稱擴(kuò)張?jiān)?，是模糊集理論的基礎(chǔ)原理，它將一個(gè)X到Y(jié)的映射f擴(kuò)展成一個(gè)F(X)到F(Y)的映射（也稱X到Y(jié)的模糊映射）.擴(kuò)展原理§1擴(kuò)展原理的幾種表示形式一、經(jīng)典擴(kuò)展原理二、擴(kuò)展原理

集合套的觀點(diǎn)由表現(xiàn)定理,一個(gè)集合套唯一確定一個(gè)模糊集.由表現(xiàn)定理,一個(gè)集合套唯一確定一個(gè)模糊集.擴(kuò)展原理I定理1擴(kuò)展原理III證明(1)擴(kuò)展原理II擴(kuò)展原理I(2)擴(kuò)展原理II擴(kuò)展原理I經(jīng)典擴(kuò)展原理性質(zhì)經(jīng)典擴(kuò)展原理性質(zhì)模糊集合論中擴(kuò)展原理的性質(zhì)可達(dá)擴(kuò)展原理III定理2（複合函數(shù)的擴(kuò)展原理）一元擴(kuò)展原理§2多元擴(kuò)展原理一元擴(kuò)展原理多元擴(kuò)展原理二元擴(kuò)展原理回顧一元擴(kuò)展原理定理1模糊集的卡氏積隸屬函數(shù)為定理2證明 僅證(1)式同理可證(2)式成立.定理3證明一元擴(kuò)展定理I定理2集合套的觀點(diǎn)隸屬函數(shù)的觀點(diǎn)集合套的觀點(diǎn)二元擴(kuò)展原理I二元擴(kuò)展原理II二元擴(kuò)展原理III二元擴(kuò)展原理隸屬函數(shù)為實(shí)數(shù)集上的模糊集之間的代數(shù)運(yùn)算

模糊關(guān)係§1模糊關(guān)係一、經(jīng)典集合論中的關(guān)係二、模糊關(guān)係定義三、截關(guān)係1.定義§2 二元對(duì)比排序

二元對(duì)比排序的思想在前面第二章已做過(guò)簡(jiǎn)要介紹，此處從略.§3 模糊關(guān)係的合成一、經(jīng)典關(guān)係的合成二、模糊關(guān)係的合成1.定義定義（複合）下麵我們用關(guān)係套來(lái)研究模糊關(guān)係合成.利用經(jīng)典關(guān)係的合成，由表現(xiàn)定理，H可以唯一確定一個(gè)模糊集.定理1合成運(yùn)算的兩種定義方式(1)隸屬函數(shù)(2)集合套有限論域上的模糊關(guān)係的合成

有限論域上的模糊關(guān)係可以用模糊矩陣來(lái)表示.

有限論域上的模糊關(guān)係合成可以用模糊矩陣的乘積來(lái)表示.三、模糊關(guān)係合成運(yùn)算的性質(zhì)性質(zhì)1（結(jié)合律）推論性質(zhì)2推論性質(zhì)3次分配律合成運(yùn)算不滿足交換律.四、逆關(guān)係的定義1.定義2.逆關(guān)係的性質(zhì)§4模糊等價(jià)關(guān)係

一、經(jīng)典等價(jià)關(guān)係與分類二、模糊等價(jià)關(guān)係定義1定理1模糊等價(jià)矩陣三、模糊相似關(guān)係定義1定理1證明(1)同理證明(2)推論1定義2定理2分析定理3推論1定理4定理5平方法從模糊相似矩陣出發(fā)，求傳遞閉包的方法.聚類分析使用數(shù)學(xué)方法對(duì)事物進(jìn)行分類.§5聚類分析(1)數(shù)量積法(2)最大最小法(3)算術(shù)平均最小法(4)幾何平均最小法(5)絕對(duì)值指數(shù)法(6)絕對(duì)值減數(shù)法(7)線段打分法

由第一步得到的模糊矩陣一般只滿足自反性和傳遞性.第二步聚類（一）傳遞閉包法二、聚類理論依據(jù)它們各自將X分類.§6用平方法求傳遞閉包的理論依據(jù)

直接聚類法的理論依據(jù)在§5已作介紹.

模糊關(guān)系方程

求綜合決策的逆問(wèn)題就是解模糊關(guān)係方程，它是模糊數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的內(nèi)容.

研究模糊關(guān)係方程的相容性及其解法就是我們第六章的主要內(nèi)容.一、模糊關(guān)係方程的一般形式

所以，我們只研究第一種形式的模糊關(guān)係方程.二、模糊關(guān)係方程的解的結(jié)構(gòu)模糊關(guān)係方程有解，即相容.解的全體組成模糊關(guān)係方程的解集.§1模糊關(guān)係方程相容性條件及其最大解若定義1定理1論域是有限集時(shí)模糊關(guān)係方程由定理1模糊關(guān)係方程可以寫成原方程有解的充分必要條件是特別地，模糊關(guān)係方程可以寫成有解的充分必要條件是模糊關(guān)係方程模糊關(guān)係方程有解的一個(gè)判別條件.例1

判斷下麵的模糊關(guān)係方程是否有解，若有解，求出其最大解.解原模糊關(guān)係方程有解（相容），最大解§2有限集上的模糊關(guān)係方程一、一般形式的模糊關(guān)係方程模糊關(guān)係方程定理2給出模糊關(guān)係方程定理2方程(II)有解的充分必要條件是擬極小解Xg擬極小解路徑g定理2分析 若原方程有解.由定理2，簡(jiǎn)化矩陣法——擬極小解路徑——擬極小解.總結(jié)第一章模糊集合的基本概念第二章模型識(shí)別第三章模糊關(guān)係第四章擴(kuò)展原理第五章模糊映射與模糊變換第六章模糊關(guān)係方程

模糊集合的基本概念

一、模糊集合論的起源§1預(yù)備知識(shí)

現(xiàn)實(shí)世界中遇到的對(duì)象分多是這種模糊的、不確定性的類型，模糊集合正反映了這類“亦此亦彼”的模糊性.

模糊數(shù)學(xué)是研究模糊現(xiàn)象的定量處理方法. 二、誕生時(shí)間、標(biāo)誌L.A.Zadeh1965InformationandControlFuzzySets

為了與模糊集合相區(qū)別，將我們所熟悉的普通的集合稱之為普通集合、經(jīng)典集合、分明集合.思考： 如何將集合的定義，由普通集合推廣到模糊集合.普通集合

元素對(duì)集合的屬於程度最小是零，此時(shí)隸屬度為0.

元素對(duì)集合的屬於程度最大是百分之百，此時(shí)隸屬度為1.普通集合§3模糊子集定義及運(yùn)算一、模糊子集的概念

以人的年齡作為論域X,模糊集表示“年老”,

表示“年輕”，不妨設(shè)X=[0,150].Zadeh給出它們的隸屬函數(shù)分別如下：例1Old\youngoldyoungZadeh記法2.序?qū)Ρ硎痉?.向量表示法二、模糊集合的表示方法三、模糊子集之間的關(guān)係與運(yùn)算

記X上的模糊子集的全體為,稱為X的模糊冪集.四、模糊集合與普通集合之間的關(guān)係五、模糊集合間的運(yùn)算規(guī)律

模糊集合間的並、交、補(bǔ)（餘）運(yùn)算具有如下的性質(zhì).1)冪等律2)交換律3)結(jié)合律4)吸收律5）分配律

6)零-壹律7)復(fù)原律8)對(duì)偶律注：模糊集的補(bǔ)運(yùn)算不滿足互補(bǔ)律，即不一定成立.§4 分解定理與表現(xiàn)定理一、截集與強(qiáng)截集1.定義2.性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)1'性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5例1解性質(zhì)6定義2性質(zhì)7

當(dāng) 時(shí),稱為正規(guī)模糊集.

下麵將要介紹的分解定理就是反映這一事實(shí)的. 先來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)積概念與性質(zhì).

從前面介紹的性質(zhì)可以看出當(dāng)從1逐漸下降趨於0，而不達(dá)到0時(shí)，是從的核Ker逐漸擴(kuò)展為的支集Supp.因此，我們可以將模糊集看作是其邊界在Ker和Supp之間遊移,即將模糊集看作是普通集合族 的總體.1.數(shù)積的概念與性質(zhì)其隸屬函數(shù)為二、分解定理定義定理1（分解定理I）證明2.分解定理定理2（分解定理II）定理3（分解定理III）三、表現(xiàn)定理定義1則稱H為X上的集合套.X上的全體集合套記作U(X).例1由分解定理III，可知定義2

在U(X)中定義並、交、補(bǔ)運(yùn)算如下設(shè)定理4（表現(xiàn)定理）§5 表現(xiàn)定理的證明例1定義1例2定義2

模糊聚類分析§2.1模糊矩陣

定義1

設(shè)R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，則稱R為模糊矩陣.

當(dāng)rij只取0或1時(shí)，稱R為布爾(Boole)矩陣.

當(dāng)模糊方陣R

=(rij)n×n的對(duì)角線上的元素rii都為1時(shí)，稱R為模糊自反矩陣.定義2設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩陣，相等：A

=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；並：A∪B

=(aij∨bij)m×n；交：A∩B

=(aij∧bij)m×n；餘：Ac

=(1-

aij)m×n.模糊矩陣的並、交、餘運(yùn)算性質(zhì)冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：

A∪O=A，A∩O=O；

A∪E=E，A∩E=A；還原律：(Ac)c=A；對(duì)偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,

(A∩B)c=Ac∪Bc.模糊矩陣的合成運(yùn)算與模糊方陣的冪

設(shè)A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，定義模糊矩陣A與B的合成為：A

°

B

=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊方陣的冪

定義：若A為n階方陣，定義A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.合成(°

)運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(A°

B)°C=A°(B°C)；性質(zhì)2：Ak

°

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質(zhì)3：A°

(B∪C)=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質(zhì)5：A≤B，C≤D

A°

C≤B°

D.注：合成(°

)運(yùn)算關(guān)於(∩)的分配律不成立，即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)模糊矩陣的轉(zhuǎn)置

定義設(shè)A=(aij)m×n,

稱AT

=(aijT

)n×m為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT

=aji.轉(zhuǎn)置運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(AT)T

=A；性質(zhì)2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性質(zhì)4：(Ac)T=(AT)c；性質(zhì)5：A≤B

AT≤BT.證明性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n.證明：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,

記(A°

B)T=(cijT

)n×m,AT

=(aijT

)s×m,

BT

=(bijT

)n×s,

由轉(zhuǎn)置的定義知,

cijT

=cji,aijT

=aji,bijT

=bji.

BT

°

AT=[∨(bikT∧akjT

)]n×m

=[∨(bki∧ajk)]n×m

=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m

=(cijT

)n×m=(A°

B)T.模糊矩陣的

-

截矩陣

定義7設(shè)A=(aij)m×n,對(duì)任意的

∈[0,1]，稱A

=(aij(

))m×n,為模糊矩陣A的

-

截矩陣,其中

當(dāng)aij≥

時(shí)，aij(

)=1；當(dāng)aij＜

時(shí)，aij(

)=0.

顯然，A的

-

截矩陣為布爾矩陣.

對(duì)任意的

∈[0,1]，有性質(zhì)1：A≤B

A

≤B

；性質(zhì)2：(A∪B)

=A

∪B

，(A∩B)

=A

∩B

；性質(zhì)3：(A°

B)

=A

°

B

；性質(zhì)4：(AT

)

=(A

)T.下麵證明性質(zhì)1：A≤B

A

≤B

和性質(zhì)3.性質(zhì)1的證明：A≤B

aij≤bij；當(dāng)

≤aij≤bij時(shí)，aij(

)=bij(

)=1；當(dāng)aij＜

≤bij時(shí)，aij(

)=0,bij(

)=1；當(dāng)aij≤bij＜

時(shí)，aij(

)=bij(

)=0；綜上所述aij(

)≤bij(

)時(shí)，故A

≤B

.性質(zhì)3的證明：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij(

)=1

cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥

,bkj≥

k,aik(

)=bkj(

)=1∨(aik(

)∧bkj(

))=1cij(

)=0

cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜

或bkj＜

k,aik(

)=0或bkj(

)=0∨(aik(

)∧bkj(

))=0所以,cij(

)=∨(aik(

)∧bkj(

)).(A°

B)

=A

°

B

.§2.2模糊關(guān)係

與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)係是普通關(guān)係的推廣.

設(shè)有論域X，Y，X

Y的一個(gè)模糊子集R稱為從X到Y(jié)的模糊關(guān)係.

模糊子集R的隸屬函數(shù)為映射R:X

Y[0,1].並稱隸屬度R(x,y)為

(x,y)關(guān)於模糊關(guān)係R的相關(guān)程度.

特別地，當(dāng)X=Y時(shí)，稱之為X上各元素之間的模糊關(guān)係.模糊關(guān)係的運(yùn)算

由於模糊關(guān)係R就是X

Y的一個(gè)模糊子集，因此模糊關(guān)係同樣具有模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì).設(shè)R，R1，R2均為從X到Y(jié)的模糊關(guān)係.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1

R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；並：R1∪R2的隸屬函數(shù)為

(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隸屬函數(shù)為(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；餘：Rc的隸屬函數(shù)為Rc(x,y)=1-

R(x,y).

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)對(duì)模糊關(guān)係“R1或者R2”的相關(guān)程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)對(duì)模糊關(guān)係“R1且R2”的相關(guān)程度，Rc(x,y)表示(x,y)對(duì)模糊關(guān)係“非R”的相關(guān)程度.模糊關(guān)係的矩陣表示

對(duì)於有限論域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，則X到Y(jié)模糊關(guān)係R可用m×n階模糊矩陣表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)關(guān)於模糊關(guān)係R的相關(guān)程度.

又若R為布爾矩陣時(shí),則關(guān)係R為普通關(guān)係,即xi與

yj之間要麼有關(guān)系(rij=1),要麼沒(méi)有關(guān)係(rij=0).

例設(shè)身高論域X={140,150,160,170,180}(單位：cm),體重論域Y={40,50,60,70,80}(單位：kg),下表給出了身高與體重的模糊關(guān)係.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81模糊關(guān)係的合成

設(shè)R1是X到Y(jié)的關(guān)係,R2是Y到Z的關(guān)係,則R1與R2的合成R1°

R2是X到Z上的一個(gè)關(guān)係.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，模糊關(guān)係的合成化為模糊矩陣的合成.

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y(jié)的模糊關(guān)係R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊關(guān)係R2=(bkj)s×n，則X到Z的模糊關(guān)係可表示為模糊矩陣的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊關(guān)係合成運(yùn)算的性質(zhì)性質(zhì)1：(A°B)°C=A°(B°C)；性質(zhì)2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；性質(zhì)4：A

B，C

D

A°C

B°D.注：(1)合成(°

)運(yùn)算關(guān)於(∩)的分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)這些性質(zhì)在有限論域情況下,就是模糊矩陣合成運(yùn)算的性質(zhì).§2.3模糊等價(jià)矩陣模糊等價(jià)關(guān)係

若模糊關(guān)係R是X上各元素之間的模糊關(guān)係，且滿足：

(1)自反性：R(x,x)=1；

(2)對(duì)稱性：R(x,y)=R(y,x)；

(3)傳遞性：R2

R,

則稱模糊關(guān)係R是X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)係.

當(dāng)論域X={x1,x2,…,xn}為有限時(shí),X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)係R就是模糊等價(jià)矩陣,即R滿足：I≤R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2≤R.R2≤R(

∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).模糊等價(jià)矩陣的基本定理

定理1

若R具有自反性(I≤R)和傳遞性(R2≤R),則R2=R.

定理2

若R是模糊等價(jià)矩陣,則對(duì)任意

∈[0,1]，R

是等價(jià)的Boole矩陣.

∈[0,1]，A≤B

A

≤B

；(A°B)

=A

°B

；(AT

)

=(A

)T

證明如下：

(1)自反性：I≤R

∈[0,1]，I

≤R

∈[0,1]，I

≤R

，即R

具有自反性；

(2)對(duì)稱性：RT=R

(RT)

=R

(R

)T=R

，即R

具有對(duì)稱性；

(3)傳遞性：R2≤R

(R

)2≤R

，即R

具有傳遞性.

定理3

若R是模糊等價(jià)矩陣,則對(duì)任意的0≤

＜

≤1,R

所決定的分類中的每一個(gè)類是R

決定的分類中的某個(gè)類的子類.

證明：對(duì)於論域X={x1,x2,…,xn}，若xi,xj按R

分在一類，則有rij(

)=1

rij≥

rij≥

rij(

)=1，即若xi,xj按R

也分在一類.

所以，R

所決定的分類中的每一個(gè)類是R

決定的分類中的某個(gè)類的子類.模糊相似關(guān)係

若模糊關(guān)係R是X上各元素之間的模糊關(guān)係，且滿足：

(1)自反性：R(x,x)

=1；

(2)對(duì)稱性：R(x,y)=R(y,x)

；則稱模糊關(guān)係R是X上的一個(gè)模糊相似關(guān)係.

當(dāng)論域X={x1,x2,…,xn}為有限時(shí)，X上的一個(gè)模糊相似關(guān)係R就是模糊相似矩陣，即R滿足：

(1)自反性：I≤R

(

rii=1

)；

(2)對(duì)稱性：RT=R

(

rij=rji

).模糊相似矩陣的性質(zhì)

定理1

若R是模糊相似矩陣，則對(duì)任意的自然數(shù)k，Rk也是模糊相似矩陣.

定理2

若R是n階模糊相似矩陣，則存在一個(gè)最小自然數(shù)k(k≤n)，對(duì)於一切大於k的自然數(shù)l，恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等價(jià)矩陣(R2k=Rk).此時(shí)稱Rk為R的傳遞閉包，記作t(R)=Rk.

上述定理表明，任一個(gè)模糊相似矩陣可誘導(dǎo)出一個(gè)模糊等價(jià)矩陣.平方法求傳遞閉包t(R)：R

R2

R4

R8

R16…§2.4模糊聚類分析數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}為被分類對(duì)象,每個(gè)對(duì)象又由m個(gè)指標(biāo)表示其形狀:xi

={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n於是,得到原始數(shù)據(jù)矩陣為平移?

標(biāo)準(zhǔn)差變換其中平移?

極差變換模糊相似矩陣建立方法相似係數(shù)法----夾角余弦法相似係數(shù)法----相關(guān)係數(shù)法其中距離法rij=1–cd(xi,xj)其中c為適當(dāng)選取的參數(shù).海明距離歐氏距離切比雪夫距離d(xi,xj)=∨{|xik-

xjk|,1≤k≤m}Boole矩陣法：

定理：設(shè)R是論域X={x1,x2,…,xn}上的一個(gè)相似的Boole矩陣，則R具有傳遞性(當(dāng)R是等價(jià)Boole矩陣時(shí))

矩陣R在任一排列下的矩陣都沒(méi)有形如的特殊子矩陣.Boole矩陣法的步驟如下：(1)求模糊相似矩陣的

-截矩陣R

；(2)若R

在某一排列下的矩陣有形如的特殊子矩陣,則將R

中上述特殊形式子矩陣的0改為1，直到在任一排列下R

中不再產(chǎn)生上述特殊形式子矩陣為止.最佳分類的確定

在模糊聚類分析中，對(duì)於各個(gè)不同的

∈[0,1]，可得到不同的分類，從而形成一種動(dòng)態(tài)聚類圖，這對(duì)全面瞭解樣本分類情況是比較形象和直觀的.

但在許多實(shí)際問(wèn)題中，需要給出樣本的一個(gè)具體分類，這就提出了如何確定最佳分類的問(wèn)題.

設(shè)X

=(xij)n×m為n個(gè)元素m個(gè)指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)矩陣.

為總體樣本的中心向量.

對(duì)應(yīng)於

值的分類數(shù)為r，第j類的樣本數(shù)為nj，第j類的樣本標(biāo)記為第j類樣本的中心向量為作F-

統(tǒng)計(jì)量：

如果滿足不等式F＞F

(r-1,n-r)的F值不止一個(gè)，則可根據(jù)實(shí)際情況選擇一個(gè)滿意的分類，或者進(jìn)一步考查差(F-F

)/F

的大小，從較大者中找一個(gè)滿意的F值即可.

實(shí)際上，最佳分類的確定方法與聚類方法無(wú)關(guān)，但是選擇較好的聚類方法，可以較快地找到比較滿意的分類.

模糊模型識(shí)別§3.1模糊模型識(shí)別模型識(shí)別

已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事物中的一個(gè)具體對(duì)象，問(wèn)把它歸到哪一模型，這就是模型識(shí)別.

模型識(shí)別在實(shí)際問(wèn)題中是普遍存在的.例如，學(xué)生到野外採(cǎi)集到一個(gè)植物標(biāo)本，要識(shí)別它屬於哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機(jī))在分揀信件時(shí)要識(shí)別郵遞區(qū)號(hào)等等，這些都是模型識(shí)別.模糊模型識(shí)別

所謂模糊模型識(shí)別,是指在模型識(shí)別中,模型是模糊的.也就是說(shuō),標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中提供的模型是模糊的.模型識(shí)別的原理

為了能識(shí)別待判斷的對(duì)象x=(x1,x2,…,xn)T是屬於已知類A1,A2,…,Am中的哪一類？

事先必須要有一個(gè)一般規(guī)則,一旦知道了x的值,便能根據(jù)這個(gè)規(guī)則立即作出判斷,稱這樣的一個(gè)規(guī)則為判別規(guī)則.

判別規(guī)則往往通過(guò)的某個(gè)函數(shù)來(lái)表達(dá),我們把它稱為判別函數(shù),記作W(i;x).

一旦知道了判別函數(shù)並確定了判別規(guī)則，最好將已知類別的對(duì)象代入檢驗(yàn)，這一過(guò)程稱為回代檢驗(yàn)，以便檢驗(yàn)?zāi)愕呐袆e函數(shù)和判別規(guī)則是否正確.§3.2最大隸屬原則模糊向量的內(nèi)積與外積

定義稱向量a=(a1,a2,…,an)是模糊向量,其中0≤ai≤1.

若ai只取0或1,則稱a=(a1,a2,…,an)是Boole向量.

設(shè)a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn)都是模糊向量，則定義

內(nèi)積：a

°

b

=∨{(ak∧bk)|1≤k≤n}；

外積：a⊙b

=∧{(ak∨bk)|1≤k≤n}.內(nèi)積與外積的性質(zhì)(a

°

b

)c=ac⊙bc

;(a⊙b

)c=ac

°

bc.模糊向量集合族

設(shè)A1,A2,…,An是論域X上的n個(gè)模糊子集,稱以模糊集A1,A2,…,An為分量的模糊向量為模糊向量集合族，記為A=(A1,A2,…,An).

若X上的n個(gè)模糊子集A1,A2,…,An的隸屬函數(shù)分別為A1(x),A2(x),…,An(x),則定義模糊向量集合族A=(A1,A2,…,An)的隸屬函數(shù)為A(x)=∧{A1(x1),A2(x2),…,An(xn)}或者A(x)=[A1(x1)+A2(x2)+…+An(xn)]/n.其中x=(x1,x2,…,xn)為普通向量.最大隸屬原則

最大隸屬原則Ⅰ設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}上有m個(gè)模糊子集A1,A2,…,Am(即m個(gè)模型),構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù),若對(duì)任一x0∈X,有k∈{1,2,…,m},使得Ak(x0)=∨{A1(x0),A2(x0),…,Am(x0)}，則認(rèn)為x0相對(duì)隸屬於Ak.

最大隸屬原則Ⅱ設(shè)論域X上有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型A,待識(shí)別的對(duì)象有n個(gè)：x1,x2,…,xn∈X,

如果有某個(gè)xk滿足A(xk)=∨{A(x1),A(x2),…,A(xn)},

則應(yīng)優(yōu)先錄取xk.

例1在論域X=[0,100]分?jǐn)?shù)上建立三個(gè)表示學(xué)習(xí)成績(jī)的模糊集A=“優(yōu)”,B=“良”,C=“差”.當(dāng)一位同學(xué)的成績(jī)?yōu)?8分時(shí),這個(gè)成績(jī)是屬於哪一類？A(88)=0.8B(88)=0.7A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.

根據(jù)最大隸屬原則Ⅰ,88分這個(gè)成績(jī)應(yīng)隸屬於A,即為“優(yōu)”.

例2

論域X={x1(71),x2(74),x3(78)}表示三個(gè)學(xué)生的成績(jī),那一位學(xué)生的成績(jī)最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,根據(jù)最大隸屬原則Ⅱ，x1(71)最差.例3細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別

細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別就是幾何圖形的模糊識(shí)別,而幾何圖形常?；癁槿舾蓚€(gè)三角圖形,故設(shè)論域?yàn)槿切稳w.即X={(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C}

標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)={E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三角形)}.

某人在實(shí)驗(yàn)中觀察到一染色體的幾何形狀，測(cè)得其三個(gè)內(nèi)角分別為94,50,36,即待識(shí)別對(duì)象為x0=(94,50,36).問(wèn)x0應(yīng)隸屬於哪一種三角形？先建立標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中各種三角形的隸屬函數(shù).

直角三角形的隸屬函數(shù)R(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：

(1)當(dāng)A=90時(shí),R(A,B,C)=1;(2)當(dāng)A=180時(shí),R(A,B,C)=0;(3)0≤R(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義R(A,B,C)=1-|A-90|/90.則R(x0)=0.955.

或者其中p=|A–90|則R(x0)=0.54.

正三角形的隸屬函數(shù)E(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：(1)當(dāng)A=B=C=60時(shí),E(A,B,C)=1;(2)當(dāng)A=180,B=C=0時(shí),E(A,B,C)=0;(3)0≤E(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義E(A,B,C)=1–(A–

C)/180.則E(x0)=0.677.

或者其中p=A–C

則E(x0)=0.02.

等腰三角形的隸屬函數(shù)I(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：(1)當(dāng)A=B或者B=C時(shí),I(A,B,C)=1;(2)當(dāng)A=180,B=60,C=0時(shí),I(A,B,C)=0;(3)0≤I(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義I(A,B,C)=1–[(A–

B)∧(B–

C)]/60.則I(x0)=0.766.

或者

p=(A–

B)∧(B–

C)則I(x0)=0.10.等腰直角三角形的隸屬函數(shù)(I∩R)(A,B,C)=I(A,B,C)∧R(A,B,C);(I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形的隸屬函數(shù)T(A,B,C)=Ic∩Rc∩Ec=(I∪R∪E)c.T(x0)=(0.766∨0.955∨0.677)c=(0.955)c=0.045.

通過(guò)以上計(jì)算,R(x0)=0.955最大,所以x0應(yīng)隸屬於直角三角形.

或者(I∩R)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=0.46.仍然是R(x0)=0.54最大,所以x0應(yīng)隸屬於直角三角形.例4大學(xué)生體質(zhì)水準(zhǔn)的模糊識(shí)別.

陳蓓菲等人在福建農(nóng)學(xué)院對(duì)240名男生的體質(zhì)水準(zhǔn)按《中國(guó)學(xué)生體質(zhì)健康調(diào)查研究》手冊(cè)上的規(guī)定,從18項(xiàng)體測(cè)指標(biāo)中選出了反映體質(zhì)水準(zhǔn)的4個(gè)主要指標(biāo)(身高、體重、胸圍、肺活量),根據(jù)聚類分析法,將240名男生分成5類：A1(體質(zhì)差),A2(體質(zhì)中下),A3(體質(zhì)中),A4(體質(zhì)良),A5

(體質(zhì)優(yōu)),作為論域U(大學(xué)生)上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù),然後用最大隸屬原則,去識(shí)別一個(gè)具體學(xué)生的體質(zhì).5類標(biāo)準(zhǔn)體質(zhì)的4個(gè)主要指標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表所示.身高(cm)體重(kg)胸圍(cm)肺活量(cm3)A1158.4±3.047.9±8.484.2±2.43380±184A2163.4±4.850.0±8.689.0±6.23866±800A3166.9±3.655.3±9.488.3±7.04128±526A4172.6±4.657.7±8.289.2±6.44349±402A5178.4±4.261.9±8.690.9±8.04536±756

現(xiàn)有一名待識(shí)別的大學(xué)生x={x1,x2,x3,x4}={175,55.1,86,3900}，他應(yīng)屬於哪種類型？閾值原則

設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}上有m個(gè)模糊子集A1,A2,…,Am(即m個(gè)模型),構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù),若對(duì)任一x0∈X,取定水準(zhǔn)

∈[0,1].

若存在i1,i2,…,ik,使Aij(x0)≥

(j=1,2,…,k),則判決為：x0相對(duì)隸屬於

若∨{Ak(x0)|k=1,2,…,m}＜

,則判決為：不能識(shí)別,應(yīng)當(dāng)找原因另作分析.

該方法也適用於判別x0是否隸屬於標(biāo)準(zhǔn)模型Ak.若Ak(x0)≥

,則判決為：x0相對(duì)隸屬於Ak;

若Ak(x0)＜