人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)教案（2024年春季版）

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)教案設(shè)計(jì)

第十六章二次根式16.1二次根式第1課時(shí)二次根式的概念1.了解二次根式的概念，理解是一個(gè)非負(fù)數(shù).2.通過新舊知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察、演繹能力，發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力.3.通過觀察一些特殊的情形，獲得一般結(jié)論，使學(xué)生感受歸納的思想方法，進(jìn)而體驗(yàn)成功的喜悅，并通過合作學(xué)習(xí)增進(jìn)終身學(xué)習(xí)的信念.【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式的概念及≥0的基本性質(zhì)【教學(xué)難點(diǎn)】經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過程，探索新知識(shí).一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)問題（1）一個(gè)長(zhǎng)方形的圍欄，長(zhǎng)是寬的3倍，面積為39m2，則它的寬為_______m；（2）面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為_______；（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2，如果用含h的式子表示t，則t=.______【教學(xué)說明】設(shè)置上述問題的目的是讓學(xué)生感受到研究二次根式是實(shí)際的需要，二次根式與實(shí)際生活聯(lián)系緊密.教師提出問題后，讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后相互交流，獲得對(duì)二次根式的感性認(rèn)識(shí).二、思考探究，獲取新知思考通過對(duì)上述問題的探究，可得到形如的式子，這些式子有什么特點(diǎn)？【教學(xué)說明】教師提出問題，同學(xué)生一道分析，體會(huì)這些式子的特征，從而引出二次根式的定義.二次根式：一般地，我們把形如（a≥0）形式的式子稱為二次根式，其中“”稱為二次根號(hào).針對(duì)上述定義，教師可強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：（1）中，a必須是大于等于0的數(shù)或式子，否則它就沒有意義了；（2）盡管=2，是一個(gè)整數(shù)，但4仍應(yīng)稱為一個(gè)二次根式；（3）當(dāng)a≥0時(shí)，表示a的算術(shù)平方根，而一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根必然也是非負(fù)數(shù)，因而總有≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判斷二次根式應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)：（1）有二次根號(hào)“”；（2）被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).因而在所給出四個(gè)式子中，只有②③中的式子同時(shí)符合兩個(gè)要求，故應(yīng)填②③.例2當(dāng)x為何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教學(xué)說明】對(duì)于例3，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析題目特征，抓住解決問題的突破口，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉慝@得解題思路，進(jìn)一步體驗(yàn)中a≥0及a≥0的雙重非負(fù)性特征.四、運(yùn)用新知，深化理解1.填空題：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）負(fù)數(shù)算術(shù)平方根________（填“有”或者“沒有”）2.當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義：【教學(xué)說明】學(xué)生自主探究，教師巡視，了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握情況，及時(shí)予以指導(dǎo)，幫助學(xué)生鞏固新知.五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識(shí)，你獲得哪些解決二次根式問題的方法？你還有哪些問題？請(qǐng)與同伴交流.【教學(xué)說明】學(xué)生相互交流，回顧知識(shí)，反思問題，共同發(fā)展提高.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題16.1”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).1.教師創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例.學(xué)生積極主動(dòng)探索，教師引導(dǎo)與啟發(fā)，師生互動(dòng).體現(xiàn)教師的組織者、引導(dǎo)者與合作者地位.2.注意知識(shí)之間的銜接，在溫故知新的過程中引導(dǎo)出新知，講練結(jié)合旨在鞏固學(xué)生對(duì)新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)1.理解并掌握二次根式的性質(zhì)，正確區(qū)分=a（a≥0）與=a（a≥0），并利用它們進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算.2.在探索二次根式性質(zhì)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的參與意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力和解決問題的能力.3.通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究意識(shí)和創(chuàng)新精神，形成良好的心理品質(zhì)，促進(jìn)身心健康發(fā)展.【教學(xué)重點(diǎn)】=a（a≥0），=a（a≥0）及其應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】用探究的方法探索=a（a≥0）及=a（a≥0）的結(jié)論.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)試一試：請(qǐng)根據(jù)算術(shù)平方根填空，.猜一猜：通過對(duì)上述問題的思考，你能猜想出（a≥0）的結(jié)論是什么？說說你的理由.【教學(xué)說明】讓學(xué)生通過具體實(shí)例所展示的特征，猜想出結(jié)果，然后再利用算術(shù)平方根的意義對(duì)所猜測(cè)結(jié)論進(jìn)行分析，由感性認(rèn)識(shí)到理性思考，培養(yǎng)學(xué)生利用代數(shù)語言進(jìn)行推理的能力.二、思考探究，獲取新知在學(xué)生相互交流的基礎(chǔ)上可歸納出：=a（a≥0）.進(jìn)一步地，引導(dǎo)學(xué)生探究新的問題.探究（1）填空：（2）通過（1）的思考，你能確定（a≥0）的化簡(jiǎn)結(jié)果嗎？說說你的理由.【教學(xué)說明】教師應(yīng)盡力引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)進(jìn)行探究思考，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與完善的過程，深化對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和記憶，最后師生共同完成對(duì)知識(shí)的歸納總結(jié).【歸納結(jié)論】一般地，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，有=a（a≥0）.最后，教師給出代數(shù)式的概念.代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子稱為代數(shù)式.（代數(shù)式的定義只要求學(xué)生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1計(jì)算：（1）（）2；（2）（2）2【教學(xué)說明】以上例1、例2可由學(xué)生自主完成，教師巡視，對(duì)有困難的學(xué)生及時(shí)予以指導(dǎo)，讓每個(gè)學(xué)生都能得到發(fā)展.例3教師引導(dǎo)學(xué)生看懂?dāng)?shù)軸，結(jié)合數(shù)軸確定a、b的符號(hào).四、運(yùn)用新知，深化理解【教學(xué)說明】以上1~3題可試著讓學(xué)生自主完成，第4題稍有難度，教師適時(shí)點(diǎn)撥.（2）本題中的兩個(gè)二次根式都可以利用=|a｜進(jìn)行化簡(jiǎn).然后再根據(jù)x＞2的這個(gè)范圍，來判斷x-2與1-2x的正負(fù)，最后化簡(jiǎn)掉絕對(duì)值符號(hào).∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a｜化簡(jiǎn)掉二次根號(hào)，再根據(jù)x的取值范圍來判斷絕對(duì)值中的代數(shù)式的正負(fù)，化掉絕對(duì)值的符號(hào).五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)1.本節(jié)知識(shí)可這樣歸納：2.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會(huì)？與同伴交流.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題16.1”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).1.注意前后知識(shí)的聯(lián)系，在復(fù)習(xí)舊知的過程中導(dǎo)入本節(jié)課的數(shù)學(xué)內(nèi)容，按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學(xué)生理解的難度.2.在總結(jié)二次根式的性質(zhì)過程中，由學(xué)生經(jīng)過觀察、分析的過程，讓學(xué)生在交流中體會(huì)成功.3.幾個(gè)例題，旨在幫助學(xué)生對(duì)二次根式的性質(zhì)的理解，在練習(xí)和作業(yè)中都增加了難度，主要給能力較好的學(xué)生提供更大的發(fā)展空間.16.2二次根式的乘除第1課時(shí)二次根式的乘法1.理解·=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并能運(yùn)用它們進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.2.經(jīng)歷探索二次根式乘法法則的過程，發(fā)展觀察、歸納猜想、驗(yàn)證等能力.3.培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)的能力以及分析問題和解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.【教學(xué)重點(diǎn)】·=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）.【教學(xué)難點(diǎn)】發(fā)現(xiàn)規(guī)律，推導(dǎo)·=（a≥0，b≥0）.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)問題1計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？問題2用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空，并用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)算.【教學(xué)說明】問題1通過被開方數(shù)都是完全平方數(shù)，讓學(xué)生容易獲取結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.通過問題2的驗(yàn)證加深對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，為本節(jié)學(xué)習(xí)作好鋪墊.上述兩個(gè)問題均應(yīng)由學(xué)生自主完成，相互交流，感受新知.二、思考探究，獲取新知選幾名學(xué)生口述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，然后師生共同歸納：一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定：.【教學(xué)說明】對(duì)上述二次根式的乘法公式，教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其后面的附加條件a≥0，b≥0，切不能出現(xiàn)類似于=·的錯(cuò)誤.三、典例精析，掌握新知【教學(xué)說明】讓學(xué)生自主探究，獨(dú)立完成，加深對(duì)二次根式乘法運(yùn)算和化簡(jiǎn)方法的理解.教師巡視，對(duì)有困難的同學(xué)適時(shí)給予指導(dǎo)，最后可選派四名學(xué)生上黑板完成解答，師生共同評(píng)析，鞏固所學(xué)新知識(shí).【教學(xué)說明】在學(xué)生探索本題解答過程中，教師可補(bǔ)充說明，在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù).四、運(yùn)用新知，深化理解4.一個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬分別是10cm和22cm，求這個(gè)矩形的面積.5.一個(gè)底面為30cm×30cm的長(zhǎng)方體容器中裝滿了水.現(xiàn)將一部分水倒入一個(gè)底面為正方形，高為10cm的鐵桶中.當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器內(nèi)水面下降了20cm.鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？【教學(xué)說明】學(xué)生自主完成，教師巡視，對(duì)學(xué)生解題過程中出現(xiàn)的問題及時(shí)予以指正，幫助學(xué)生加深理解，對(duì)優(yōu)秀者應(yīng)予以表揚(yáng)鼓舞，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂.【答案】1.A2.(1)原式=五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲和體會(huì)？談?wù)勀愕南敕?，并與同伴相互交流.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題16.2”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).1.創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例.學(xué)生積極主動(dòng)探索，教師引導(dǎo)啟發(fā)，按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學(xué)生理解的難度.2.二次根式乘法法則的形成過程中，由學(xué)生大膽猜測(cè)，經(jīng)過思考、分析、討論的過程，讓學(xué)生在交流中體會(huì)成功.3.前面的講練能幫助學(xué)生理解二次根式乘法法則，培養(yǎng)學(xué)生利用概念解題的能力.第十六章二次根式第2課時(shí)二次根式的除法1.理解=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0），能用它們進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，能將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式.2.通過具體實(shí)例的探究活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)二次根式除法的規(guī)律，歸納出二次根式除法法則及其逆向等式，能用它們進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.3.讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，積極參與數(shù)學(xué)問題的討論，勇于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，增強(qiáng)合作交流意識(shí)和能力.【教學(xué)重點(diǎn)】=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0）的理解和應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】探索二次根式的除法法則.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)問題1計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？問題2用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空，并用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)算：【教學(xué)說明】讓學(xué)生自主探究，感受二次根式除法運(yùn)算中所蘊(yùn)含的規(guī)律性特征，獲得二次根式相除的感性認(rèn)識(shí)，導(dǎo)入新課.二、思考探究，獲取新知想一想通過上述二次根式除法運(yùn)算結(jié)果，聯(lián)想到二次根式乘法運(yùn)算法則，你能說出二次根式的結(jié)果嗎？與同伴交流.師生共同回顧思考，總結(jié)出二次根式除法運(yùn)算法則：=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0）【教學(xué)說明】在師生共同探索出上述二次根式的除法公式后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其成立的條件，不得出現(xiàn)=的類似錯(cuò)誤.三、典例精析，掌握新知【教學(xué)說明】教師給出例題后，讓學(xué)生獨(dú)立作業(yè)，同時(shí)分別選派四名同學(xué)上黑板演算.教師巡視，對(duì)學(xué)生演算過程中的失誤及時(shí)予以指正，最后師生共同評(píng)析，讓學(xué)生加深對(duì)二次根式除法的理解和掌握，并保留每道題的最后結(jié)果.議一議觀察上述各題的最后結(jié)果，它們有什么特點(diǎn)？在學(xué)生相互交流過程中可感受到所有結(jié)果中的二次根式有如下兩個(gè)特征：（1）被開方數(shù)中不含分母（或分母中不含二次根式）；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把具有上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.小練習(xí)：1.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的有_______（填序號(hào)）.【教學(xué)說明】感受二次根式乘除在數(shù)學(xué)問題和實(shí)際生活中的應(yīng)用，體會(huì)二次根式的乘除法在二次根式的化簡(jiǎn)中的重要作用.四、運(yùn)用新知，深化理解【教學(xué)說明】讓學(xué)生自主完成，加深對(duì)已學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)，并檢查對(duì)新學(xué)知識(shí)的掌握情況，對(duì)學(xué)生的困惑，教師應(yīng)及時(shí)予以指導(dǎo)，并進(jìn)行必要的反思.五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)師生共同回顧：（1）=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0）及其應(yīng)用；（2）最簡(jiǎn)二次根式的意義.【教學(xué)說明】教師應(yīng)讓學(xué)生自由交流，總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)，同時(shí)進(jìn)行自我反思，提高認(rèn)知，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題16.2”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)二次根式的乘積，旨在類比學(xué)習(xí)二次根式的除法，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣.2.二次根式除法的學(xué)習(xí)過程，按照由特殊到一般的規(guī)律，由學(xué)生經(jīng)歷思考、討論、分析的過程，讓學(xué)生大膽猜測(cè)，使學(xué)生在交流中體會(huì)成功.第十六章二次根式16.3二次根式的加減第1課時(shí)二次根式的加減法1.會(huì)進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算，利用二次根式的加減法解決生活實(shí)際問題.2.經(jīng)歷由實(shí)際問題引入數(shù)學(xué)問題的過程，提高學(xué)生的抽象概括能力，進(jìn)而掌握二次根式的加減運(yùn)算方法.3.培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察、思考的習(xí)慣，鍛煉嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的科學(xué)精神.【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式的加減法運(yùn)算方法.【教學(xué)難點(diǎn)】二次根式的加減法的實(shí)際應(yīng)用.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)問題現(xiàn)有一塊長(zhǎng)7.5dm，寬5dm的木板，能否采用如圖所示的方式，在這塊木板上截出兩個(gè)面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板？【教學(xué)說明】可借助多媒體（或幻燈片）展示木板，嘗試截取兩個(gè)正方形木塊，并引導(dǎo)學(xué)生思考.解決問題的關(guān)鍵在哪里？如何解決？激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望.二、思考探究，獲取新知讓學(xué)生相互討論，共同探究，尋求解決問題的方案.與此同時(shí)，教師可設(shè)置如下問題幫助學(xué)生進(jìn)行理解和分析：1.兩個(gè)正方形木塊的邊長(zhǎng)分別是多少？2.最大正方形木板的邊長(zhǎng)與原長(zhǎng)方形木板的寬5dm的大小如何？3.兩個(gè)正方形木板的邊長(zhǎng)之和與長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)7.5dm的大小關(guān)系如何？你認(rèn)為用什么辦法來得出結(jié)論的？4.談?wù)勀惬@得結(jié)論的過程中的想法，你有哪些新的認(rèn)識(shí)？在學(xué)生充分交流，初步形成認(rèn)知后，師生共同探討：上述實(shí)際問題中，實(shí)質(zhì)是求與這兩個(gè)二次根式的和，我們可以這樣來計(jì)算：【教學(xué)說明】本環(huán)節(jié)教師要放手讓學(xué)生自主探究，自主發(fā)現(xiàn)問題，并嘗試解決問題，并能總結(jié)規(guī)律，形成認(rèn)知.同時(shí)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的完成情況，能否正確進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，能否運(yùn)用分配律將二次根式合并.【歸納結(jié)論】二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.三、典例精析，掌握新知【教學(xué)說明】以上兩例，應(yīng)讓學(xué)生先獨(dú)立完成，并分別選派兩名中等成績(jī)同學(xué)上黑板進(jìn)行演算.教師巡視，了解全班學(xué)生的掌握情況，并對(duì)有困難的同學(xué)及時(shí)予以點(diǎn)撥，幫助他們加深對(duì)新知的理解.最后，師生共同評(píng)析黑板上的作業(yè)，教師還可適時(shí)將巡視中發(fā)現(xiàn)的問題展示給全班同學(xué)，達(dá)到理解新知的目的.例3如圖，實(shí)驗(yàn)中學(xué)計(jì)劃在校園內(nèi)修建一個(gè)正方形的花壇，在花壇中央還要修一個(gè)正方形的小噴水池，設(shè)計(jì)者需要考慮有關(guān)的周長(zhǎng)，如果小噴水池的面積為8m2，花壇的綠化面積為10m2，則花壇的外周與小噴水池的周長(zhǎng)一共是多少米？分析：利用正方形的面積公式求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)周長(zhǎng)公式即可得解..【教學(xué)說明】本例展示了二次根式的加減在實(shí)際問題中的應(yīng)用，在實(shí)際教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理分析，理清解題思路與步驟，再讓學(xué)生自主完成解答過程.最后教師可以給出示范性解題過程，也可以用幻燈片展示學(xué)生的優(yōu)秀作業(yè)及有代表性問題作業(yè)，讓學(xué)生通過觀察與反思，加深對(duì)知識(shí)的理解.四、運(yùn)用新知，深化理解1.下列計(jì)算是否正確？為什么？5.先化簡(jiǎn)，再求值：【教學(xué)說明】學(xué)生自主完成上面前3個(gè)題，教師巡視，后兩個(gè)題稍難，教師適當(dāng)予以點(diǎn)撥.【答案】1.（1）不正確，兩邊不相等；（2）不正確，兩邊不相等；（3）正確.2.①和④；五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)師生共同回顧本節(jié)主要知識(shí)點(diǎn)及需要注意的問題.（1）知識(shí)要點(diǎn)：二次根式加減的一般思路，①不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式；②相同的二次根式一定要進(jìn)行合并.（2）需注意的問題：①應(yīng)能將化簡(jiǎn)的二次根式化簡(jiǎn)后再進(jìn)行計(jì)算，不要出現(xiàn)-是最后結(jié)果的類似錯(cuò)誤；②相同的二次根式合并時(shí)，只需把它們的系數(shù)相加減，根式不變，不相同的二次根式不能進(jìn)行加減，防止出現(xiàn)3-2=（3-2）（-）=-的錯(cuò)誤.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題16.3”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).1.創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例.由學(xué)生主動(dòng)參與，經(jīng)過思考、討論、分析的過程，老師加以啟發(fā)和引導(dǎo)，類比得出二次根式的加減運(yùn)算法則.2.三個(gè)例題，旨在幫助學(xué)生理解二次根式的加減運(yùn)算.尤其是例2，要按照兩個(gè)步驟進(jìn)行計(jì)算，培養(yǎng)了學(xué)生利用概念、法則進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和科學(xué)精神，此外，例3還展示了二次根式的加減在實(shí)際問題中的應(yīng)用.16.3二次根式的加減第2課時(shí)二次根式的混合運(yùn)算1.會(huì)進(jìn)行二次根式的乘、除、加、減混合運(yùn)算；2.能用多項(xiàng)式的乘法公式進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)計(jì)算.3.通過具體問題進(jìn)一步體會(huì)有理數(shù)運(yùn)算、二次根式的運(yùn)算以及整式的運(yùn)算之間的聯(lián)系，掌握二次根式混合運(yùn)算方法.4.通過多項(xiàng)式乘除法則及乘法公式在二次根式運(yùn)算中的應(yīng)用，體驗(yàn)遷移、化歸思想，使學(xué)生進(jìn)一步形成符號(hào)感，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.【教學(xué)難點(diǎn)】多項(xiàng)式的乘除法則及乘法公式在二次根式運(yùn)算中的應(yīng)用方法.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)問題我們知道：（x+y）·xy=x·xy+y·xy=x2y+xy2，（2x2y+3xy2）÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+3y，（x+y）（x-y）=x2-y2及（x+y）2=x2+2xy+y2，……試問：如果上述各式中的x，y分別代表著一個(gè)二次根式，我們會(huì)有哪些新的收獲呢？【教學(xué)說明】引入上述關(guān)于多項(xiàng)式的乘除算式及乘法公式，進(jìn)而提出新的問題的目的在于暗示二次根式的運(yùn)算與多項(xiàng)式的運(yùn)算之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的求知欲望和探究意識(shí).二、思考探究，獲取新知探究1由（x+y）·z=x·z+y·z=xz+yz，你能求出的值嗎？你是怎樣做的？探究2由，你能求出的值嗎？由此你有何發(fā)現(xiàn)？類似地，請(qǐng)解決以下幾個(gè)小題.【教學(xué)說明】讓全班同學(xué)共同參與探究，相互交流，在類比的過程中嘗試給出問題的答案.教師巡視，予以點(diǎn)撥，肯定學(xué)生的成績(jī)，并引導(dǎo)學(xué)生完善對(duì)二次根式混合運(yùn)算的初步認(rèn)識(shí)，最后師生共同給出問題的結(jié)果.【歸納結(jié)論】1.二次根式的混合運(yùn)算與整式的運(yùn)算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào).2.在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式仍然適用.三、典例精析，掌握新知例1計(jì)算下列各題：分析：對(duì)算式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察分析，運(yùn)用二次根式加、減、乘、除的法則進(jìn)行運(yùn)算，需注意乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的靈活運(yùn)用.解：（1）原式=（4-2+6）÷2=（4+4）÷2=4÷2+4÷2=2+2；例2已知x=+1，y=-1，求下列代數(shù)式的值.（1）x2+2xy+y2；（2）x2-y2.分析：由條件易知x+y=2，x-y=2，而需求代數(shù)式中的（1）可化為（x+y）2，（2）可化為（x+y）（x-y），因而整體代入更簡(jiǎn)潔些，當(dāng)然直接代入求值也是可行的，只不過要復(fù)雜多了.解：∵x=+1，y=-1，∴x+y=2，x-y=2.（1）原式=（x+y）2=（2）2=12；（2）原式=（x+y）·（x-y）=2×2=4.【教學(xué)說明】第1題可讓學(xué)生自主完成，并選派三名代表上黑板進(jìn)行演算.教師巡視，了解學(xué)生對(duì)二次根式混合運(yùn)算的掌握情況，及時(shí)予以幫助，幫助學(xué)生更好地掌握新知識(shí).最后全班同學(xué)分析三位代表的解答過程及結(jié)果，深化理解.第2題仍可讓學(xué)生先自主探究，如果大部分學(xué)生選用直接代入求值時(shí)，教師仍應(yīng)肯定他們的成績(jī)，但需展示本例的最佳解題思路，達(dá)到融會(huì)貫通的目的.四、運(yùn)用新知，深化理解3.（1）若a=3+2，b=3-2，求a2b-ab2的值；（2）若x=-1，求x2+2x+2011的值.【教學(xué)說明】第1、2兩題可讓學(xué)生自主完成，然后相互交流，教師根據(jù)反饋情況，及時(shí)查漏補(bǔ)缺，優(yōu)化課堂教學(xué).第3題即可讓學(xué)生嘗試解決，也可由師生共同分析，形成解題思路后再由學(xué)生自主完善解題過程.3.（1）由a-b=4，a·b=1得a2b-ab2=ab（a-b）=1×4=4；（2）∵x=-1，∴x+1=，兩邊平方，得x2+2x+1=2.∴x2+2x=1.故x2+2x+2011=1+2011=2012.五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？你還有哪些疑惑？談?wù)勀愕目捶ǎ⑴c同伴交流.【教學(xué)說明】教師以設(shè)問的形式和學(xué)生一道回顧本節(jié)主要知識(shí)及所涉及到的解題方法、技巧和數(shù)學(xué)思想方法，既是對(duì)知識(shí)的一次梳理，也是一次必要的提煉升華，完善認(rèn)知.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題16.3”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).1.情境引入，復(fù)習(xí)整式運(yùn)算的知識(shí)，旨在遷移到利用乘法公式進(jìn)行含二次根式式子的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣.2.例題的設(shè)計(jì)，旨在幫助學(xué)生理解乘法公式在二次根式運(yùn)算中的應(yīng)用.第十六章二次根式章末復(fù)習(xí)1.進(jìn)一步加深對(duì)二次根式定義、性質(zhì)及運(yùn)算法則的理解，能用它們解決具體問題.2.經(jīng)歷對(duì)本章知識(shí)的梳理和利用相關(guān)知識(shí)解決具體問題的過程，進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的解題能力，加深對(duì)本章知識(shí)的理解和應(yīng)用.3.在運(yùn)用二次根式的有關(guān)知識(shí)解決具體問題過程中，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力，培養(yǎng)科學(xué)的態(tài)度，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.【教學(xué)重點(diǎn)】回顧知識(shí)要點(diǎn)及解題思路方法.【教學(xué)難點(diǎn)】靈活運(yùn)用乘法公式解決二次根式的化簡(jiǎn)計(jì)算問題.知識(shí)框圖，整體把握【教學(xué)說明】教學(xué)時(shí)，教師與學(xué)生一起復(fù)習(xí)回顧本章主要知識(shí)，按教學(xué)前自己所設(shè)計(jì)的思路展示本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，加深學(xué)生對(duì)本章知識(shí)的系統(tǒng)掌握.二、釋疑解惑，加深理解1.對(duì)于二次根式，要明確被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，也就是說，對(duì)于，只有當(dāng)a≥0時(shí)才有意義.利用這一特點(diǎn)，我們可以解決某些未知數(shù)的值，如若y=++3，則x=1/2，y=3.2.最簡(jiǎn)二次根式是指：（1）被開方數(shù)中不含分母；（2）被開方數(shù)中不含有能開得盡的因數(shù)或因式.只有將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同時(shí)，才能合并，如若最簡(jiǎn)二次根式與能合并，則x的值為4.3.二次根式的運(yùn)算與有理數(shù)的運(yùn)算順序和方法完全相同.同樣地，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式也仍然適用于二次根式.【教學(xué)說明】在對(duì)上述知識(shí)回顧過程中，教師應(yīng)邊回顧邊舉例說明，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深化理解.三、典例精析，復(fù)習(xí)新知例1若-=（x+y）2，則代數(shù)式x-y的值為（）A.-1B.1C.2D.3分析：可利用二次根式的意義，得出x的值，從而求出y值，得出結(jié)論.由題意有∴x=1.因此，（x+y）2=0，∴y=-1，故x-y=2，應(yīng)選C.例2估計(jì)的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（）A.1到2之間B.2到3之間C.3到4之間D.4到5之間分析：原式==2+，又1＜＜2，故3＜2+＜4.答案選C.例3實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)+|a+b｜的結(jié)果為.分析：由數(shù)軸可知，a＜0，b＜0，且b＜a＜0，故+|a+b|=+|a+b|=|a-2b|+|a+b|.又a-2b＞0，a+b＜0，∴原式=a-2b-（a+b）=-3b，故應(yīng)填-3b.例4已知a=+1，求a3-a2-3a+2011的值.分析：將a=+1移項(xiàng)得a-1=，兩邊平方后得到一個(gè)二次三項(xiàng)式，再“整式代入，逐步降次”可得結(jié)論.解：∵a=+1，∴a-1=，∴（a-1）2=（）2，即a2-2a+1=2，∴a2=2a+1.∴a3-a2-3a+2011=a（2a+1）-（2a+1）-3a+2011=2a2+a-5a+2010=2（2a+1）+a-5a+2010=2012.例6若與｜x-y-3｜互為相反數(shù)，求x+y的值.分析：本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及二元一次方程組的求解，當(dāng)多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.【教學(xué)說明】實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師可根據(jù)自己的思路從上述例題中選取幾題進(jìn)行評(píng)講，也可選用其它題目來解決學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)可能存在的問題，達(dá)到因材施教，查漏補(bǔ)缺的目的，對(duì)于所選例題，應(yīng)給予合適時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后師生共同分析，完善結(jié)論，其中例4、例5、例6則應(yīng)給出詳細(xì)規(guī)范答案.通過所選例題的教學(xué)，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)本章知識(shí)的理解和掌握，提高分析問題、解決問題的能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性及解題的靈活性.四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，鞏固提高1.已知方程｜4x-8|+=0，則當(dāng)y＞0時(shí)，m的取值范圍是（）A.0＜m＜1B.m≥2C.m＜2D.m≤2【教學(xué)說明】教師試著讓學(xué)生自己完成上述題目.【答案】1.依題意有4x-8=0，x-y-m=0，∴x=2，y=2-m，又y＞0，即2-m＞0，∴m＜2，故選C.2.x≤4且x≠2；五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)本章知識(shí)有哪些新的認(rèn)識(shí)，有何體會(huì)？請(qǐng)與同學(xué)交流.2.通過本章知識(shí)的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些數(shù)學(xué)思想方法？說說看.【教學(xué)說明】師生共同進(jìn)行回顧和小結(jié)，讓學(xué)生在相互交流中積累解題方法和經(jīng)驗(yàn).1.布置作業(yè)：從教材“復(fù)習(xí)題16”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).1.知識(shí)框圖的呈現(xiàn)，其作用在于進(jìn)行知識(shí)梳理，旨在讓學(xué)生更好地回顧本章的知識(shí)點(diǎn)，理解本章節(jié)的知識(shí)體系.2.例題的設(shè)計(jì)，幫助了學(xué)生對(duì)本章知識(shí)點(diǎn)的掌握，還相應(yīng)增加了難度，能更好地對(duì)本章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行升華，使學(xué)生對(duì)本章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)不光停留在掌握上，更能綜合靈活運(yùn)用.本章專題整合訓(xùn)練1.進(jìn)一步加深對(duì)二次根式定義、性質(zhì)及運(yùn)算法則的理解，能用它們解決具體問題.2.經(jīng)歷對(duì)本章知識(shí)的梳理和利用相關(guān)知識(shí)解決具體問題的過程，進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的解題能力，加深對(duì)本章知識(shí)的理解和應(yīng)用.3.在運(yùn)用二次根式的有關(guān)知識(shí)解決具體問題過程中，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力，培養(yǎng)科學(xué)的態(tài)度，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.【教學(xué)重點(diǎn)】回顧知識(shí)要點(diǎn)及解題思路方法.【教學(xué)難點(diǎn)】靈活運(yùn)用乘法公式解決二次根式的化簡(jiǎn)計(jì)算問題.知識(shí)框圖，整體把握【教學(xué)說明】教學(xué)時(shí)，教師與學(xué)生一起復(fù)習(xí)回顧本章主要知識(shí)，按教學(xué)前自己所設(shè)計(jì)的思路展示本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，加深學(xué)生對(duì)本章知識(shí)的系統(tǒng)掌握.二、釋疑解惑，加深理解1.對(duì)于二次根式，要明確被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，也就是說，對(duì)于，只有當(dāng)a≥0時(shí)才有意義.利用這一特點(diǎn)，我們可以解決某些未知數(shù)的值，如若y=++3，則x=1/2，y=3.2.最簡(jiǎn)二次根式是指：（1）被開方數(shù)中不含分母；（2）被開方數(shù)中不含有能開得盡的因數(shù)或因式.只有將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同時(shí)，才能合并，如若最簡(jiǎn)二次根式與能合并，則x的值為4.3.二次根式的運(yùn)算與有理數(shù)的運(yùn)算順序和方法完全相同.同樣地，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式也仍然適用于二次根式.【教學(xué)說明】在對(duì)上述知識(shí)回顧過程中，教師應(yīng)邊回顧邊舉例說明，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深化理解.三、典例精析，復(fù)習(xí)新知例1若-=（x+y）2，則代數(shù)式x-y的值為（）A.-1B.1C.2D.3分析：可利用二次根式的意義，得出x的值，從而求出y值，得出結(jié)論.由題意有∴x=1.因此，（x+y）2=0，∴y=-1，故x-y=2，應(yīng)選C.例2估計(jì)的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（）A.1到2之間B.2到3之間C.3到4之間D.4到5之間分析：原式==2+，又1＜＜2，故3＜2+＜4.答案選C.例3實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)+|a+b｜的結(jié)果為.分析：由數(shù)軸可知，a＜0，b＜0，且b＜a＜0，故+|a+b|=+|a+b|=|a-2b|+|a+b|.又a-2b＞0，a+b＜0，∴原式=a-2b-（a+b）=-3b，故應(yīng)填-3b.例4已知a=+1，求a3-a2-3a+2011的值.分析：將a=+1移項(xiàng)得a-1=，兩邊平方后得到一個(gè)二次三項(xiàng)式，再“整式代入，逐步降次”可得結(jié)論.解：∵a=+1，∴a-1=，∴（a-1）2=（）2，即a2-2a+1=2，∴a2=2a+1.∴a3-a2-3a+2011=a（2a+1）-（2a+1）-3a+2011=2a2+a-5a+2010=2（2a+1）+a-5a+2010=2012.例6若與｜x-y-3｜互為相反數(shù)，求x+y的值.分析：本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及二元一次方程組的求解，當(dāng)多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.【教學(xué)說明】實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師可根據(jù)自己的思路從上述例題中選取幾題進(jìn)行評(píng)講，也可選用其它題目來解決學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)可能存在的問題，達(dá)到因材施教，查漏補(bǔ)缺的目的，對(duì)于所選例題，應(yīng)給予合適時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后師生共同分析，完善結(jié)論，其中例4、例5、例6則應(yīng)給出詳細(xì)規(guī)范答案.通過所選例題的教學(xué)，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)本章知識(shí)的理解和掌握，提高分析問題、解決問題的能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性及解題的靈活性.四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，鞏固提高1.已知方程｜4x-8|+=0，則當(dāng)y＞0時(shí)，m的取值范圍是（）A.0＜m＜1B.m≥2C.m＜2D.m≤2【教學(xué)說明】教師試著讓學(xué)生自己完成上述題目.【答案】1.依題意有4x-8=0，x-y-m=0，∴x=2，y=2-m，又y＞0，即2-m＞0，∴m＜2，故選C.2.x≤4且x≠2；五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)本章知識(shí)有哪些新的認(rèn)識(shí)，有何體會(huì)？請(qǐng)與同學(xué)交流.2.通過本章知識(shí)的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些數(shù)學(xué)思想方法？說說看.【教學(xué)說明】師生共同進(jìn)行回顧和小結(jié)，讓學(xué)生在相互交流中積累解題方法和經(jīng)驗(yàn).1.布置作業(yè)：從教材“復(fù)習(xí)題16”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).1.知識(shí)框圖的呈現(xiàn)，其作用在于進(jìn)行知識(shí)梳理，旨在讓學(xué)生更好地回顧本章的知識(shí)點(diǎn)，理解本章節(jié)的知識(shí)體系.2.例題的設(shè)計(jì)，幫助了學(xué)生對(duì)本章知識(shí)點(diǎn)的掌握，還相應(yīng)增加了難度，能更好地對(duì)本章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行升華，使學(xué)生對(duì)本章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)不光停留在掌握上，更能綜合靈活運(yùn)用.第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，體驗(yàn)勾股定理的探索過程.2.在探索勾股定理的過程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會(huì)與人合作并能與他人交流思維的過程和探究結(jié)果，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.3.通過對(duì)勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)的文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.4.在探究活動(dòng)中，體驗(yàn)解決問題的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識(shí)和探索精神.【教學(xué)重點(diǎn)】探索和證明勾股定理.【教學(xué)難點(diǎn)】用拼圖的方法證明勾股定理.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)2002年在北京召開了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”.這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案（教師出示圖片或照片）.（1）你見過這個(gè)圖案嗎？（2）你聽說過“勾股定理”嗎？【教學(xué)說明】學(xué)生欣賞圖片時(shí)，教師應(yīng)對(duì)圖片中的圖案進(jìn)行補(bǔ)充說明：這個(gè)圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的，被譽(yù)為“趙爽弦圖”.通過對(duì)圖片的觀察，為學(xué)生積極主動(dòng)投入到探索活動(dòng)中創(chuàng)設(shè)情境，為探索勾股定理提供背景材料.二、思考探究，獲取新知畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家.相傳在2500年前，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)你也觀察一下類似的圖案（教材P22圖形），你有什么發(fā)現(xiàn)？【教學(xué)說明】教師與學(xué)生一道分析教材P22圖17.1-2，右邊的三個(gè)正方形及直角三角形是從左邊的等腰三角形的圖案中截取出來的，將大正方形沿對(duì)角線分成四個(gè)小直角三角形，再把兩個(gè)小正方形沿豎直對(duì)角線分成兩個(gè)小直角三角形，從而可發(fā)現(xiàn)其中特征.【歸納結(jié)論】等腰直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.問題等腰直角三角形三邊的關(guān)系特征是否也適用于其它的直角三角形呢？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察P23圖17.1-3，運(yùn)用割補(bǔ)法分別計(jì)算正方形A、B、C和正方形A′、B′、C′的面積，看看它們之間有什么關(guān)系？【教學(xué)說明】讓學(xué)生自主探究或相互交流探尋出正方形C和C′的面積，教師巡視，針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知方法引導(dǎo)學(xué)生選用不同的方法得出它們各自的面積.一方面，正方形C的面積為：52-4××2×3=25-12=13；另一方面也有正方形C的面積為：4××2×3+1=13，而這兩種方法都可以從圖中直接獲得，同樣可得到正方形C′的面積為34.通過觀察上述問題的探討，若將直角三角形的兩直角邊記為a，b，斜邊為c，則應(yīng)有a2+b2=c2，即直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.上述結(jié)論我們都是通過特例而獲得的，是否對(duì)所有的直角三角形都能成立呢？有沒有辦法來證明呢？做一做將一張白紙對(duì)折，再對(duì)折，然后隨意畫一個(gè)直角三角形，用剪刀沿畫線裁出四個(gè)全等的直角三角形，在較大直角邊處標(biāo)記b，較短直角邊處標(biāo)記a，斜邊標(biāo)記c，然后按圖示方式拼圖.想一想（1）中間小正方形邊長(zhǎng)是多少？它的面積呢？（2）你能由大正方形的面積的兩種不同計(jì)算方法探討出三角形三邊a、b、c的數(shù)量關(guān)系嗎？不妨試試看.【教學(xué)說明】通過動(dòng)手操作，可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并在解決問題過程中體驗(yàn)探究的樂趣和成功的快樂，在快樂中學(xué)習(xí)，增長(zhǎng)知識(shí).最后師生共同探討：S大正方形=c2=4××a×b+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2.即a2+b2=c2.有：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.教師簡(jiǎn)要闡述：現(xiàn)有記載的證明勾股定理的方法多達(dá)數(shù)百種，前面我們利用的面積法證明勾股定理的方法實(shí)際上是我國(guó)古人趙爽的證法，所拼成的圖案稱為“趙爽弦圖”.三、運(yùn)用新知，深化理解 1.你能利用如圖所示的圖形來證明勾股定理嗎？不妨試試看，并與同伴交流.2.你能用勾股定理解決下面的問題嗎？（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，試求斜邊AB的長(zhǎng)；（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，試求直角邊AC的長(zhǎng).【教學(xué)說明】這兩道題先由學(xué)生自主完成，然后由教師進(jìn)行評(píng)講.【答案】1.解：S梯形＝（a+b）·（a+b）·＝（a2+b2+2ab）·，又S梯形＝ab+ab+c2=（2ab+c2），綜上a2+b2＝c2.有：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.解：（1）由勾股定理有：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，即AB＝25.（2）由勾股定理有：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，即AC2＝AB2-BC2，∴AC＝8.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲？你還能想到一些證明勾股定理的方法嗎？與同伴交流.1.請(qǐng)查閱資料或上網(wǎng)，收集一些證明勾股定理的方法，并與同伴交流.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)勾股定理這部分的教學(xué)要求與舊大綱的要求不同，新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)勾股定理這部分的教學(xué)要求是：體驗(yàn)勾股定理的探索過程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的問題.勾股定理是中學(xué)數(shù)學(xué)幾個(gè)重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，既是直角三角形性質(zhì)的拓展，也是后續(xù)學(xué)習(xí)“解直角三角形”的基礎(chǔ).它緊密聯(lián)系了數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的量——數(shù)與形，能夠把形的特征（三角形中一個(gè)角是直角）轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系（三邊之間滿足a2+b2=c2），堪稱數(shù)形結(jié)合的典范，在理論上占有重要地位.另外八年級(jí)學(xué)生已具備一定的分析與歸納能力，初步掌握了探索圖形性質(zhì)的基本方法.但是學(xué)生在用割補(bǔ)方法和用面積計(jì)算方法證明幾何命題的意識(shí)和能力方面存在障礙，對(duì)于如何將圖形與數(shù)有機(jī)的結(jié)合起來還很陌生.基于以上三點(diǎn)的原因，本節(jié)課教學(xué)應(yīng)把學(xué)生的探索活動(dòng)放在首位，一方面要求學(xué)生在教師引導(dǎo)下自主探索，合作交流；另一方面要求學(xué)生對(duì)探究過程中用到的數(shù)學(xué)思想方法有一定的領(lǐng)悟和認(rèn)識(shí)，從而教給學(xué)生探求知識(shí)的方法，教會(huì)學(xué)生獲取知識(shí)的本領(lǐng).第2課時(shí)勾股定理的應(yīng)用1.能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算及解釋生活中的實(shí)際問題.2.通過從實(shí)際問題中抽象出直角三角形的過程，初步感受轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.通過對(duì)探究性問題的思考，培養(yǎng)學(xué)生與他人交流合作的意識(shí)和品質(zhì).【教學(xué)重點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際生活中的問題.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)問題1求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)：①在解決上述問題時(shí)，每個(gè)直角三角形需要知道幾個(gè)條件？②直角三角形中哪條邊最長(zhǎng)？問題2在長(zhǎng)方形ABCD中，寬AB=1cm，長(zhǎng)BC=2cm，求AC的長(zhǎng).【教學(xué)說明】在問題1中，選派四名同學(xué)上黑板演示，其它同學(xué)在座位上獨(dú)立思考，然后解決問題2，教師巡視指導(dǎo)，加深學(xué)生對(duì)勾股定理的理解和運(yùn)用.二、思考探究，獲取新知探究1一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？【分析】顯然，這塊薄木板橫著進(jìn)，豎著進(jìn)都不能從門框內(nèi)通過，能否斜著通過門框呢？由圖可知，對(duì)角線AC是斜著通過時(shí)的最大長(zhǎng)度，只要求出AC的長(zhǎng)，再與木板的寬進(jìn)行比較，就能知道木板能否通過門框.解：連接AC，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，由AC2=AB2+BC2，得AC2=12+22=5，∴AC=≈2.236.∵AC大于木板的寬2.2m，所以木板能斜著通過門框.【教學(xué)說明】教師提出問題后，可設(shè)置以下幾個(gè)問題幫助學(xué)生分析：①木板能橫著通過門框嗎？豎著呢？為什么？②如果將木板斜著拿，是否有可能通過門框？此時(shí)，要使木板能通過，則需比較哪些數(shù)據(jù)的大??？你是怎樣想的？讓學(xué)生在相互交流過程中獲得解題思路，初步感受利用勾股定理解決生活實(shí)際問題的思想方法.探究2如圖，一個(gè)3m長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在一豎直的墻OA上，這時(shí)AO的距離為2.5m.如果梯子的頂端A沿墻壁下滑0.5m，那么梯子底端B也向外滑行了0.5m嗎？說說你的理由.【分析】由于梯子沿墻壁滑動(dòng)過程中有兩個(gè)不變量，一是梯子的長(zhǎng)AB=A′B′=3m，另一個(gè)則是∠AOB=∠A′OB′=90°.要想判斷梯子底端向外滑行的距離是否是0.5m，即是通過勾股定理求出OB和OB′的長(zhǎng)即可.由題意得OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.75，OB′2＝A′B′2-OA′2＝32-22＝5，所以O(shè)B′＝≈2.236，OB=≈1.658，故BB′=OB′-OB=2.236-1.658=0.578≈0.58，即梯子頂端下滑0.5m時(shí)，底端外移0.58m.【教學(xué)說明】本例在教師分析后，可由學(xué)生自主完成，讓學(xué)生感受將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求直角三角形邊長(zhǎng)的問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).教師巡視，關(guān)注學(xué)生能否準(zhǔn)確理解題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，關(guān)注學(xué)生的語言表達(dá)能力，對(duì)有困難學(xué)生給予幫助.探究3（1）如圖，在RtΔACB中，∠C=90°，AC=2，BC=3，求斜邊AB的長(zhǎng).（2）我們知道，數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在圖中的數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎？與同伴交流.【教學(xué)說明】通過（1）的思考，讓學(xué)生感受到兩直角邊分別為2和3的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，故可在數(shù)軸上截取長(zhǎng)為3的線段OA，O為原點(diǎn)，A對(duì)應(yīng)數(shù)3，過A作l垂直于數(shù)軸，在l上截取AB=2，連接OB，則OB=，再以O(shè)為圓心，OB為半徑畫圓交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)即為，類似地還可讓學(xué)生在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)，加以鞏固.結(jié)合教材P27中圖17.1-11，圖17.1-12，讓學(xué)生感受在數(shù)軸上畫出表示…的點(diǎn)的方法.三、運(yùn)用新知，深化理解1.有一個(gè)邊長(zhǎng)為50dm的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少是多長(zhǎng)？（結(jié)果保留整數(shù)）2.如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與AB成直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得CA=20m，CB=60m，試求出A、B兩點(diǎn)間的距離.3.在數(shù)軸上作出表示－的點(diǎn).【教學(xué)說明】讓學(xué)生相互交流，共同探討，獲得結(jié)果.第1題建議用圖形來幫助解決問題.教師巡視，適時(shí)點(diǎn)撥，肯定他們的成績(jī)，指出存在的問題，讓學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)和掌握本節(jié)知識(shí).【答案】1.解：d==70.7≈71（dm）.2.解：∵AB2+AC2=BC2，∴AB==＝40m.3.解：∵＝=.∴是以3，1為直角邊的直角三角形斜邊的長(zhǎng).如下圖：四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，談?wù)勀愕捏w會(huì).1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題17.1”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).本課時(shí)所學(xué)內(nèi)容是用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.在實(shí)際生活中，很多問題可以用勾股定理解決，而解決這類問題都需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.就本課時(shí)而言，關(guān)鍵是要通過構(gòu)造直角三角形來完成.所以教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意教學(xué)生如何構(gòu)造直角三角形，找出已知的兩個(gè)量，并讓學(xué)生動(dòng)手畫出圖形，教師再給予適時(shí)點(diǎn)撥.此外，教師還應(yīng)關(guān)注學(xué)生所用語句的規(guī)范性，盡量讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來描述.17.2勾股定理的逆定理1.理解勾股定理的逆定理的證明方法，能證明勾股定理的逆定理.2.能用勾股定理的逆定理判別一個(gè)三角形是否是直角三角形，并能用它解決實(shí)際問題.3.在探索勾股定理的逆定理及其證明方法和運(yùn)用勾股定理逆定理解決具體問題的過程中，進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，增強(qiáng)分析問題、解決問題的能力.4.通過用三角形三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷三角形的形狀，體驗(yàn)數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，感受定理與逆定理之間的和諧及辯證統(tǒng)一的關(guān)系；5.進(jìn)一步增強(qiáng)與他人交流合作的意識(shí)和探究精神.【教學(xué)重點(diǎn)】勾股定理的逆定理及其應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】勾股定理的逆定理的證明.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)問題（1）勾股定理的內(nèi)容是怎樣的？（2）求以線段a，b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長(zhǎng)：①a=3，b=4；②a=2.5,b=6；③a=4,b=7.5.（3）想一想：分別以（2）中a、b、c為三邊的三角形的形狀會(huì)是怎樣的？【教學(xué)說明】教師提出問題后，學(xué)生自主探究，相互交流獲得結(jié)論，最后教師針對(duì)問題（2）、（3）提醒學(xué)生注意它們各自特征，其中（2）是由形獲得數(shù)量關(guān)系，而（3）是由數(shù)量關(guān)系得到形的特征，為勾股定理的逆定理的引入作鋪墊.二、思考探究，獲取新知探究1畫出三邊長(zhǎng)分別為3cm、4cm和5cm，2.5cm、6cm和6.5cm，4cm、7.5cm和8.5cm的三個(gè)三角形，用量角器測(cè)出較大角的度數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能解釋其原因嗎？【教學(xué)說明】將全班同學(xué)分成三個(gè)小組，分別畫出上述三個(gè)三角形，然后相互交流，教師巡視，指導(dǎo)并幫助有困難同學(xué)畫出盡可能準(zhǔn)確的圖形，從而形成對(duì)勾股定理的逆定理的感性認(rèn)識(shí).猜想如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.探究2（1）三邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形與以3，4為直角邊的直角三角形的三邊關(guān)系如何？你是怎樣得到的？簡(jiǎn)要說明理由.（2）你能否受（1）啟發(fā)，說明分別以2.5cm、6cm、6.5cm和4cm、7.5cm、8.5cm為三邊長(zhǎng)的三角形也是直角三角形呢？（3）如圖，若△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2，試證明△ABC是直角三角形，請(qǐng)簡(jiǎn)要地寫出證明過程.【教學(xué)說明】教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用問題（1）、（2）的思路完成問題（3）的證明，得出勾股定理的逆定理，在這期間，教師順勢(shì)給出原命題、逆命題、逆定理的概念，最后師生共同給出逆定理的證明過程，在黑板上展示（也可通過多媒體展示），從而幫助學(xué)生獲得正確認(rèn)知.證明：如圖，畫Rt△A′C′B′，使A′C′=b，B′C′=a，∠A′C′B′=90°.∴在Rt△A′C′B′中，有A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.又a2+b2=c2，∴A′B′2=c2，∴A′B′=c.∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠ACB=∠A′C′B′=90°，即△ABC是直角三角形.三、典例精析，掌握新知例1判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.【教學(xué)說明】本例可由學(xué)生自己獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否是利用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較.例2某港口位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？【分析】由題意，可畫出示意圖如圖所示，易知PQ=16×=24，PR=12×=18，又RQ=30.∵242+182=576+324=900，RQ2=900，∴PR2+PQ2=RQ2，故以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，故易知“海天”號(hào)沿西北方向航行.例3說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等.【分析】如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，那么這兩個(gè)命題是互逆命題，從而可得（1）、（2）的逆命題分別為“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等”，且（1）中的逆命題是真命題，（2）中的逆命題是假命題.四、運(yùn)用新知，深化理解1.如果三條線段a、b、c滿足a2=c2-b2，這三條線段組成的三角形是不是直角三角形？為什么？2.說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（2）角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.【教學(xué)說明】學(xué)生自主探究，尋求結(jié)論，教師巡視，及時(shí)指導(dǎo)，讓學(xué)生在練習(xí)過程中加深對(duì)知識(shí)的領(lǐng)悟.【答案】1.是直角三角形，由勾股定理的逆定理可得.2.（1）逆命題為對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，該逆命題不成立.（2）逆命題為角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.該逆命題成立.五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)談?wù)勥@節(jié)課你的收獲有哪些？還有哪些疑問？與同伴交流.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題17.2”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)是在掌握了勾股定理的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生如何從三邊的關(guān)系來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.由于學(xué)生對(duì)此在理解上可能有些困難，因此教學(xué)時(shí)可以實(shí)行分層教學(xué)，讓不同水平的學(xué)生在同一課堂都能學(xué)好，為此，可設(shè)計(jì)三個(gè)層次的問題，以達(dá)到分層教學(xué)目標(biāo)：第一層次是讓學(xué)生直接運(yùn)用定理判斷三角形是否是直角三角形，掌握定理的基本運(yùn)用；第二層次是強(qiáng)調(diào)已知三角形三邊長(zhǎng)或三邊關(guān)系，再判斷三角形是否是直角三角形，這樣既鞏固了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，又為下一個(gè)層次做好了鋪墊；第三層次是靈活運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決圖形面積的計(jì)算問題.根據(jù)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生更好地體會(huì)分割的思想.教案中設(shè)計(jì)的題型前后呼應(yīng)，使知識(shí)有序推進(jìn)，有助于學(xué)生的理解和掌握，讓學(xué)生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣，感受探索、合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗(yàn)，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人.章末復(fù)習(xí)1.進(jìn)一步感受勾股定理及其逆定理，能用它們解決問題.2.在經(jīng)歷“知識(shí)回顧——問題與思考——問題探究”過程中，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，鍛煉解題技能.3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探究精神，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.【教學(xué)重點(diǎn)】勾股定理及其逆定理解決問題.【教學(xué)難點(diǎn)】用勾股定理的逆命題證明幾何問題.一、知識(shí)回顧，整體把握1.勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為一組勾股數(shù).3.勾股定理的逆定理：在一個(gè)三角形中，如果滿足兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.4.互逆命題、互逆定理.【教學(xué)說明】師生共同回顧本章知識(shí)，教師扼要板書，加深學(xué)生理解.二、釋疑解惑，加深理解1.勾股定理及其逆定理的證明方法是怎樣的，它們各是怎樣體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想的，談?wù)勀愕睦斫?2.已知一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)，就能判斷它是不是直角三角形，你能舉個(gè)例子嗎？3.如果一個(gè)命題成立，它的逆命題一定成立嗎？請(qǐng)舉例說明.【教學(xué)說明】教師展示問題，師生共同回顧，加深認(rèn)識(shí).三、典例精析，復(fù)習(xí)新知例1（1）下列每一組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)值分別為三角形三邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是（）A.3，4，5B.6，8，10C.，2，D.5，12，13（2）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)是（）A.90°B.60°C.45°D.30°【分析】（1）中可直接將選項(xiàng)中三個(gè)數(shù)據(jù)的兩個(gè)較小數(shù)的平方和與最大數(shù)的平方進(jìn)行比較，易知以C選項(xiàng)中三個(gè)數(shù)據(jù)，2，為三邊的三角形不是直角三角形，故選C；（2）中，由于給出了小正方形的邊長(zhǎng)為1，因而可利用勾股定理分別求出線段AB、BC和AC（應(yīng)連接AC）的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀后可得到結(jié)論.∵AB2=12+32=10，CB2=12+22=5，CA2=12+22=5，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，故∠ABC=45°，應(yīng)選C.例2如圖1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分別以DA，AB，BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1,S2,S3，則S1,S2,S3之間的關(guān)系是.【分析】如圖2，過點(diǎn)A作AE∥BC交CD于點(diǎn)E，連接AC，則∠EAC=∠ACB.由AB∥CD知∠BAC=∠ACE,AC=AC,∴△ABC≌△AEC,∴AB=CE,AE=BC.由CD=2AB=CE+DE知DE=CE=AB.由AE∥BC知∠AED=∠BCD，而∠ADC+∠BCD=90°,∴∠ADC+∠AED=90°,∴∠DAE=90°，即△ADE為直角三角形，∴DE2=AD2+AE2，即AB2=AD2+BC2，即S2=S1+S3.例3如圖，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)為.【分析】可過E作EM⊥AD于M，交BC于N，∵E為CD中點(diǎn)，從而易得Rt△DME≌Rt△CNE，而DM=NC=（AD+BC）=，∴AM=-5=.又EM=EN=AB=6，故在Rt△AEM中，有AE2=AM2+EM2=()2+62=+36=，∴AE=.例4已知，如圖，在四邊形ABCD中.∠ABC=90°，CD⊥AD于點(diǎn)D，且CD2+AD2=2AB2.（1）求證AB=BC；（2）當(dāng)BE⊥AD于點(diǎn)E時(shí)，試證明：BE=AE+CD.【分析】(1)由條件CD2+AD2=2AB2，并結(jié)合圖形，有CD2+AD2=AC2，又AC2＝AB2+BC2（連接AC），從而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可沒）；（2）過C作CF⊥BE于F，由AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠CFB，知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE，故BE=BF+FE=AE+CD.例5如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度數(shù).解：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，至△BP′C位置，連PP′（如圖所示），易知BP′=BP＝2，∠PBP′=90°，且∠BPA=∠BP′C，P′C=PA=1.在Rt△BPP′中，有BP2+BP′2=PP′2，即PP′2=22+22=8.又P′C=1.∴PP′2+P′C2=8+1=9，而PC=3，∴PC2=9.故△PP′C為直角三角形，且∠PP′C=90°.又BP=BP′，∠PBP′=90°，∴∠BP′P=45°，故∠BP′C=45°+90°=135°，從而∠APB=135°.【教學(xué)說明】例1、例2可由學(xué)生獨(dú)立完成，例3、4、5由師生共同探究獲得結(jié)論，通過問題解決加深對(duì)勾股定理及其逆定理的理解和運(yùn)用.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)勾股定理及其逆定理是否有更深的認(rèn)識(shí)？你還有哪些疑問？與同伴交流.1.布置作業(yè)：從教材“復(fù)習(xí)題17”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).本章的復(fù)習(xí)應(yīng)緊緊圍繞“勾股定理”這個(gè)中心，師生一起共同回顧本章知識(shí)，并安排學(xué)生進(jìn)行交流.教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并予以解答.此外，教案中安排的五個(gè)例題應(yīng)先讓學(xué)生試著解答，教師再予以點(diǎn)撥，以達(dá)到復(fù)習(xí)的效果.本章專題整合訓(xùn)練1.進(jìn)一步感受勾股定理及其逆定理，能用它們解決問題.2.在經(jīng)歷“知識(shí)回顧——問題與思考——問題探究”過程中，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，鍛煉解題技能.3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探究精神，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.【教學(xué)重點(diǎn)】勾股定理及其逆定理解決問題.【教學(xué)難點(diǎn)】用勾股定理的逆命題證明幾何問題.一、知識(shí)回顧，整體把握1.勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為一組勾股數(shù).3.勾股定理的逆定理：在一個(gè)三角形中，如果滿足兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.4.互逆命題、互逆定理.【教學(xué)說明】師生共同回顧本章知識(shí)，教師扼要板書，加深學(xué)生理解.二、釋疑解惑，加深理解1.勾股定理及其逆定理的證明方法是怎樣的，它們各是怎樣體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想的，談?wù)勀愕睦斫?2.已知一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)，就能判斷它是不是直角三角形，你能舉個(gè)例子嗎？3.如果一個(gè)命題成立，它的逆命題一定成立嗎？請(qǐng)舉例說明.【教學(xué)說明】教師展示問題，師生共同回顧，加深認(rèn)識(shí).三、典例精析，復(fù)習(xí)新知例1（1）下列每一組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)值分別為三角形三邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是（）A.3，4，5B.6，8，10C.，2，D.5，12，13（2）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)是（）A.90°B.60°C.45°D.30°【分析】（1）中可直接將選項(xiàng)中三個(gè)數(shù)據(jù)的兩個(gè)較小數(shù)的平方和與最大數(shù)的平方進(jìn)行比較，易知以C選項(xiàng)中三個(gè)數(shù)據(jù)，2，為三邊的三角形不是直角三角形，故選C；（2）中，由于給出了小正方形的邊長(zhǎng)為1，因而可利用勾股定理分別求出線段AB、BC和AC（應(yīng)連接AC）的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀后可得到結(jié)論.∵AB2=12+32=10，CB2=12+22=5，CA2=12+22=5，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，故∠ABC=45°，應(yīng)選C.例2如圖1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分別以DA，AB，BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1,S2,S3，則S1,S2,S3之間的關(guān)系是.【分析】如圖2，過點(diǎn)A作AE∥BC交CD于點(diǎn)E，連接AC，則∠EAC=∠ACB.由AB∥CD知∠BAC=∠ACE,AC=AC,∴△ABC≌△AEC,∴AB=CE,AE=BC.由CD=2AB=CE+DE知DE=CE=AB.由AE∥BC知∠AED=∠BCD，而∠ADC+∠BCD=90°,∴∠ADC+∠AED=90°,∴∠DAE=90°，即△ADE為直角三角形，∴DE2=AD2+AE2，即AB2=AD2+BC2，即S2=S1+S3.例3如圖，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)為.【分析】可過E作EM⊥AD于M，交BC于N，∵E為CD中點(diǎn)，從而易得Rt△DME≌Rt△CNE，而DM=NC=（AD+BC）=，∴AM=-5=.又EM=EN=AB=6，故在Rt△AEM中，有AE2=AM2+EM2=()2+62=+36=，∴AE=.例4已知，如圖，在四邊形ABCD中.∠ABC=90°，CD⊥AD于點(diǎn)D，且CD2+AD2=2AB2.（1）求證AB=BC；（2）當(dāng)BE⊥AD于點(diǎn)E時(shí)，試證明：BE=AE+CD.【分析】(1)由條件CD2+AD2=2AB2，并結(jié)合圖形，有CD2+AD2=AC2，又AC2＝AB2+BC2（連接AC），從而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可沒）；（2）過C作CF⊥BE于F，由AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠CFB，知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE，故BE=BF+FE=AE+CD.例5如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度數(shù).解：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，至△BP′C位置，連PP′（如圖所示），易知BP′=BP＝2，∠PBP′=90°，且∠BPA=∠BP′C，P′C=PA=1.在Rt△BPP′中，有BP2+BP′2=PP′2，即PP′2=22+22=8.又P′C=1.∴PP′2+P′C2=8+1=9，而PC=3，∴PC2=9.故△PP′C為直角三角形，且∠PP′C=90°.又BP=BP′，∠PBP′=90°，∴∠BP′P=45°，故∠BP′C=45°+90°=135°，從而∠APB=135°.【教學(xué)說明】例1、例2可由學(xué)生獨(dú)立完成，例3、4、5由師生共同探究獲得結(jié)論，通過問題解決加深對(duì)勾股定理及其逆定理的理解和運(yùn)用.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)勾股定理及其逆定理是否有更深的認(rèn)識(shí)？你還有哪些疑問？與同伴交流.1.布置作業(yè)：從教材“復(fù)習(xí)題17”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).本章的復(fù)習(xí)應(yīng)緊緊圍繞“勾股定理”這個(gè)中心，師生一起共同回顧本章知識(shí)，并安排學(xué)生進(jìn)行交流.教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并予以解答.此外，教案中安排的五個(gè)例題應(yīng)先讓學(xué)生試著解答，教師再予以點(diǎn)撥，以達(dá)到復(fù)習(xí)的效果.第十八章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.1平行四邊形的性質(zhì)第1課時(shí)平行四邊形的邊角特征1.理解平行四邊形定義，能夠依據(jù)定義探究平行四邊形的性質(zhì).2.掌握平行四邊形的對(duì)角相等，對(duì)邊相等性質(zhì)，能用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.掌握兩條平行線間的距離的含義.4.經(jīng)歷探索平行四邊形的性質(zhì)及運(yùn)用性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的推理和演繹能力，發(fā)展學(xué)生的抽象思維和形象思維.5.在探索平行四邊形的性質(zhì)及運(yùn)用性質(zhì)解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，感受獲得成功的樂趣，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.【教學(xué)重點(diǎn)】平行四邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)的探究和應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】?jī)蓷l平行線間的距離的含義.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界中，四邊形也在裝點(diǎn)著我們的生活，宏偉的建筑物、鋪滿地面的地板、別具一格的窗欞、天空飛舞的風(fēng)箏……處處都有四邊形的身影，其中平行四邊形與我們的生活關(guān)系更為密切，你能舉出一些日常生活中的平行四邊形的例子嗎？【教學(xué)說明】學(xué)生相互交流，通過日常生活中的平行四邊形實(shí)例感受平行四邊形的含義，初步體驗(yàn)平行四邊形的特征.二、思考探究，獲取新知平行四邊形的概念兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，通常用“ABCD”可記作“ABCD”.思考如圖所示的ABCD中，除了“兩組對(duì)邊分別平行”外，它的邊、角之間有什么關(guān)系？你能說明原因嗎？【教學(xué)說明】教師提出問題后，學(xué)生獨(dú)立思考并相互交流.教師關(guān)注學(xué)生的交流活動(dòng)，針對(duì)學(xué)生思考結(jié)果的實(shí)際情況，開展師生互動(dòng)，如教師提問、學(xué)生自主交流或?qū)W生向教師提出質(zhì)疑等，讓學(xué)生能感受到要想獲得觀察和猜想中結(jié)論“平行四邊形的對(duì)角相等”“平行四邊形的對(duì)邊相等”時(shí)，需通過添加輔助線獲得全等三角形來達(dá)到目的，從而理解并掌握平行四邊形的這些性質(zhì).在引導(dǎo)學(xué)生連接對(duì)角線AC（或BD）后，讓學(xué)生自己完成證明，達(dá)到獲取知識(shí)的目的，教師也可引導(dǎo)學(xué)生在論證“兩組對(duì)角分別相等”時(shí)，還可利用平行四邊形的平行線性質(zhì)得到結(jié)論.平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角相等.探究如圖，a，b是兩條平行線，從直線a上任一點(diǎn)A向直線b作垂線，垂足為B，再過a上另一點(diǎn)C作CD⊥b于D，你能發(fā)現(xiàn)AB與CD的關(guān)系嗎？【教學(xué)說明】學(xué)生相互交流，教師關(guān)注學(xué)生對(duì)問題的探討過程，讓學(xué)生獲得平行線間的距離的感性認(rèn)識(shí)，最后教師予以解釋、歸納和總結(jié)，得出結(jié)論，兩條平行線間的距離：過一條平行線上任一點(diǎn)作另一條平行線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)度叫做兩條平行線間的距離.三、典例精析，掌握新知例1如圖，小明用一根長(zhǎng)為36m的繩子圍成了一個(gè)平行四邊形場(chǎng)地，其中AB邊長(zhǎng)為8m，其他三邊的長(zhǎng)各是多少？解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC.∵AB=8m，∴CD=8m.又AB+BC+CD+DA=36m，∴AD=BC=10m.即其他三邊長(zhǎng)分別為10m,8m,10m.例2如圖，在ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F.求證：BE∥DF.【分析】要證明BE∥DF，依據(jù)圖形特征，需得到同位角∠BEA=∠FDA或∠EBF=∠DFC.這時(shí)聯(lián)想到平行四邊形的性質(zhì)有∠ABC=∠ADC，AD∥BC，再借助角平分線定義可得到結(jié)論.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC.∵BE平分∠ABC，∴∠2=∠ABC.又DF平分∠ADC，∴∠3=∠ADC，∴∠2=∠3.∵AD∥BC，∴∠1=∠2.∴∠1=∠3，∴BE∥DF.【教學(xué)說明】上述兩例均可讓學(xué)生自己獨(dú)立完成，最后教師再展示解答過程.四、運(yùn)用新知，深化理解1.一個(gè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角是58°，這個(gè)平行四邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少？為什么？2.如圖，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm，試求ABCD的周長(zhǎng).【教學(xué)說明】第1題可由學(xué)生獨(dú)立完成，而第2題教師應(yīng)給予適當(dāng)點(diǎn)撥，先求∠C=120°，從而∠B=∠D=60°.易有∠BAE=∠DAF=30°，從而AB=2BE=4cm，AD=2DF=6cm，從而可得結(jié)論.【答案】1.解：由于平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，故它的鄰角互補(bǔ)，所以它的每個(gè)內(nèi)角分別為122°，58°，122°，58°.2.解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，∴∠C＝360°-90°-90°-60°＝120°.∴∠B＝∠D＝180°-120°＝60°.∴∠BAE=∠DAF=90°-60°=30°.在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，BE＝2cm，∴AB=2BE＝4cm.同理：AD=2DF＝6cm.故ABCD的周長(zhǎng)為2（AB+AD）＝2×（4+6）＝20cm.五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)1.在探索平行四邊形性質(zhì)的過程中，你有哪些認(rèn)識(shí)？2.在運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解題時(shí)，應(yīng)注意哪些問題？1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題18.1”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).本課時(shí)中，課本的設(shè)計(jì)意圖是利用圖形平移和旋轉(zhuǎn)的特征來得出平行四邊形的性質(zhì).因此教學(xué)時(shí)應(yīng)先列出日常生活中所用到的一些物體，體會(huì)平行四邊形在日常生活中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)而給出平行四邊形的定義，從定義出發(fā)得到第一個(gè)性質(zhì)，再由學(xué)生動(dòng)手操作和教師演示旋轉(zhuǎn)得到其他性質(zhì).因?yàn)楸菊抡n標(biāo)明確要求學(xué)生能夠嚴(yán)格說理過程，所以教師在得出平行四邊形性質(zhì)的同時(shí)要加上幾何語言的描述，在練習(xí)中也要注意規(guī)范學(xué)生的說理過程.第2課時(shí)平行四邊形的對(duì)角線特征1.理解并掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，并能用它來解決問題.2.通過活動(dòng)探究獲得平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)過程中，增強(qiáng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探究精神，培養(yǎng)分析問題，解決問題的能力.3.在問題解決過程中讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.【教學(xué)重點(diǎn)】平行四邊形的對(duì)角線互相平分這一性質(zhì)的探究與應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】綜合運(yùn)用平形四邊形性質(zhì)解決問題.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)探究如圖，在紙上畫ABCD，將它剪下，再在一張紙上沿ABCD的邊緣畫一個(gè)與ABCD相同的EFGH.在它們的中心（兩條對(duì)角線的交點(diǎn)）釘一個(gè)圖釘，將ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后，它能與EFGH重合嗎？從中你能看出上節(jié)課得到的ABCD的邊、角關(guān)系嗎？進(jìn)一步地，你能發(fā)現(xiàn)OA與OC，OB與OD的關(guān)系嗎？【教學(xué)說明】教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)給出適當(dāng)?shù)臅r(shí)間讓學(xué)生能夠完成操作實(shí)踐，并通過觀察思考獲得結(jié)論，一方面鞏固上節(jié)課學(xué)過的兩個(gè)性質(zhì)，另一方面又為本節(jié)探討平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)作鋪墊，引入新課.二、思考探究，獲取新知通過ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后與EFGH重合，易發(fā)現(xiàn)OA=OC，OB=OD這一結(jié)論，于是有：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即在ABCD中，AC、BD相交于O，則有OA=OC，OB=OD.思考請(qǐng)觀察下邊的圖形（在ABCD中，AC、BD相交于O），你能證明上述結(jié)論嗎？【教學(xué)說明】教師可引導(dǎo)學(xué)生利用三角形全等來得到上述結(jié)論，讓學(xué)生自主完成證明過程.三、典例精析，掌握新知例1如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的長(zhǎng)及ABCD的面積.【分析】由平行四邊形的對(duì)邊相等易知BC=AD=8，CD=AB=10，再在Rt△ACB中，AB=10，BC=8，∠ACB=90°，∴AC=6，由平行四邊形的對(duì)角線互相平分知OA=OC=12AC=3，從而易得ABCD的面積為BC×AC=6×8=48.【教學(xué)說明】教師給出本題后，應(yīng)讓學(xué)生先獨(dú)立完成試試，然后教師給出評(píng)講，讓學(xué)生在成功或挫折中加深對(duì)知識(shí)的領(lǐng)悟.例2如圖，ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的一直線交AD于E，交BC于F.求證：OE=OF.【分析】由平行四邊形的性質(zhì)有OA=OC，又AD∥BC，故∠EAO=∠FCO，又由∠AOE=∠COF易知△AOE≌△COF，從而OE=OF.【教學(xué)說明】本例仍可先讓學(xué)生自己獨(dú)立完成，然后相互交流，教師巡視，對(duì)有困難同學(xué)及時(shí)予以指導(dǎo).四、運(yùn)用新知，深化理解1.如圖，在ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，△AOD的周長(zhǎng)是多少？為什么？△ABC與△DBC的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？長(zhǎng)多少？2.如圖，ABCD的周長(zhǎng)為50cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且△AOB的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)長(zhǎng)7cm，求ABCD的各邊長(zhǎng).3.如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.（1）若AB＝4，AD＝8，求對(duì)角線AC的范圍；（2）若AB＝4，BD＝10，求對(duì)角線AC的范圍.4.如圖，王大爺有一塊平行四邊形菜地，現(xiàn)在想把它分成面積相等的兩塊，兩塊地中間挖一條與一組對(duì)邊AD、BC都垂直的水溝，你能幫助他完成這個(gè)分法嗎？【教學(xué)說明】通過上述四道題的探究，可進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)平行四邊形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，鍛煉分析問題，解決問題的能力.【答案】1.解：在ABCD中，AC=8cm，BD=14cm.∴AO＝1/2AC＝4cm，DO＝1/2BD＝7cm.∴△AOD的周長(zhǎng)是AO+OD+AD＝4+7+10＝21cm.又∵△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=AB+8+10=AB+18，△DBC的周長(zhǎng)為BD+CD+BC=14+AB+10=24+AB.∴△DBC的周長(zhǎng)比△ABC的周長(zhǎng)長(zhǎng)，長(zhǎng)（24+AB）－（18+AB）＝6cm.2.解：∵ABCD的周長(zhǎng)為50cm，∴2（AB+BC）=50cm，即AB+BC＝25cm①，由平行四邊形的性質(zhì)得：AO=CO，故C△AOB-C△BOC＝（AB+AO+BO）-（BO+CO+BC）=AB-BC=7cm②，聯(lián)系①②解得：AB=16cm，BC＝9cm.即ABCD的邊長(zhǎng)分別為16cm，9cm，16cm，9cm.3.解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD，在△ABC中，BC-AB＜AC＜BC+AB，∴8-4＜AC＜8+4，即4＜AC＜12.（2）∵BO＝12BD＝5，∴BO-AB＜OA＜BO+