2024屆浙江省麗水四校聯(lián)考 數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆浙江省麗水四校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)報名參加社區(qū)服務(wù)活動,社區(qū)服務(wù)活動共有關(guān)愛老人?環(huán)境監(jiān)測?教育咨詢?交通宣傳?文娛活動五個項目,每人限報其中一項,記事件為“5名同學(xué)所報項目各不相同”,事件為“只有甲同學(xué)一人報關(guān)愛老人項目”,則()A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2-x）（2x+1）6的展開式中x4的系數(shù)為（）A． B．320 C．480 D．6404．在中，,則（）A． B． C． D．5．如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點，分別是在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率是（）A． B． C． D．6．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則7．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則A． B． C． D．8．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9．已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則的值為()A． B． C． D．110．已知隨機變量服從二項分布，若，，則，分別等于（）A．， B．， C．， D．，11．已知關(guān)于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半，則一定是()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形12．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．小明玩填數(shù)游戲：將1，2，3，4四個數(shù)填到的表格中，要求每一行每一列都無重復(fù)數(shù)字。小明剛填了一格就走開了（如右圖所示），剩下的表格由爸爸完成，則爸爸共有_______種不同的填法.（結(jié)果用數(shù)字作答）114．的展開式中的有理項共有__________項．15．點P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則的取值范圍是__.16．已知角的終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)是，則的值是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，且成等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2），求數(shù)列的前和．18．（12分）中央政府為了應(yīng)對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們]對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15∽65歲的人群中隨機調(diào)查100人，調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如下：年齡支持“延遲退休”的人數(shù)155152817（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；45歲以下45歲以上總計支持不支持總計（2）若以45歲為分界點，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動.現(xiàn)從這8人中隨機抽2人①抽到1人是45歲以下時，求抽到的另一人是45歲以上的概率.②記抽到45歲以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中19．（12分）（1）已知矩陣的一個特征值為，其對應(yīng)的特征向量，求矩陣及它的另一個特征值.（2）在極坐標(biāo)系中，設(shè)P為曲線C：上任意一點，求點P到直線l：的最小距離.20．（12分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，梯形面積為.（1）當(dāng)，時，求梯形的周長(精確到)；（2）記，求面積以為自變量的函數(shù)解析式，并寫出其定義域.21．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若的最小值為，正實數(shù)，滿足，求的最小值.22．（10分）將下列參數(shù)方程化為普通方程：（1）（為參數(shù)）；（2）（為參數(shù)）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由條件概率與獨立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【題目詳解】由已知有事件概率為：，事件概率為：P(AB)=，所以P(A|B)=，故選：A.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，條件概率的兩種求法:(1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法:借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=，本題屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】因，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，應(yīng)選答案B．3、B【解題分析】，展開通項，所以時，；時，，所以的系數(shù)為，故選B．點睛：本題考查二項式定理．本題中，首先將式子展開得，再利用二項式的展開通項分別求得對應(yīng)的系數(shù)，則得到問題所要求的的系數(shù)．4、B【解題分析】

先根據(jù)求得，進而求得，根據(jù)余弦定理求得以及，由此求得.【題目詳解】由于，所以且為銳角，所以.由余弦定理得.故.所以.故選B.【題目點撥】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查余弦定理解三角形，考查向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題.5、D【解題分析】

試題分析：由橢圓與雙曲線的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線的長軸長)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考點：橢圓的幾何性質(zhì)．6、C【解題分析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【題目詳解】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，，則或，故B錯誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯誤．故選C．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是中檔題．7、C【解題分析】

本題考點為復(fù)數(shù)的運算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【題目詳解】則．故選C．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．8、A【解題分析】由已知得，由，則，又，所以.故選A.9、D【解題分析】

令y=，從而求導(dǎo)y′=以確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，再令=t，從而化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，從而可得a＜﹣3或a＞1，討論求解即可．【題目詳解】令y=，則y′=，故當(dāng)x∈（0，e）時，y′＞0，y=是增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時，y′＞0，y=是減函數(shù)；且=﹣∞，=，=0；令=t，則可化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故結(jié)合題意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨設(shè)方程的兩個根分別為t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，與t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，則方程的兩個根t1，t2一正一負(fù)；不妨設(shè)t1＜0＜t2，結(jié)合y=的性質(zhì)可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故選：D．【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用．10、C【解題分析】分析：直接利用二項分布的期望與方差列出方程求解即可．詳解：隨機變量服從二項分布，若，，

可得故選：C．點睛：本題考查離散型隨機變量的分布列的期望以及方差的求法，考查計算能力．11、B【解題分析】分析：根據(jù)題意利用韋達(dá)定理列出關(guān)系式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡得到A=B，即可確定出三角形形狀．詳解：設(shè)已知方程的兩根分別為x1，x2，根據(jù)韋達(dá)定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，∵x1+x2=x1x2，∴2cosAcosB=1﹣cosC，∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，∴A﹣B=0，即A=B，∴△ABC為等腰三角形．故選B．點睛：此題考查了三角形的形狀判斷，涉及的知識有：根與系數(shù)的關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．12、C【解題分析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【題目詳解】所以【題目點撥】本題考查正余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、144【解題分析】分析：依據(jù)題意已經(jīng)放好一個數(shù)字，為了滿足要求進行列舉出結(jié)果詳解：第一行將數(shù)字填入表格有種可能，然后將數(shù)字填入表格有種可能；那么第二行每個數(shù)字分別有、、、種可能；根據(jù)題意每一行每一列都無重復(fù)數(shù)字，所以第三行只有種可能，第四行每個數(shù)字都只有一種情況，所以一共有點睛：本題考查了排列組合，在解答題目時按照題意采取了列舉法，分別考慮每一行的情況，然后再進行排列，在解題時注意是否存在重復(fù)的情況。14、3【解題分析】，，因為有理項，所以，共三項。填3.15、[﹣，0]【解題分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可．【題目詳解】解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則點A（1，0，0），C1（0，1，1），設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x＝y(tǒng)時，?取得最小值為；當(dāng)x＝0或1，且y＝0或1時，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]．故答案為：[，0]．【題目點撥】本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運算問題，是綜合性題目．16、【解題分析】試題分析：由題意得.考點：三角函數(shù)的定義；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；誘導(dǎo)公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）首先根據(jù)題意得到，化簡得到，求出，再代入即可.（2）首先化簡得到，再利用裂項求和計算即可.【題目詳解】（1）由題知：，即化簡得：，，所以..（2）..【題目點撥】本題第一問考查等差、等比數(shù)列的綜合，第二問考查裂項求和，屬于中檔題.18、（1）能（2）①②見解析【解題分析】分析：（1）由統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；

（2）①求抽到1人是45歲以下的概率，再求抽到1人是45歲以上的概率，

②根據(jù)題意知的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出隨機變量的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值．詳解：（1）由頻率分布直方圖知45歲以下與45歲以上各50人，故填充列聯(lián)表如下：45歲以下45歲以上總計支持354580不支持15520總計5050100因為的觀測值，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異.（2）①抽到1人是45歲以下的概率為，抽到1人是45歲以下且另一人是45歲以上的概率為，故所求概率.②從不支持“延遲退休”的人中抽取8人，則45歲以下的應(yīng)抽6人，45歲以上的應(yīng)抽2人.所以的可能取值為0,1,2.，，.故隨機變量的分布列為：012所以.點睛：本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是中檔題．19、（1）；；（2）.【解題分析】

（1）由矩陣運算，代入可求得或，即求得另一個特征值。（2）由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，實現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化?！绢}目詳解】（1）由得：，，矩陣的特征多項式為，令，得，解得或所以矩陣的另一個特征值為（2）以極點為原點，極軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系．因為，所以，將其化為普通方程，得將曲線：化為普通方程，得．所以圓心到直線的距離所以到直線的最小距離為【題目點撥】直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，利用這個公式可以實現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化。20、（1）周長是；（2），定義域.【解題分析】分析：（1）