2024屆湖南省長沙市廣益實驗中學高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆湖南省長沙市廣益實驗中學高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，則A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>2．在《九章算術）方田章圓田術（劉徽注）中指出：“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至不能割，則與圓周合體而無所失矣．”注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值，這可以通過方程確定出來，類似地，可得的值為（）A． B． C． D．3．設是函數(shù)的定義域，若存在，使，則稱是的一個“次不動點”，也稱在區(qū)間I上存在“次不動點”.若函數(shù)在上存在三個“次不動點”，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，若，且，則的值為（）A． B． C．1 D．05．已知的展開式中的系數(shù)為，則（）A．1 B． C． D．6．設集合，分別從集合A和B中隨機抽取數(shù)x和y，確定平面上的一個點，記“點滿足條件”為事件C，則（）A． B． C． D．7．在一次試驗中，測得的四組值分別是，，，，則與之間的線性回歸方程為()A． B． C． D．8．三棱錐中，，，為的中點,分別交，于點、，且，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．9．已知拋物線（是正常數(shù)）上有兩點、，焦點，甲：；乙：；丙：；丁：.以上是“直線經(jīng)過焦點”的充要條件有幾個（）A． B． C． D．10．6本相同的數(shù)學書和3本相同的語文書分給9個人，每人1本，共有不同分法（）A． B．C． D．11．已知i是虛數(shù)單位,若復數(shù)z滿足,則=A．-2i B．2i C．-2 D．212．已知函數(shù)的圖象如圖，設是的導函數(shù)，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在側(cè)棱長為的正三棱錐中，，若過點的截面，交于，交于，則截面周長的最小值是______14．有7張卡片分別寫有數(shù)字從中任取4張，可排出不同的四位數(shù)的個數(shù)是__________．15．已知“”是“”的充分不必要條件，且，則的最小值是_____．16．隨機變量X的分布列是123P0.40.20.4則EX,DX分別是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.18．（12分）某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)．（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)Ⅱ根據(jù)（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結論19．（12分）已知正四棱柱中，底面邊長為2，，點在線段上.（1）求異面直線與所成角的大?。唬ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）（2）若直線平面所成角大小為，求多面體的體積.20．（12分）已知函數(shù)的定義域為，且對任意實數(shù)恒有（且）成立.（1）求函數(shù)的解析式；（2）討論在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.21．（12分）某單位組織“學習強國”知識競賽，選手從6道備選題中隨機抽取3道題.規(guī)定至少答對其中的2道題才能晉級.甲選手只能答對其中的4道題。(1)求甲選手能晉級的概率；(2)若乙選手每題能答對的概率都是，且每題答對與否互不影響，用數(shù)學期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平。22．（10分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線，極坐標方程分別為，．（Ⅰ）和交點的極坐標；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與軸的交點為，且與交于，兩點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】∵，∴，∵，∴，故選A．【名師點睛】求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求出取各個值時的概率．對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．由已知本題隨機變量服從兩點分布，由兩點分布數(shù)學期望與方差的公式可得A正確．2、B【解題分析】

設，可得，求解即可.【題目詳解】設，則，即，解得，取.故選B.【題目點撥】本題考查了類比推理，考查了計算能力，屬于基礎題.3、A【解題分析】

由已知得在上有三個解。即函數(shù)有三個零點，求出，利用導函數(shù)性質(zhì)求解?！绢}目詳解】因為函數(shù)在上存在三個“次不動點”，所以在上有三個解，即在上有三個解，設，則，由已知，令得，即或當時，，；，，要使有三個零點，則即，解得；當時，，；，，要使有三個零點，則即，解得；所以實數(shù)的取值范圍是故選A.【題目點撥】本題考查方程的根與函數(shù)的零點，以及利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于綜合體。4、C【解題分析】由題意得，，則，又，即，解得，所以，令，即，，解得該函數(shù)的對稱軸為，則，即，所以，故選C.5、D【解題分析】

由題意可得展開式中x2的系數(shù)為前一項中常數(shù)項與后一項x的二次項乘積，加上第一項x的系數(shù)與第二項x的系數(shù)乘積的和，由此列方程求得a的值．【題目詳解】根據(jù)題意知，的展開式的通項公式為，∴展開式中含x2項的系數(shù)為a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故選D．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應用問題，利用二項式展開式的通項公式是解決此類問題的關鍵．6、A【解題分析】

求出從集合A和B中隨機各取一個數(shù)x，y的基本事件總數(shù)，和滿足點P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的基本事件個數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案．【題目詳解】∵集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，分別從集合A和B中隨機各取一個數(shù)x，y，確定平面上的一個點P（x，y），共有6×6＝36種不同情況，其中P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8個，∴C的概率P（C），故選A．【題目點撥】本題考查的知識點是古典概型概率計算公式，考查了列舉法計算基本事件的個數(shù)，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解答的關鍵．7、D【解題分析】

根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，把樣本中心點代入所給的四個選項中驗證，若能夠成立的只有一個，這一個就是線性回歸方程．【題目詳解】∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是

把樣本中心點代入四個選項中，只有成立，

故選D．【題目點撥】本題考查求線性回歸方程，一般情況下是一個運算量比較大的問題，解題時注意平均數(shù)的運算不要出錯，注意系數(shù)的求法，運算時要細心，但是對于一個選擇題，還有它特殊的加法．8、B【解題分析】

由已知可知，是正三角形，從而，，進而，是的平分線，，由此能求出三棱錐體積的最大值.【題目詳解】由題意得，，所以是正三角形，分別交，于點、，，，，,，，是的平分線，，以為原點，建立平面直角坐標系，如圖：設，則，整理得，，因此三棱錐體積的最大值為.故選：B【題目點撥】本題考查了三棱錐的體積公式，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.9、B【解題分析】

設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理驗證四個選項結論成立時，實數(shù)的值，可以得出“直線經(jīng)過焦點”的充要條件的個數(shù).【題目詳解】設直線的方程為，則直線交軸于點，且拋物線的焦點的坐標為.將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，，由韋達定理得，.對于甲條件，，得，甲條件是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；對于乙條件，，得，此時，直線過拋物線的焦點，乙條件是“直線經(jīng)過焦點”的充要條件；對于丙條件，，即，解得或，所以，丙條件是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；對于丁條件，，化簡得，得，所以，丁條件是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件.綜上所述，正確的結論只有個，故選B.【題目點撥】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，以及直線與拋物線的綜合問題，同時也考查了充分必要條件的判定，解題時要假設直線的方程，并將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求解，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中等題.10、A【解題分析】先分語文書有種，再分數(shù)學書有，故共有=，故選A.11、A【解題分析】由得,即,所以,故選A.【名師點睛】復數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進行復數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則,除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化.注意下面結論的靈活運用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.12、D【解題分析】

由題意，分析、、所表示的幾何意義，結合圖形分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，由導數(shù)的幾何意義：表示函數(shù)在處切線的斜率，表示函數(shù)在處切線的斜率，，為點和點連線的斜率，結合圖象可得：，故選：D．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，涉及直線的斜率比較，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個平面內(nèi)，如圖，則即為截面周長的最小值，且．中，由余弦定理可得的值．【題目詳解】如圖所示：沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個平面內(nèi)，如圖（2），則即為截面周長的最小值，且．中，由余弦定理可得：.故答案為1．【題目點撥】本題考查余弦定理的應用、棱錐的結構特征、利用棱錐的側(cè)面展開圖研究幾條線段和的最小值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運算求解能力．14、114【解題分析】

根據(jù)題意,按取出數(shù)字是否重復分4種情況討論:①、取出的4張卡片中沒有重復數(shù)字,即取出的4張卡片中的數(shù)字為1、2、3、4;②、取出的4張卡片中4有2個重復數(shù)字，則2個重復的數(shù)字為1或2;③若取出的4張卡片為2張1和2張2;④、取出的4張卡片種有3個重復數(shù)字，則重復的數(shù)字為1.分別求出每種情況下可以排出四位數(shù)的個數(shù),由分類計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論：(1)取出的4張卡片中沒有重復數(shù)字,即取出的4張卡片中的數(shù)字為1、2、3、4，此時=24種順序,可以排出24個四位數(shù);(2)取出的4張卡片中有2個重復數(shù)字,則2個重復的數(shù)字為1或2，若重復的數(shù)字為1,在2、3、4中取出2個,有種取法,安排在四個位置中,有種情況,剩余位置安排數(shù)字1,可以排出3×12=36個四位數(shù),同理,若重復的數(shù)字為2,也可以排出36個重復數(shù)字;(3)若取出的4張卡片為2張1和2張2,在4個位置安排兩個1,有種情況,剩余位置安排兩個2,則可以排出6×1=6個四位數(shù);(4)取出的4張卡片中有3個重復數(shù)字,則重復的數(shù)字為1,在2、3、4中取出1個卡片,有種取法,安排在四個位置中,有種情況,剩余位置安排1,可以排出3×4=12個四位數(shù);所以一共有24+36+36+6+12=114個四位數(shù).故答案為:114.【題目點撥】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用,屬于難題,有關排列組合的綜合問題,往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題,解答這類問題理解題意很關鍵,一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”,在應用分類計數(shù)加法原理討論時,既不能重復交叉討論又不能遺漏,這樣才能提高準確率,難度較難.15、【解題分析】

先求解指數(shù)不等式，再運用充分不必要條件求解范圍.【題目詳解】，則由題意得，所以能取的最小整數(shù)是．【題目點撥】本題考查指數(shù)不等式和充分不必要條件，屬于基礎題.16、2,0.1【解題分析】

于已知分布列，故可直接使用公式求期望、方差．【題目詳解】Eξ=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2，Dξ=（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.2+（3﹣2）2×0.4=0.1．故答案為：2,0.1．【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的分布和數(shù)學期望、方差等基礎知識，熟記期望、方差的公式是解題的關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）由已知邊的關系配湊出余弦定理的形式，求得，根據(jù)的范圍求得結果；（2）利用兩角和差正弦公式和輔助角公式將整理為，由可求得的范圍，進而結合正弦函數(shù)的圖象可求得的值域，從而得到所求范圍.【題目詳解】（1）由得：，即：（2）的取值范圍為：【題目點撥】本題考查余弦定理解三角形、三角形中取值范圍類問題的求解，關鍵是能利用兩角和差公式和輔助角公式將所求式子轉(zhuǎn)變?yōu)榈男问剑谜倚秃瘮?shù)值域的求解方法求得結果.18、見解析【考點定位】本題主要考察同角函數(shù)關系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式，考查運算能力、特殊與一般思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想【解題分析】試題分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)式子的結構規(guī)律，得，由三角函數(shù)中的恒等變換的公式展開即可證明．試題解析：（1）選擇（2），計算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，故這個常數(shù)為．（2）根據(jù)（1）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=證明：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin2α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=考點：三角恒等變換；歸納推理．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用異面直線所成角的定義再結合正四棱柱中的性質(zhì)可得直線與所成的角即為所求然后在三角形利用余弦定理即可得解．（2）由于多面體的不規(guī)則性故可利用因此需利用直線與平面所成角為來確定點的位置后問題就解決了．【題目詳解】（1）連接則由于在正四棱柱中故異面直線與所成角即為直線與所成的角正四棱柱中，底面邊長為2，，，異面直線與所成角即為（2）正四棱柱中面，直線與平面所成角為，，，，即多面體的體積為．【題目點撥】本題考查異面直線所成的角和幾何體體積的求解．解題的關鍵是第一問要利用圖形的性質(zhì)將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；第二問對于不規(guī)則圖形體積的求解常采用規(guī)則圖形的體積差來求解（比如本題中的多面體的體積轉(zhuǎn)化為正三棱柱的體積減去三棱錐的體積）.20、（1）（2）當時，在上為單調(diào)減函數(shù)；當時，在上為單調(diào)增函數(shù).【解題分析】試題分析：（1）①，用替換①式中的有：②，由①②消去即可得結果；（2）討論兩種情況，分別利用復合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，再利用定義意且，判定的符合，即可證明結論.試題解析：（1）∵對任意實數(shù)恒有：①，用替換①式中的有：②，①×②—②得：，（2）當時，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)減函數(shù)，∴在上為單調(diào)減函數(shù).當時，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)增函數(shù)，∴在上為單調(diào)增函數(shù).證明：設任意且，則，∵，，①當時，則，∴∴在上是減函數(shù).②當時，則，∴∴在上是增函數(shù).綜上：當時，在上為單調(diào)減函數(shù)；當時，在上為單調(diào)增函數(shù).21、（1）；（2）乙選手比甲選手的答題水平高【解題分