江蘇省興化市戴南高級中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

江蘇省興化市戴南高級中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓為參數(shù))的離心率是()A． B． C． D．2．以下幾個命題中：①線性回歸直線方程恒過樣本中心；②用相關(guān)指數(shù)可以刻畫回歸的效果，值越小說明模型的擬合效果越好；③隨機(jī)誤差是引起預(yù)報值和真實(shí)值之間存在誤差的原因之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差；④在含有一個解釋變量的線性模型中，相關(guān)指數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方.其中真命題的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．運(yùn)行下列程序，若輸入的的值分別為，則輸出的的值為A． B．C． D．4．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設(shè)全集U＝R，集合，，則集合()A． B．C． D．6．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示.則球的半徑是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm7．的展開式存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．148．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成（）A．假設(shè)當(dāng)時，能被整除B．假設(shè)當(dāng)時，能被整除C．假設(shè)當(dāng)時，能被整除D．假設(shè)當(dāng)時，能被整除9．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則等于（）A． B． C． D．10．若函數(shù)在時取得極值，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，設(shè)曲線在處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．12．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是()A．512 B．12 C．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為____________.14．執(zhí)行如圖所示的偽代碼,則輸出的S的值是_______.15．_________________．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為迎接新中國成立70周年，學(xué)校布置一橢圓形花壇，如圖所示，是其中心，是橢圓的長軸，是短軸的一個端點(diǎn).現(xiàn)欲鋪設(shè)灌溉管道，擬在上選兩點(diǎn)，，使，沿、、鋪設(shè)管道，設(shè)，若，，（1）求管道長度關(guān)于角的函數(shù)及的取值范圍；（2）求管道長度的最小值.18．（12分）若正數(shù)滿足，求的最小值.19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當(dāng)a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求在上的最大值和最小值：（2）若，恒成立，求a的取值范圍．21．（12分）一只口袋中裝有形狀、大小都相同的10個小球，其中有紅球2個，黑球3個，白球5個．從中1次隨機(jī)摸出2個球，求2個球顏色相同的概率；從中1次隨機(jī)摸出3個球，記白球的個數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；每次從袋中隨機(jī)摸出1個球，記下顏色后放回，連續(xù)取3次，求取到紅球的次數(shù)大于取到白球的次數(shù)的概率．22．（10分）（1）集合，或，對于任意，定義，對任意，定義，記為集合的元素個數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；（3）已知當(dāng)時，有，根據(jù)此信息，若對任意，都有，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先求出橢圓的普通方程，再求其離心率得解.【題目詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以c=.所以e＝.故答案為A【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查參數(shù)方程和普通方程的互化，考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)在橢圓中，2、C【解題分析】

由線性回歸直線恒過樣本中心可判斷①，由相關(guān)指數(shù)的值的大小與擬合效果的關(guān)系可判斷②，由隨機(jī)誤差和方差的關(guān)系可判斷③，由相關(guān)指數(shù)和相關(guān)系數(shù)的關(guān)系可判斷④.【題目詳解】①線性回歸直線方程恒過樣本中心,所以正確.②用相關(guān)指數(shù)可以刻畫回歸的效果，值越大說明模型的擬合效果越好，所以錯誤.③隨機(jī)誤差是引起預(yù)報值和真實(shí)值之間存在誤差的原因之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差；所以正確.④在含有一個解釋變量的線性模型中，相關(guān)指數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方,所以正確.所以①③④正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸直線方程和相關(guān)指數(shù)刻畫回歸效果、以及與相關(guān)系數(shù)的變形，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】分析：按照程序框圖的流程逐一寫出即可詳解：第一步：第二步：第三步：第四步：最后：輸出．，故選B．點(diǎn)睛：程序框圖的題學(xué)生只需按照程序框圖的意思列舉前面有限步出來，觀察規(guī)律，得出所求量與步數(shù)之間的關(guān)系式．4、D【解題分析】

由題意可知有解，即在有解，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可知m的范圍.【題目詳解】∵函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對稱的點(diǎn)，∴有解，∴，∴在有解，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查對稱性的運(yùn)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為在有解，屬于中檔題．5、A【解題分析】

求出，然后求解即可.【題目詳解】全集，集合，則集合，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算，屬于簡單題目.6、C【解題分析】

設(shè)出球的半徑，根據(jù)題意得三個球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，結(jié)合體積公式求解即可．【題目詳解】設(shè)球半徑為，則由，可得，解得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了幾何體的體積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生空間想象能力以及計算能力，是基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

化簡二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為零，根據(jù)為正整數(shù)，求得的最小值.【題目詳解】，令，則，當(dāng)時，有最小值為7.故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查與正整數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】注意n為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設(shè)．解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意n為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)n=2k-1（k∈N*）正確，再推n=2k+1正確；故選D．本題是基礎(chǔ)題，不僅注意第二步的假設(shè)，還要使n=2k-1能取到1，是解好本題的關(guān)鍵．9、B【解題分析】因?yàn)?所以,解得.即等于.故選B.10、D【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在時取得極值，得到，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在時取得極值，所以，解得.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于常考題型.11、C【解題分析】

由題意可得對任意恒成立，可得，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)處切線的斜率，進(jìn)而可求出在點(diǎn)處切線的方程，將點(diǎn)代入切線的方程即可求出，進(jìn)而可求出，再利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系，即可到答案．【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，所以，，所以，所以，所以函數(shù)在處的切線的斜率，又，所以切線的方程為，又切線過點(diǎn)，所以，解得，所以函數(shù)在處的切線的斜率，所以，所以，所以．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的對稱中心方程應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及在一點(diǎn)處的切線的方程，同時考查誘導(dǎo)公式和同角基本關(guān)系，屬于中檔題．12、C【解題分析】試題分析：由題意可知，事件A與事件B是相互獨(dú)立的，而事件A、B中至少有一件發(fā)生的事件包含AB、AB、AB，又P(A)=12，考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件概率的計算．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

列舉出算法的每一步，于此可得出該算法輸出的結(jié)果．【題目詳解】成立，，，，；不成立，輸出的值為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查算法與程序框圖，要求讀懂程序框圖，解題時一般是列舉每次循環(huán)，并寫出相應(yīng)的結(jié)果，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．14、110【解題分析】

分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)順序，可知：該程序的作用是累加并輸出的值，利用等差數(shù)列的求和公式計算即可得解.【題目詳解】分析程序中各變量、各語句的作用，根據(jù)順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件的值，由于，故輸出的的值為：，故答案是：.【題目點(diǎn)撥】該題考查的用偽代碼表示的循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序的相關(guān)計算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于簡單題目.15、【解題分析】

根據(jù)微積分基本定理計算即可【題目詳解】（x2+2x+1）dx．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了微積分基本定理，關(guān)鍵是找到原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

利用已知條件求出數(shù)列前項(xiàng)的和以及前項(xiàng)的和，然后求解即可.【題目詳解】解：由數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，可得，，，，則.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解題分析】

(1)由三角函數(shù)值分別計算出、、的長度，即可求出管道長度的表達(dá)式，求出的取值范圍(2)由(1)得管道長度的表達(dá)式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)后判斷其單調(diào)性求出最小值【題目詳解】解：（1）因?yàn)椋?，，所以，其中?（2）由，得，令，，當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù).所以，當(dāng)，即時，答：管道長度的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了運(yùn)用三角函數(shù)求解實(shí)際問題，在求最值時可以采用求導(dǎo)的方法判斷其單調(diào)性，然后求出最值，需要掌握解題方法18、【解題分析】試題分析：由柯西不等式得，所以試題解析：因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，且，所以．于是由均值不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立．從而．故的最小值為．此時．考點(diǎn)：柯西不等式19、(1){x|x≥4或x≤1}；(2)[－3，0].【解題分析】試題分析：（1）解絕對值不等式首先分情況去掉絕對值不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集即得所求．（2）原命題等價于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范圍試題解析：（1）當(dāng)a＝－3時，f（x）＝當(dāng)x≤2時，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；當(dāng)2＜x＜3時，f（x）≥3無解；當(dāng)x≥3時，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f（x）≥3的解集為{x|x≤1或x≥4}．6分（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.當(dāng)x∈[1，2]時，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由條件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－3，0]．考點(diǎn)：絕對值不等式的解法；帶絕對值的函數(shù)20、（1）最大值是，最小值為1．（2）【解題分析】

（1）記的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，分析可得，結(jié)合，可得在R上是增函數(shù)，再，可得在上是增函數(shù)，即得解；（2）分，，三種情況分析的單調(diào)性，繼而分析的最小值，即得解.【題目詳解】（1）為表述簡單起見，記的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．當(dāng)時，，則．，所以在R上是增函數(shù)．又，所以當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)．故在上的最大值是，最小值為．（2），．①若，即時，，所以在R上是增函數(shù)．又，所以當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)．所以當(dāng)時，．可見，當(dāng)，．又是偶函數(shù)，所以恒成立．所以符合題意．②若，即時，，所以在R上是減函數(shù)．所以當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)．所以當(dāng)時，．這與恒成立矛盾，所以不符合題意．③當(dāng)時，．由，得．由的圖象，知存在唯一的，使得．當(dāng)時，．所以在上是減函數(shù)．所以當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)．所以當(dāng)時，．這與恒成立矛盾，所以不符合題意．綜上，a的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了二次求導(dǎo)，含參函數(shù)的最值，不等式恒成立問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.21、（1）；（2）詳見解析；（3）.【解題分析】

利用互斥事件的概率求和公式計算即可；由題意知X的可能取值，計算所求的概率值，寫出X的概率分布，求出數(shù)學(xué)期望值；由題意知事件包含一紅兩黑和兩紅一黑，兩紅一白，求出對應(yīng)的概率值．【題目詳解】解：從袋中1次隨機(jī)摸出2個球，則2個球顏色相同的概率為；從袋中1次隨機(jī)摸出3個球，記白球的個數(shù)為X，則X的可能取值是0，1，2，3；則，，，，隨機(jī)變量X的概率分布為；

X0123

P

數(shù)學(xué)期望；記3次摸球后，取到紅球的次數(shù)大于取到白球的次數(shù)為事件A，則．【題目點(diǎn)撥】本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是中檔題．22、（1），；（2）為正偶數(shù)；（3）；【解題分析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個數(shù)；利用倒序相加法及，即可得到答案；（2）假設(shè)存在，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論；（3）利用類比推理和分類計數(shù)原理可得的值.【題目詳解】（1）由