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安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作九章算術(shù)注中,稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”,劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為:若正方體的棱長(zhǎng)為2,則“牟合方蓋”的體積為A.16 B. C. D.2.已知隨機(jī)變量,其正態(tài)分布曲線如圖所示,若向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分的點(diǎn)數(shù)估計(jì)值為()(附:則)A.6038 B.6587 C.7028 D.75393.已知是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.4.設(shè)關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.2019年4月,北京世界園藝博覽會(huì)開(kāi)幕,為了保障園藝博覽會(huì)安全順利地進(jìn)行,某部門將5個(gè)安保小組全部安排到指定的三個(gè)不同區(qū)域內(nèi)值勤,則每個(gè)區(qū)域至少有一個(gè)安保小組的排法有()A.150種 B.240種 C.300種 D.360種6.已知10件產(chǎn)品有2件是次品.為保證使2件次品全部檢驗(yàn)出的概率超過(guò)0.6,至少應(yīng)抽取作檢驗(yàn)的產(chǎn)品件數(shù)為()A.6 B.7 C.8 D.97.已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù),都有,設(shè),,()A.2018 B.2017 C.-2016 D.-20158.已知過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有().A.0 B.1 C.2 D.39.等差數(shù)列{an}中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為A.1 B.2 C.3 D.410.下列說(shuō)法中,正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()①在用列聯(lián)表分析兩個(gè)分類變量與之間的關(guān)系時(shí),隨機(jī)變量的觀測(cè)值越大,說(shuō)明“A與B有關(guān)系”的可信度越大②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出回歸方程,設(shè),將其變換后得到線性方程,則,的值分別是和0.3③已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系,其回歸直線方程為,若,,,則A.0 B.1 C.2 D.311.設(shè),,則()A. B.C. D.12.與圓及圓都外切的圓的圓心在().A.一個(gè)圓上 B.一個(gè)橢圓上 C.雙曲線的一支上 D.拋物線上二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)的值為_(kāi)_________14.各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐,其任意兩個(gè)相鄰的面所成的二面角的大小為_(kāi)_______.15.已知點(diǎn)在二面角的棱上,點(diǎn)在半平面內(nèi),且,若對(duì)于半平面內(nèi)異于的任意一點(diǎn),都有,則二面角大小的取值的集合為_(kāi)_________.16.將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得圓柱的體積為,則該圓柱的側(cè)面積為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知是拋物線上一點(diǎn),為的焦點(diǎn).(1)若,是上的兩點(diǎn),證明:,,依次成等比數(shù)列.(2)若直線與交于,兩點(diǎn),且,求線段的垂直平分線在軸上的截距.18.(12分)如圖,四棱錐中,為正三角形,為正方形,平面平面,、分別為、中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).(I)求的分布列;(II)若要求,確定的最小值;(III)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?20.(12分)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此作了四次試驗(yàn),得到的數(shù)據(jù)如表:零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5參考公式:,,殘差(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)求出關(guān)于的線性回歸方程;(3)求第二個(gè)點(diǎn)的殘差值,并預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)?21.(12分)已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,成等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,,成等比數(shù)列,求及此等比數(shù)列的公比.22.(10分)在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)記為a,在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)記為b.若a,,求直線的斜率為的概率;若a,,求直線的斜率為的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】
由已知求出正方體內(nèi)切球的體積,再由已知體積比求得“牟合方蓋”的體積.【題目詳解】正方體的棱長(zhǎng)為2,則其內(nèi)切球的半徑,正方體的內(nèi)切球的體積,又由已知,.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查球的體積的求法,理解題意是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】∵隨機(jī)變量,∴,∴,∴落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為個(gè).選B.3、B【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則,直接計(jì)算,即可得出結(jié)果.【題目詳解】.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法,熟記運(yùn)算法則即可,屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解題分析】
由約束條件,作出可行域如上圖所示陰影部分,要使可行域存在,必有,可行域包括上的點(diǎn),只要邊界點(diǎn)在直線的上方,且在直線的下方,故有,解得,選D.點(diǎn)睛:平面區(qū)域的最值問(wèn)題是線性規(guī)劃的一類重要題型,在解答本題時(shí),關(guān)鍵是畫好可行域,分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,然后利用數(shù)形結(jié)合的思想,找出點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出答案.5、A【解題分析】
根據(jù)題意,需要將5個(gè)安保小組分成三組,分析可得有2種分組方法:按照1、1、3分組或按照1、2、2分組,求出每一種情況的分組方法數(shù)目,由加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意,三個(gè)區(qū)域至少有一個(gè)安保小組,所以可以把5個(gè)安保小組分成三組,有兩種分法:按照1、1、3分組或按照1、2、2分組;若按照1、1、3分組,共有種分組方法;若按照1、2、2分組,共有種分組方法,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有60+90=150種分組方法.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題,本題屬于分組再分配問(wèn)題,根據(jù)題意分析可分組方法進(jìn)行分組再分配,按照分類計(jì)數(shù)原理相加即可,屬于簡(jiǎn)單題.6、C【解題分析】
根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式列出不等式,利用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算,由此求得至少抽取的產(chǎn)品件數(shù).【題目詳解】設(shè)抽取件,次品全部檢出的概率為,化簡(jiǎn)得,代入選項(xiàng)驗(yàn)證可知,當(dāng)時(shí),符合題意,故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算,考查組合數(shù)的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】
通過(guò)取特殊值,可得,進(jìn)一步可得,然后經(jīng)過(guò)計(jì)算可得,最后代值計(jì)算,可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:令,可得令,則所以又由,所以又所以,由所以故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn),,考驗(yàn)觀察能力以及分析問(wèn)題的能力,屬中檔題.8、C【解題分析】
設(shè)切點(diǎn)為,則,由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),可得切線的斜率,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率,建立關(guān)于的方程,從而可求方程.【題目詳解】若直線與曲線切于點(diǎn),則,又∵,∴,∴,解得,,∴過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率,求解曲線的切線的方程,其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】∵a1+a5=10,a4=7,∴2a1+10、D【解題分析】
對(duì)題目中的三個(gè)命題判斷正誤,即可得出結(jié)論.【題目詳解】解:對(duì)于①,分類變量A與B的隨機(jī)變量K2越大,說(shuō)明“A與B有關(guān)系”的可信度越大,①正確;對(duì)于②,以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),設(shè)z=lny,由y=cekx,兩邊取對(duì)數(shù),可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx,令z=lny,可得z=lnc+kx,又z=0.3x+4,∴l(xiāng)nc=4,k=0.3,c=e4,②正確;對(duì)于③,根據(jù)回歸直線方程為y=a+bx,,∴ab3﹣2×1=1,∴③正確;綜上,正確的命題為①②③,共3個(gè).故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了回歸方程,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),隨機(jī)變量K2的概念與應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,,根據(jù)不等式的性質(zhì)可知;通過(guò)比較與1的大小關(guān)系,即可判斷,從而可選出正確答案.【題目詳解】解:,,則,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算,對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.在比較對(duì)數(shù)的大小時(shí),常常結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.對(duì)于,若,則(1)當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),;(3)當(dāng)時(shí),;若,則(1)當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),;(3)當(dāng)時(shí),.12、C【解題分析】
設(shè)動(dòng)圓的半徑為,然后根據(jù)動(dòng)圓與圓及圓都外切得,再兩式相減消去參數(shù),則滿足雙曲線的定義,即可求解.【題目詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為,半徑為,而圓的圓心為,半徑為1;圓的圓心為,半徑為1.依題意得,則,所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系,以及雙曲線的定義的應(yīng)用,其中解答中熟記圓與圓的位置關(guān)系和雙曲線的定義是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、15【解題分析】
寫出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng),通過(guò)得到,從而求得常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為:當(dāng)時(shí),常數(shù)項(xiàng)為:本題正確結(jié)果:【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】
取AB中點(diǎn)D,連結(jié)SD、CD,則SD⊥AB,CD⊥AB,從而∠SDC是二面角的平面角,由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解:取AB中點(diǎn)D,連結(jié)SD、CD,∵三棱錐S﹣ABC是各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐,∴SD⊥AB,CD⊥AB,∴∠SDC是二面角的平面角,設(shè)棱長(zhǎng)SC=2,則SD=CD,∴cos∠SDC,∴∠SDC=arccos.故各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐任意兩個(gè)相鄰的面所成的二面角的大小為arccos.故答案為:arccos.【題目點(diǎn)撥】本題考查二面角的大小的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.15、【解題分析】
畫出圖形,利用斜線與平面內(nèi)直線所成的角中,斜線與它的射影所成的角是最小的,判斷二面角的大小即可.【題目詳解】如下圖所示,過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂直為點(diǎn),點(diǎn)在二面角的棱上,點(diǎn)在平面內(nèi),且,若對(duì)于平面內(nèi)異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),都有.因?yàn)樾本€與平面內(nèi)直線所成角中,斜線與它的射影所成的角是最小的,即是直線與平面所成的角,平面,平面,所以,平面平面,所以,二面角的大小是.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查二面角平面角的求解,以及直線與平面所成角的定義,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想和空間想象能力,屬于中等題.16、【解題分析】將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得圓柱的體積為,設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為,則,解得該圓柱的側(cè)面積為,故答案為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解題分析】
(1)由在拋物線上,求出拋物線方程;根據(jù)拋物線焦半徑公式可得,,的長(zhǎng)度,從而證得依次成等比數(shù)列;(2)將直線代入拋物線方程,消去,根據(jù)韋達(dá)定理求解出,從而可得中點(diǎn)坐標(biāo)和垂直平分線斜率,從而求得垂直平分線所在直線方程,代入求得結(jié)果.【題目詳解】(1)是拋物線上一點(diǎn)根據(jù)題意可得:,,,,依次成等比數(shù)列(2)由,消可得,設(shè)的中點(diǎn),線段的垂直平分線的斜率為故其直線方程為當(dāng)時(shí),【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線綜合問(wèn)題,關(guān)鍵在于能夠通過(guò)直線與拋物線方程聯(lián)立,得到韋達(dá)定理的形式,從而準(zhǔn)確求解出斜率.18、(1)見(jiàn)解析;(2).【解題分析】分析:(1)要證線面平行,只需在面內(nèi)找一線與已知線平行即可,連接,根據(jù)中位線即可得即可求證;(2)求線面角則可直接建立空間直角坐標(biāo)系,寫出線向量和面的法向量,然后根據(jù)向量夾角公式求解即可.詳解:(1)連接,∵是正方形,是的中點(diǎn),∴是的中點(diǎn),∵是的中點(diǎn),∴,∵平面,平面,∴平面.(2)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取得,設(shè)與平面所成角為,則.點(diǎn)睛:考查立體幾何的線面平行證明,線面角的求法,對(duì)定理的熟悉和常規(guī)方法要做到熟練是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.19、(I)1617182212122(II)2(III)【解題分析】試題分析:(Ⅰ)由已知得X的可能取值為16,17,18,2,21,21,22,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列.(Ⅱ)由X的分布列求出P(X≤18)=,P(X≤2)=.由此能確定滿足P(X≤n)≥1.5中n的最小值.(Ⅲ)由X的分布列得P(X≤2)=.求出買2個(gè)所需費(fèi)用期望EX1和買21個(gè)所需費(fèi)用期望EX2,由此能求出買2個(gè)更合適試題解析:(Ⅰ)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,11,11的概率分別為1.2,1.4,1.2,1.2,從而;;;;;;.所以的分布列為1617182212122(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,故的最小值為2.(Ⅲ)記表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元).當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.可知當(dāng)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選.考點(diǎn)
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