2024屆遼寧省營(yíng)口中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆遼寧省營(yíng)口中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)等于（）A． B． C．0 D．2．隨機(jī)變量，若，則為（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.63．從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．964．甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是A．210B．336C．84D．3435．集合，，則=()A． B．C． D．6．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在的圖象如圖所示，則函數(shù)在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．從裝有除顏色外完全相同的個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取次，設(shè)摸得黑球的個(gè)數(shù)為，已知，則等于（）A． B． C． D．8．已知向量，，若與垂直，則（）A．-1 B．1 C．土1 D．09．已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，m,n滿(mǎn)足m<n且f(m)=n-m，f(n)=m-nA．f(x)+x<n B．f(x)+x>mC．f(x)-x<0 D．f(x)-x>010．某學(xué)校為解決教師的停車(chē)問(wèn)題，在校內(nèi)規(guī)劃了一塊場(chǎng)地，劃出一排12個(gè)停車(chē)位置，今有8輛不同的車(chē)需要停放，若要求剩余的4個(gè)空車(chē)位連在一起，則不同的停車(chē)方法有()A．種 B．種 C．種 D．種11．如圖，設(shè)區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，且投入到區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，則點(diǎn)落到由曲線與所圍成陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）A.B.C.D.12．已知隨機(jī)變量Xi滿(mǎn)足P(Xi=1)=pA．E(X1B．E(X1C．E(X1D．E(X1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_____.14．某校高一年級(jí)有名學(xué)生，其中女生人，按男女比例用分層抽樣的方法從該年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)是__________．15．在古代三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間空出一個(gè)小正方形（如圖陰影部分）．若直角三角形中較小的銳角為a．現(xiàn)向大正方形區(qū)城內(nèi)隨機(jī)投擲一枚飛鏢，要使飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為，則_____________．16．在極坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，則圓的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且成等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前和．18．（12分）如圖所示的莖葉圖記錄了華潤(rùn)萬(wàn)家在渭南城區(qū)甲、乙連鎖店四天內(nèi)銷(xiāo)售情況的某項(xiàng)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)：（I）求甲、乙連鎖店這項(xiàng)指標(biāo)的方差，并比較甲、乙該項(xiàng)指標(biāo)的穩(wěn)定性；（Ⅱ）每次都從甲、乙兩店統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)各選一個(gè)進(jìn)行比對(duì)分析，共選了3次（有放回選取）．設(shè)選取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中甲的數(shù)據(jù)大于乙的數(shù)據(jù)的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望19．（12分）（1）設(shè)：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足|x﹣m|＜2，設(shè)：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足＞1；若￢p是￢q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（2）已知p：函數(shù)f（x）＝ln（x2﹣ax+3）的定義城為R，已知q：已知且，指數(shù)函數(shù)g（x）＝（a﹣1）x在實(shí)數(shù)域內(nèi)為減函數(shù)；若￢p∨q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓的直角坐標(biāo)方程為.求圓的極坐標(biāo)方程；設(shè)圓與圓：交于兩點(diǎn)，求.21．（12分）如圖，直三棱柱中，為等腰直角三角形，，且.分別為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，正方體的所有棱長(zhǎng)都為1，求點(diǎn)A到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

直接化簡(jiǎn)得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，屬于簡(jiǎn)單題.2、B【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的整體對(duì)稱(chēng)性計(jì)算即可得結(jié)果.詳解：故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)正態(tài)分布的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性，從而求得結(jié)果.3、D【解題分析】因甲不參加生物競(jìng)賽，則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí)，共有?=72種選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí)，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點(diǎn)睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人，若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【題目詳解】由題意知本題需要分組解決，∵對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人有A73種；若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人共有C31A72種，∴根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是A73+C31A72=336種．故答案為：B．【題目點(diǎn)撥】分類(lèi)要做到不重不漏，分類(lèi)后再分別對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到步驟完整﹣﹣完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．5、C【解題分析】

先化簡(jiǎn)集合A,B，結(jié)合并集計(jì)算方法，求解，即可．【題目詳解】解得集合，所以，故選C．【題目點(diǎn)撥】本道題考查了集合的運(yùn)算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡(jiǎn)集合A,B，難度較?。?、B【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)與極大值之間的關(guān)系求解．【題目詳解】函數(shù)在極大值點(diǎn)左增右減，即導(dǎo)數(shù)在極大值點(diǎn)左正右負(fù)，觀察導(dǎo)函數(shù)圖象，在上有兩個(gè)有兩個(gè)零點(diǎn)滿(mǎn)足．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望計(jì)算，即可得出答案?！绢}目詳解】根據(jù)題意可得出，即所以故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布，屬于基礎(chǔ)題。8、C【解題分析】分析：首先根據(jù)題中所給的向量垂直的條件，得到向量數(shù)量積等于零，從而得到，之后利用相應(yīng)的公式得到所滿(mǎn)足的條件，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)與垂直，可得，即，所以有，解得，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)向量的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有用向量的數(shù)量積等于零來(lái)體現(xiàn)向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相應(yīng)的等量關(guān)系式求得結(jié)果.9、A【解題分析】

設(shè)A(m,n-m)，B(n,m-n)，求出直線AB的方程，根據(jù)f(x)的開(kāi)口方向可得到f(x)與直線AB【題目詳解】設(shè)A(m,n-m)，B(n,m-n)，則直線AB的方程為y=-2x+m+n，即A,B為直線y=-2x+m+n與f(x)的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)，由于f(x)圖像開(kāi)口向上，所以當(dāng)m<x<n時(shí)，f(x)<-2x+m+n，即f(x)+x<-x+m+n<n【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，求出AB直線是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，邏輯推理能力及計(jì)算能力，難度中等.10、A【解題分析】根據(jù)題意，要求有4個(gè)空車(chē)位連在一起，則將4個(gè)空車(chē)位看成一個(gè)整體，將這個(gè)整體與8輛不同的車(chē)全排列,有種不同的排法，即有種不同的停車(chē)方法；故選A.點(diǎn)睛：（1）解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；②按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿(mǎn)足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類(lèi)型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類(lèi)型中，不同分組方法的求解．11、B【解題分析】試題分析：圖中陰影面積可以用定積分計(jì)算求出，即，正方形OABC的面積為1，所以根據(jù)幾何概型面積計(jì)算公式可知，點(diǎn)落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率為。考點(diǎn)：1.定積分的應(yīng)用；2.幾何概型。12、C【解題分析】

根據(jù)題目已知條件寫(xiě)出X1,【題目詳解】依題意可知：X01P1-pX01P1-p由于12<p1<p2<1，不妨設(shè)【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查隨機(jī)變量分布列期望和方差的計(jì)算，考查分析與閱讀理解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得出答案.【題目詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有種情況.若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有種情況，若選出的2名學(xué)生都是女生，有種情況，所以所求的概率為.【題目點(diǎn)撥】計(jì)數(shù)原理是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨(dú)立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計(jì)算比較明確，所以，計(jì)算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類(lèi)”“分步”，根據(jù)順序有無(wú)，明確“排列”“組合”.14、【解題分析】

先求出男生的抽樣比,再乘以樣本容量即可得到應(yīng)抽取的男生人數(shù).【題目詳解】因?yàn)槟承８咭荒昙?jí)有名學(xué)生，其中女生人,所以其中男生有180-80=100人,所以男生抽樣比為,若抽取一個(gè)容量為的樣本,則應(yīng)抽取的男生人數(shù)是人.故答案為:25.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，可得出每個(gè)直角三角形的面積為，由幾何概型可得出四個(gè)直角三角形的面積之和為，可求出，由得出并得出的值，再利用降冪公式可求出的值.【題目詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則直角三角形的兩條直角邊分別為和，則每個(gè)直角三角形的面積為，由題意知，陰影部分正方形的面積為，所以，四個(gè)直角三角形的面積和為，即，由于是較小的銳角，則，，所以，，因此，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦值的計(jì)算，考查幾何概型概率的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是求出和的值，并通過(guò)二倍角升冪公式求出的值，考查計(jì)算能力，屬于中等題．16、【解題分析】

根據(jù)題意，令，可以求出圓的圓心坐標(biāo)，又因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則圓的半徑為C，P兩點(diǎn)間的距離，利用極坐標(biāo)公式即可求出圓的半徑，則可寫(xiě)出圓的極坐標(biāo)方程.【題目詳解】在中，令，得，所以圓的圓心坐標(biāo)為．因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以圓的半徑，于是圓過(guò)極點(diǎn)，所以圓的極坐標(biāo)方程為．【題目點(diǎn)撥】本題考查用極坐標(biāo)公式求兩點(diǎn)間的距離以及求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查圓的極坐標(biāo)方程，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）首先根據(jù)題意得到，化簡(jiǎn)得到，求出，再代入即可.（2）首先化簡(jiǎn)得到，再利用裂項(xiàng)求和計(jì)算即可.【題目詳解】（1）由題知：，即化簡(jiǎn)得：，，所以..（2）..【題目點(diǎn)撥】本題第一問(wèn)考查等差、等比數(shù)列的綜合，第二問(wèn)考查裂項(xiàng)求和，屬于中檔題.18、（Ⅰ）甲的方差為,乙的方差為，甲連鎖店該項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)定（Ⅱ）見(jiàn)解析【解題分析】

（I）先求得兩者的平均數(shù)，再利用方差計(jì)算公式計(jì)算出方差，由此判斷甲比較穩(wěn)定.（II）利用二項(xiàng)分布的分布列計(jì)算公式和期望計(jì)算公式，計(jì)算出分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：（Ⅰ）由莖葉圖可知，甲連鎖店的數(shù)據(jù)是6,7,9,10，乙連鎖店的數(shù)據(jù)是5,7,10,10甲、乙數(shù)據(jù)的平均值為8.設(shè)甲的方差為,乙的方差為則,,因?yàn)?所以甲連鎖店該項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)定.（Ⅱ）從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中各隨機(jī)選一個(gè)，甲的數(shù)據(jù)大于乙的數(shù)據(jù)概率為,由已知，服從,的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查莖葉圖計(jì)算平均數(shù)和方差，考查二項(xiàng)分布分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）解絕對(duì)值不等式求得中的范圍，解分式不等式求得中的取值范圍.由是的必要不充分條件知是的充分不必要條件，由此列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.（2）根據(jù)的定義域?yàn)榍蟮脼檎鏁r(shí)，的取值范圍.根據(jù)的單調(diào)性求得為假時(shí)的取值范圍.為假命題可知真假，由此列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】（1）記，即由條件是的必要不充分條件知是的充分不必要條件，從而有是的真子集，則，可得，故（2）當(dāng)為真命題時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，則恒成立，即，從而；條件為假命題可知真假，當(dāng)為假命題時(shí)有即從而當(dāng)真假有即,故【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查絕對(duì)值不等式、分式不等式的解法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.20、；4.【解題分析】

（1）直接通過(guò)即可得到答案；（2）可先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出兩圓交點(diǎn)，于是可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，可得圓的極坐標(biāo)方程為：即；圓的直角坐標(biāo)方程為：，聯(lián)立，兩式相減，可得，即代入第一條式子，可解得或，于是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的互化，圓的交點(diǎn)計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度中等.21、（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析；（2）二面角的余弦值為.【解題分析】試題分析：（1）由已知條件可以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，由向量的數(shù)量積運(yùn)算得，根據(jù)線面垂直的判定定理得平面；（2）先分別求出平面和平面的法向量，，再根據(jù)公式求出二面角的余弦即可.試題解析：（1）