2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-微培優(yōu)7 數(shù)列中的情境創(chuàng)新與數(shù)學(xué)文化【課件】

微培優(yōu)7數(shù)列中的情境創(chuàng)新與數(shù)學(xué)文化2025現(xiàn)在高考越來越重視情境命題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性,目前更是提出了數(shù)學(xué)要增加復(fù)雜情境的命題說法.數(shù)列與現(xiàn)實生活聯(lián)系密切,也成為情境問題的常見命題背景,特別是數(shù)學(xué)文化問題是近年來高考命題的亮點,此類問題把數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)之美、文字之美與數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)方法結(jié)合起來,可有效考查我們在新情境中對數(shù)學(xué)文化的鑒賞、對數(shù)學(xué)知識的理解和對數(shù)學(xué)方法的遷移,因此備受命題者青睞,世界數(shù)學(xué)歷史上,尤其是我國浩瀚的傳統(tǒng)文化中,有豐富的與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化背景知識,這也成為命題的角度.角度一數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化例1(1)(2024·廣東深圳模擬)古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅提出如下問題:某人給一個人布施,初日施2子安貝(古印度貨幣單位),以后逐日倍增,問一月共施幾何?在這個問題中,以一個月31天計算,記此人第n日布施了an子安貝(其中1≤n≤31,n∈N*),數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若關(guān)于n的不等式Sn-254<恒成立,則實數(shù)t的取值范圍為(

)A.(-∞,28) B.(-∞,30)C.(-∞,31) D.(-∞,32)C解析

由題意可知,數(shù)列{an}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,故an=2n(1≤n≤31,n∈N*),當(dāng)且僅當(dāng)2n+1=16,即n=3時,等號成立,所以t<31,即實數(shù)t的取值范圍是(-∞,31),故選C.(2)(2024·上海浦東新區(qū)模擬)天干地支紀年法源于中國,中國自古便有十天干與十二地支,十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配,排列起來,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,例如,第一年為“甲子”,第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”……以此類推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新開始,即“甲戌”“乙亥”,然后地支回到“子”重新開始,即“丙子”……以此類推.2024年是甲辰年,高斯出生于1777年,該年是(

)A.丁酉年 B.丁戌年C.戊酉年 D.戊戌年A解析

天干以十年為一個周期,地支以十二年為一個周期.1777年與2024年相隔2

024-1

777=247年,247=24×10+7,即天干有24個周期,余7年;247=12×20+7,即地支有20個周期,余7年.故甲往前數(shù)7年為丁,辰往前數(shù)7年為酉,故1777年為丁酉年.故選A.角度二數(shù)列中的新定義問題例2(2024·湖北荊州三模)“H數(shù)列”定義:數(shù)列{an}的前n項和為Sn,如果對于任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m使Sn=am,則稱數(shù)列{an}是“H數(shù)列”.(1)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn=2n,求證:數(shù)列{bn}是“H數(shù)列”;(2)已知數(shù)列{cn}是“H數(shù)列”,且數(shù)列{cn}是首項為1,公差小于0的等差數(shù)列,求數(shù)列{cn}的通項公式;(3)若數(shù)列{dn}滿足:dn=bncn,求數(shù)列{dn}的前n項和Dn.(1)證明

當(dāng)n=1時,b1=T1=2.當(dāng)n≥2時,bn=Tn-Tn-1=2n-1,即Tn=bn+1.∴數(shù)列{bn}是“H數(shù)列”.∵d<0,∴m<2.又m∈N*,∴m=1,此時對于任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m使Sn=cm,故cn=2-n.當(dāng)n≥2時,Dn=2×1+2×0+22×(-1)+23×(-2)+…+2n-1×(2-n),∴2Dn=4+22×0+23×(-1)+…+2n-1×(1-n)+2n×(2-n),∴-Dn=-2+(-1)×(22+23+…+2n-1)-2n×(2-n),當(dāng)n=1時,D1=d1=2,滿足上式.綜上,Dn=(3-n)×2n-2.規(guī)律方法

數(shù)列中的新定義問題數(shù)列新定義問題,要針對等差、等比數(shù)列,通過給出一個新的數(shù)列的定義,或約定一種新的運算,或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景,要將“新”性質(zhì)有機地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上,實現(xiàn)信息的遷移,達到靈活解題的目的規(guī)律方法(1)若數(shù)列中涉及三角函數(shù)有關(guān)問題時,常利用三角函數(shù)的周期性等特征,尋找計算規(guī)律求解;(2)若數(shù)列與向量有關(guān)問題時,應(yīng)根據(jù)條件將向量式轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的代數(shù)式進行求解;(3)若數(shù)列與不等式有關(guān)問題時,一般采用放縮法進行判定證明,有時也可通過構(gòu)造函數(shù)進行證明;(4)若數(shù)列與二項式有關(guān)的問題時,可結(jié)合二項展開式的性質(zhì),進行變換求解針對訓(xùn)練1.(1)(2024·北京朝陽二模)北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”,提出長方臺形垛積的一般求和公式.如圖,由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積的第一層有ab個小球,第二層有(a+1)(b+1)個小球,第三層有(a+2)(b+2)個小球,…,依此類推,最底層有cd個小球,共有n層,由“隙積術(shù)”可得這些小球的總個數(shù)為.若由小球堆成的某個長方臺形垛積共8層,小球總個數(shù)為240,則該垛積的第一層的小球個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4B

(2)(多選題)(2024·四川成都模擬)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,…,其中從第三項起,每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和,后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”.已知數(shù)列{bn},b1=1,b2=2,bn+2=bn+1+bn(n∈N*),記Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,則下列結(jié)論正確的是(

)A.b6=8B.S2025=b2027-1C.b1+b3+b5+…+b2023+b2025=b2026-1CD解析

由題意知1,2,3,5,8,13,故b6=13,故A選項錯誤;S2

025=b1+b2+…+b2

025=b3-b2+b4-b3+…+b2

027-b2

026=b2

027-b2=b2

027-2,故B選項錯誤;b1+b3+b5+…+b2

023+b2

025=b1+b2+b3+b5+…+b2

023+b2

025-b2=b1+b4+b5+…+b2

023+b2

025-b2=…=b1+b2

026-b2=b2

026-1,故C選項正確;∵bn=an+1,=a1a2+a2(a3-a1)+…+a2

024(a2

025-a2

023)=a2

024a2

025=b2

023b2

024,故D選項正確.故選CD.(ⅱ)證明

因為an+1=2an+1,所以當(dāng)n≥2時有an-2an-1=1,所以an+1-2an=an-2an-1,即an+1-an=2(an-an-1),顯然3(n-1)-1不含質(zhì)因子3,所以n-1必為9的倍數(shù).設(shè)n-1=9k(k∈N*),則n=9k+1,將n=9k+1代入①式,當(dāng)k為奇數(shù)時,3(n-