2024屆臺州市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆臺州市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，現(xiàn)從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素組合，則可以組成這樣的新集合的個數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．3．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度4．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的（）A．-4 B．-7 C．-22 D．-326．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球.從袋中任取3個球，所取的3個球顏色不同的概率為（）A． B． C． D．7．四大名著是中國文學(xué)史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產(chǎn).在某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》、《西游記》（每種名著至少有5本），若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的一個零點落在下列哪個區(qū)間（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）9．分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)稱為單位分?jǐn)?shù)，1可以分拆為若干個不同的單位分?jǐn)?shù)之和：1=12+13+16，A．228 B．240 C．260 D．27310．設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點的區(qū)間是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]11．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．12．可以整除（其中）的是（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個圓錐的母線長是底面半徑的3倍，則該圓錐的側(cè)面積是底面積的_________倍；14．若復(fù)數(shù)z=(x2-2x-3)+(x+1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)15．在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有__________種(用數(shù)字作答)．16．已知（是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于的不等式的解集為．（1）求集合；（2）已知，，若是的必要不充分條件，試求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.19．（12分）已知函數(shù)，且函數(shù)在和處都取得極值．（1）求，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．20．（12分）某快遞公司（為企業(yè)服務(wù)）準(zhǔn)備在兩種員工付酬方式中選擇一種現(xiàn)邀請甲、乙兩人試行10天兩種方案如下：甲無保底工資送出50件以內(nèi)（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工資50元，且每送出一件再支付2元分別記錄其10天的件數(shù)得到如圖莖葉圖，若將頻率視作概率，回答以下問題：（1）記甲的日工資額為（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）如果僅從日工資額的角度考慮請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為快遞公司在兩種付酬方式中作出選擇，并說明理由．21．（12分）如圖1，等邊中，，是邊上的點（不與重合），過點作交于點，沿將向上折起，使得平面平面，如圖2所示．（1）若異面直線與垂直，確定圖1中點的位置；（2）證明：無論點的位置如何，二面角的余弦值都為定值，并求出這個定值．22．（10分）已知函數(shù)為實數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求的范圍；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用分類計數(shù)加法原理和分步計數(shù)乘法原理計算即可，注意這個特殊元素的處理.【題目詳解】已知集合，，現(xiàn)從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素組合，分為2類：含5，不含5；則可以組成這樣的新集合的個數(shù)為個.故選C.2、D【解題分析】分析：化簡復(fù)，利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可.詳解：因為，所以=，故選D.點睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.3、B【解題分析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，再結(jié)合三角函數(shù)圖像的平移變換即可得解.【題目詳解】解：由，即為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，故選：B.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

先求出直線和圓相交時的取值范圍，然后根據(jù)線型的幾何概型概率公式求解即可．【題目詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，直線方程即為，所以圓心到直線的距離，又直線與圓相交，所以，解得．所以在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為．故選C．【題目點撥】本題以直線和圓的位置關(guān)系為載體考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是由直線和圓相交求出參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)公式求解，考查轉(zhuǎn)化和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值，當(dāng)i＝6時不滿足條件i＜6，退出循環(huán)，輸出S的值為S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，從而解得S的值．【題目詳解】解：由題意，模擬執(zhí)行程序，可得i＝2，滿足條件i＜6，滿足條件i是偶數(shù)，S＝S+1，i＝3滿足條件i＜6，不滿足條件i是偶數(shù)，S＝S+1﹣9，i＝1滿足條件i＜6，滿足條件i是偶數(shù)，S＝S+1﹣9+16，i＝5滿足條件i＜6，不滿足條件i是偶數(shù)，S＝S+1﹣9+16﹣25，i＝6不滿足條件i＜6，退出循環(huán)，輸出S的值為S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S＝﹣1．故選A．點睛：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，模擬執(zhí)行程序，正確得到循環(huán)結(jié)束時S的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】分析：題意所求情況分為兩種，兩白一紅，兩紅一白，兩種情況，列式為，除以總的事件個數(shù)即可.詳解：3個球顏色不同，即分為：兩白一紅，兩紅一白，兩種情況，列式為，總的事件個數(shù)為，概率為.故答案為：C.點睛：這個題目考差了古典概型的計算，對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可.7、A【解題分析】

通過分析每人有4種借閱可能，即可得到答案.【題目詳解】對于甲來說，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據(jù)乘法原理，故共有種可能，答案為A.【題目點撥】本題主要考查乘法分步原理，難度不大.8、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的零點存在原理判斷區(qū)間端點處函數(shù)值的符號情況，從而可得答案.【題目詳解】由的圖像在上是連續(xù)不間斷的.且在上單調(diào)遞增，又，,根據(jù)函數(shù)的零點存在原理有：在在有唯一零點且在內(nèi).故選：B.【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點所在區(qū)間，利用函數(shù)的零點存在原理可解決，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

使用裂項法及m，n的范圍求出m，n的值，從而求出答案．【題目詳解】∵1=1∴1=1∴1∵m?n，m，n∈N∴m=13，n=20，所以mn=260.故選：C【題目點撥】本題主要考查歸納推理和裂項相消法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點，需要f（x）在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點函數(shù)值異號，即f（a）f（b）≤0，把選擇項中的各端點值代入驗證可得答案D．考點：零點存在定理11、A【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算，即可化簡求解.【題目詳解】函數(shù)則，所以，故選：A.【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)的求值，指數(shù)冪與對數(shù)式的運(yùn)算應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】分析：，利用二項展開式可證明能被11整除.詳解：.故能整除（其中）的是11.故選C.點睛：本題考查利用二項式定理證明整除問題，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1；【解題分析】

分別計算側(cè)面積和底面積后再比較．【題目詳解】由題意，，，∴．故答案為1．【題目點撥】本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計算公式是解題關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．14、3【解題分析】由題設(shè){x2-2x-3=015、60【解題分析】試題分析：當(dāng)一，二，三等獎被三個不同的人獲得，共有種不同的方法，當(dāng)一，二，三等獎被兩個不同的人獲得，即有一個人獲得其中的兩個獎，共有,所以獲獎的不同情況有種方法,故填：60.考點：排列組合【方法點睛】本題主要考察了排列組合和分類計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題型，重點是分析不同的獲獎情況包含哪些情況，其中一，二，三等獎看成三個不同的元素，剩下的5張無獎獎券看成相同元素，那8張獎券平均分給4人，每人2張，就可分為三張獎券被3人獲得，或是被2人獲得的兩種情況，如果是被3人獲得，那這4組獎券就可看成4個不同的元素的全排列，如何2人獲得，3張獎券分為2組，從4人挑2人排列，最后方法相加.16、【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解．【題目詳解】，，共軛復(fù)數(shù)為故答案為【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，（2）【解題分析】

（1）由含參二次不等式的解法可得，只需，，即可得解；（2）由函數(shù)定義域的求法求得，再結(jié)合命題間的充要性求解即可.【題目詳解】解：（1）因為，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，，故當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.（2）解不等式，即，即，解得，即，由，，若是的必要不充分條件，可得是的真子集，則當(dāng)時，則，即；當(dāng)時，顯然滿足題意；當(dāng)時，則，即，綜上可知：，故實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了函數(shù)定義域的求法、含參二次不等式的解法及充要條件，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法及簡易邏輯，屬中檔題.18、（1）；（2）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值為，無極大值.【解題分析】

首先求得；（1）將代入求得且點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，利用點斜式可得切線方程；（2）令導(dǎo)函數(shù)等于零，求得，從而可得導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間；根據(jù)極值的定義可求得極值.【題目詳解】由得：（1）在處切線斜率：，又所求切線方程為：，即：（2）令，解得：當(dāng)時，；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為：；單調(diào)遞增區(qū)間為：的極小值為：；無極大值【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某一點處的切線方程、求解導(dǎo)數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的問題，考查學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)應(yīng)用的掌握.19、(1),；(2).【解題分析】

(1)易得和為導(dǎo)函數(shù)的兩個零點,代入計算即可求得.(2)求導(dǎo)分析的解集即可.【題目詳解】(1)∵.∴,∵函數(shù)在和處都取得極值,故和為的兩根.故.即,(2)由(1)得故當(dāng),即時,即,解得或.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)極值點求解參數(shù)的問題以及求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的問題.需要根據(jù)題意求導(dǎo),根據(jù)極值點為導(dǎo)函數(shù)的零點以及導(dǎo)函數(shù)大于等于0則原函數(shù)單調(diào)遞增求解集即可.屬于中檔題.20、（1）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為151.5元；（2）推薦該公司選擇乙的方案，理由詳見解析.【解題分析】

（1）首先根據(jù)莖葉圖得到的所有可能取值為：，，，，，并計算其概率，再列出分布列求數(shù)學(xué)期望即可.（2）根據(jù)題意求出乙的日均工資額，再比較甲乙的日工資額即可.【題目詳解】（1）設(shè)甲日送件量為，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的所有可能取值為：，，，，．，，，，.的分布列為（元）.（2）乙的日均送件量為：乙的日均工資額為：（元），而甲的日均工資額為：元，元元，因此，推薦該公司選擇乙的方案．【題目點撥】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，同時考查了莖葉圖和數(shù)學(xué)期望在決策中的作用，屬于中檔題.21、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取中點，中點，連結(jié)，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出圖1中點在靠近點的三等分點處；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能證明無論點D的位置如何，二面角的余弦值都為定值．【題目詳解】解：（1）在圖2中，取中點，中點，連結(jié)，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，∴，，，，故，，∵異面直線與垂直，∴，解得x（舍）或x，∴，∴圖1中點在靠近點的三等分點處．（2）證明：平面的法向量，