江蘇省常州市常州高級中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

江蘇省常州市常州高級中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則在處的切線方程為（）A． B． C． D．2．已知展開式中的常數(shù)項是4與10的等差中項，則a的值為（）A． B．2 C． D．3．一個算法的程序框圖如圖所示，如果輸出的值是1，那么輸入的值是（）A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-24．從區(qū)間上任意選取一個實數(shù)，則雙曲線的離心率大于的概率為（）A． B． C． D．5．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進，則從到不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．256．設(shè)平面向量，則與垂直的向量可以是（）A． B． C． D．7．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是（）A． B．C． D．8．已知一個等比數(shù)列，這個數(shù)列，且所有項的積為243，則該數(shù)列的項數(shù)為（）A．9 B．10 C．11 D．129．正方體中，直線與平面所成角正弦值為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，那么下列結(jié)論中錯誤的是（）A．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調(diào)遞減B．函數(shù)的圖像可以是中心對稱圖形C．，使D．若是的極值點，則11．若且；則的展開式的系數(shù)是（）A． B． C． D．12．下列關(guān)于殘差圖的描述錯誤的是（）A．殘差圖的橫坐標可以是編號B．殘差圖的橫坐標可以是解釋變量和預(yù)報變量C．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小D．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)滿足，則的最大值為____．14．在正方體中，為的中點，為底面的中心，為棱上任意一點，則直線與直線所成的角是____________.15．已知曲線的方程為，集合，若對于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線為曲線.下列方程所表示的曲線中,是曲線的有__________（寫出所有曲線的序號）①；②；③；④16．設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同,且在三次獨立重復(fù)試驗中,若事件A至少發(fā)生一次的概率為6364,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖四棱錐中，底面是正方形，，，且，為中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．18．（12分）已知在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為是為參數(shù)）,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)判斷直線與曲線的位置關(guān)系；(2)在曲線上求一點,使得它到直線的距離最大,并求出最大距離.19．（12分）為了調(diào)查某社區(qū)居民每天參加健身的時間，某機構(gòu)在該社區(qū)隨機采訪男性、女性各50名，其中每人每天的健身時間不少于1小時稱為“健身族”，否則稱其為"非健身族”，調(diào)查結(jié)果如下：健身族非健身族合計男性401050女性302050合計7030100（1）若居民每人每天的平均健身時間不低于70分鐘，則稱該社區(qū)為“健身社區(qū)”.已知被隨機采訪的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分時間分別是1.2小時，0.8小時，1.5小時，0.7小時，試估計該社區(qū)可否稱為“健身社區(qū)”？（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過5%的情況下認為“健身族”與“性別”有關(guān)？參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.050.0250.0100.4550.7081.3213.8405.0246.63520．（12分）某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米。要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個桶圓形狀（如圖）。（1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計的拱寬是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：橢圓的面積公式為，本題結(jié)果拱高和拱寬精確到0.01米，土方量精確到1米3）21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當時，.22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：求導(dǎo)得到在處的切線斜率，利用點斜式可得在處的切線方程.詳解：已知函數(shù)，則則即在處的切線斜率為2，又則在處的切線方程為即.故選C.點睛：本題考查函數(shù)在一點處的切線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

利用二項式展開式的通項公式求出展開式中的常數(shù)項的值，由常數(shù)項是4與10的等差中項，求得的值【題目詳解】由題意得，令，解得．又因為4與10的等差中項為7，所以，即，故選C．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

根據(jù)條件結(jié)構(gòu)，分，兩類情況討論求解.【題目詳解】當時，因為輸出的是1，所以，解得.當時，因為輸出的是1，所以，解得.綜上：或.故選：C【題目點撥】本題主要考查程序框圖中的條件結(jié)構(gòu)，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】分析：求出m的取值范圍，利用幾何概型的計算公式即可得出.詳解：由題意得，，解得，即.故選：D.點睛：幾何概型有兩個特點：一是無限性；二是等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．5、C【解題分析】

向北走的路有5條，向東走的路有3條，走路時向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果，根據(jù)分步計數(shù)原理計算得出答案【題目詳解】因為只能向東或向北兩個方向向北走的路有5條，向東走的路有3條走路時向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果根據(jù)分步計數(shù)原理知共有種結(jié)果，選C【題目點撥】本題考查分步計數(shù)原理，本題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，看出完成一件事共有兩個環(huán)節(jié)，每一步各有幾種方法，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】分析：先由平面向量的加法運算和數(shù)乘運算得到，再利用數(shù)量積為0進行判定．詳解：由題意，得，因為，，，，故選D．點睛：本題考查平面向量的坐標運算、平面向量垂直的判定等知識，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計算能力．7、D【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：由，得故選：D．【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運算，屬基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)列式求解【題目詳解】選B.【題目點撥】本題考查利用等比數(shù)列性質(zhì)求值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

作出相關(guān)圖形，設(shè)正方體邊長為1，求出與平面所成角正弦值即為答案.【題目詳解】如圖所示，正方體中，直線與平行，則直線與平面所成角正弦值即為與平面所成角正弦值.因為為等邊三角形，則在平面即為的中心，則為與平面所成角.可設(shè)正方體邊長為1，顯然，因此，則，故答案選C.【題目點撥】本題主要考查線面所成角的正弦值，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力和空間想象能力.10、A【解題分析】分析：求導(dǎo)f′（x）=3x2+2ax+b，導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，若存在極小值點，根據(jù)二次函數(shù)的圖象便知一定存在極大值點，并且該極大值點在極小值點的左邊，從而知道存在實數(shù)x1＜x0，使f（x）在（﹣∞，x1）上單調(diào)遞增，從而判斷出A的結(jié)論錯誤，而根據(jù)f（x）的值域便知f（x）和x軸至少一個交點，從而B的結(jié)論正確，而a=b=c=0時，f（x）=x3為中心對稱圖形，從而判斷C正確，而根據(jù)極值點的定義便知D正確，從而得出結(jié)論錯誤的為A．詳解：A．f′（x）=3x2+2ax+b，導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)；∴在極小值點的左邊有一個極大值點，即方程f′（x）=0的另一根，設(shè)為x1；則x1＜x0，且x＜x1時，f′（x）＞0；即函數(shù)f（x）在（﹣∞，x1）上單調(diào)遞增,∴選項A錯誤；B．該函數(shù)的值域為（﹣∞，+∞），∴f（x）的圖象和x軸至少一個交點；∴?x0∈R，使f（x0）=0；∴選項B正確；C．當a=b=c=0時，f（x）=x3，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；∴f（x）是中心對稱圖形,∴選項C正確；D．函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0,∴選項D正確．故選：A．點睛：本題利用導(dǎo)函數(shù)研究了函數(shù)的極值點，零點，對稱性，單調(diào)性等性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.11、C【解題分析】

先根據(jù)求出，再代入，直接根據(jù)的展開式的第項為，即可求出展開式的系數(shù)?！绢}目詳解】因為且所以展開式的第項為展開式中的系數(shù)為故選C【題目點撥】本題考查二項式展開式，屬于基礎(chǔ)題。12、C【解題分析】分析：根據(jù)殘差圖的定義和圖象即可得到結(jié)論．詳解：A殘差圖的橫坐標可以是編號、解釋變量和預(yù)報變量，故AB正確；可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．則對應(yīng)相關(guān)指數(shù)越大，故選項D正確，C錯誤.故選：C．點睛：本題主要考查殘差圖的理解，比較基礎(chǔ)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

根據(jù)約束條件得到可行域，令，則取最大值時，在軸截距最大；通過平移可知過時即可，代入求得最大值.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：令，則取最大值時，在軸截距最大通過平移可知當過時，在軸截距最大本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃求解最值的問題，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為截距最值的求解問題，屬于?？碱}型.14、90°【解題分析】

直線在平面內(nèi)的射影與垂直．【題目詳解】如圖，分別是的中點，連接，易知在上，，又在正方形中，是的中點，∴（可通過證得），又正方體中，而，∴，，∴，∴直線與直線所成的角是90°．故答案為90°．【題目點撥】本題考查兩異面直線所成的角，由于它們所成的角為90°，因此可通過證明它們相互垂直得到，這又可通過證明線面垂直得出結(jié)論，當然也可用三垂線定理證得．15、①③【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為：對于曲線上任意一點，在曲線上存在著點使得，據(jù)此逐項判斷曲線是否為曲線.【題目詳解】①的圖象既關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱，且圖象是封閉圖形，所以對于任意的點，存在著點使得，所以①滿足；②的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為，所以漸近線將平面分為四個夾角為的區(qū)域，當在雙曲線同一支上，此時，當不在雙曲線同一支上，此時，所以，不滿足，故②不滿足；③的圖象是焦點在軸上的拋物線，且關(guān)于軸對稱，連接，再過點作的垂線，則垂線一定與拋物線交于點，所以，所以，所以③滿足；④取，若，則有，顯然不成立，所以此時不成立，所以④不滿足.故答案為：①③.【題目點撥】本題考查曲線與方程的新定義問題，難度較難.(1)對于新定義的問題，首先要找到問題的本質(zhì)：也就是本題所考查的主要知識點，然后再解決問題；(2)對于常見的，一定要能將其與向量的數(shù)量積為零即垂直關(guān)系聯(lián)系在一起.16、9【解題分析】分析：假設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生說明試驗成功，設(shè)每次試驗成功的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B（3，p），由此能求出事件A恰好發(fā)生一次的概率．詳解：假設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生說明試驗成功，設(shè)每次試驗成功的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B（3，p），則有1﹣（1﹣p）3=6364，得p=3則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C3故答案為：964點睛：（1）本題主要考查獨立重復(fù)性試驗的概率，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生K次的概率是:Pn(ξ=k)=Cnkpk(1-p)n-k，（k=0,1,2,3,...n）．正好是二項式[(1-p)+p]三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2).【解題分析】

（1）推導(dǎo)出，，從而平面，進而．求出，由此能證明平面．（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【題目詳解】（1）∵底面為正方形，∴，又，，∴平面，∴.同理，，∴平面.（2）建立如圖的空間直角坐標系，不妨設(shè)正方形的邊長為2.則，，，設(shè)為平面的一個法向量，又，，，令，，得同理是平面的一個法向量，則.∴二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．18、(1)相離；(2).【解題分析】

把直線參數(shù)方程化為普通方程，曲線極坐標方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離，然后與半徑比較大小即可作出判斷圓上一點到直線的距離最大為，求出過圓心與直線垂直的直線方程，與圓的方程聯(lián)立確定出此時的坐標即可【題目詳解】(1)易得直線的方程為,曲線的方程為,圓心,半徑,圓心到直線的距離,所以直線與曲線相離.(2)易得點到直線的最大距離為,過圓心且垂直于直線的直線方程為,聯(lián)立,所以,易得點.【題目點撥】本題主要考查了將參數(shù)方程和極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程，然后判斷直線與圓的位置關(guān)系，運用點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離即可作出判斷，屬于基礎(chǔ)題19、（1）該社區(qū)不可稱為“健身社區(qū)”；（2）能在犯錯誤概率不超過5%的情況下認為“健康族”與“性別”有關(guān).【解題分析】

（1）計算平均數(shù)，再比較數(shù)據(jù)大小作出判斷（2）先求卡方，再對照參考數(shù)據(jù)作出判斷【題目詳解】（1）隨機抽樣的100名居民每人每天的平均健身時間為小時，由此估計該小區(qū)居民每人每天的平均健身時間為1.15小時，因為1.15小時小時=70分鐘，所以該社區(qū)不可稱為“健身社區(qū)”；（2）由聯(lián)立表可得，，所以能在犯錯誤概率不超過5%的情況下認為“健康族”與“性別”有關(guān).【題目點撥】本題考查計算平均數(shù)以及卡方計算，考查基本分析求解判斷能力，屬基礎(chǔ)題.20、(1)33.26；(2)拱高約為6.36米、拱寬約為31.11米時，土方工程量最小．最小土方量為立方米.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，建立坐標系，可得的坐標并設(shè)出橢圓的方程，將與點坐標代入橢圓方程，得，依題意，可得，計算可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)橢圓方程為，將代入方程可得，結(jié)合基本不等式可得，分析可得當且，時，，進而分析可得答案．【題目詳解】（1）如圖建立直角坐標系，則點，橢圓方程為．將與點坐標代入橢圓方程，得，此時此時因此隧道的拱寬約為33.26米；（2）由橢圓方程，根據(jù)題意，將代入方程可得．因為即且，，所以當取最小值時，有，得，此時，故當拱高約為6.36米、拱寬約為31.11米時，土方工程量最?。钚⊥练搅繛榱⒎矫?【題目點撥】本題考查橢圓的實際運用，注意與實際問題相結(jié)合，建立合適的坐標系，設(shè)出點的坐標，結(jié)合橢圓的有關(guān)性質(zhì)進行分析、計算、解題．21、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）見解析．【解題分析】【試題分析】（1）直接對函數(shù)求導(dǎo)得，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出其單調(diào)區(qū)間；（2）先將不等式中參數(shù)分離分離出來可得：，再構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得，借助，推得，從而在上單調(diào)遞減，，進而求得；（3）先將不等式等價轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造