2024屆山西省太原市四十八中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆山西省太原市四十八中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點坐標為A．（0，2） B．（2，0） C．（0，4） D．（4，0）2．在4次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為A． B． C． D．3．已知雙曲線方程為，它的一條漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被13整除”的第二步中，當(dāng)時為了使用歸納假設(shè)，對變形正確的是（）A． B．C． D．5．設(shè)函數(shù)，則“”是“有4個不同的實數(shù)根”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．已知函數(shù)，若方程恰有三個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為A． B． C． D．9．函數(shù)的部分圖象可能是（）A． B．C． D．10．把函數(shù)的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（）.A． B．C． D．11．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[A，B]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），則當(dāng)A＜x＜B時，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）12．已知集合,,則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，若，則__________.14．設(shè)函數(shù)，.若，且的最小值為-1，則實數(shù)的值為__________．15．已知函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若，則_________.16．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18．（12分）設(shè)集合，其中.（1）寫出集合中的所有元素；（2）設(shè)，證明“”的充要條件是“”（3）設(shè)集合，設(shè)，使得，且，試判斷“”是“”的什么條件并說明理由.19．（12分）現(xiàn)在很多人喜歡自助游,2017年孝感楊店桃花節(jié)，美麗的桃花風(fēng)景和人文景觀迎來眾多賓客.某調(diào)查機構(gòu)為了了解“自助游”是否與性別有關(guān)，在孝感桃花節(jié)期間，隨機抽取了人，得如下所示的列聯(lián)表：贊成“自助游”不贊成“自助游”合計男性女性合計（1）若在這人中，按性別分層抽取一個容量為的樣本，女性應(yīng)抽人，請將上面的列聯(lián)表補充完整，并據(jù)此資料能否在犯錯誤的概率不超過前提下，認為贊成“自助游”是與性別有關(guān)系？（2）若以抽取樣本的頻率為概率，從旅游節(jié)大量游客中隨機抽取人贈送精美紀念品，記這人中贊成“自助游”人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:20．（12分）已知．（1）證明：；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）假設(shè)某士兵遠程射擊一個易爆目標，射擊一次擊中目標的概率為，三次射中目標或連續(xù)兩次射中目標，該目標爆炸，停止射擊，否則就一直獨立地射擊至子彈用完．現(xiàn)有5發(fā)子彈，設(shè)耗用子彈數(shù)為隨機變量X．（1）若該士兵射擊兩次，求至少射中一次目標的概率；（2）求隨機變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望E(X)．22．（10分）為了解國產(chǎn)奶粉的知名度和消費者的信任度，某調(diào)查小組特別調(diào)查記錄了某大型連鎖超市年與年這兩年銷售量前名的五個奶粉的銷量（單位：罐），繪制出如下的管狀圖：（1）根據(jù)給出的這兩年銷量的管狀圖，對該超市這兩年品牌奶粉銷量的前五強進行排名（由高到低，不用說明理由）；（2）已知該超市年奶粉的銷量為（單位：罐），以，，這年銷量得出銷量關(guān)于年份的線性回歸方程為（，，年對應(yīng)的年份分別?。蟠司€性回歸方程并據(jù)此預(yù)測年該超市奶粉的銷量.相關(guān)公式：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)拋物線標準方程求得，從而得焦點坐標．【題目詳解】由題意，，∴焦點在軸正方向上，坐標為．故選A．【題目點撥】本題考查拋物線的標準方程，屬于基礎(chǔ)題．解題時要掌握拋物線四種標準方程形式．2、A【解題分析】分析：可從事件的反面考慮，即事件A不發(fā)生的概率為，由此可易得結(jié)論．詳解：設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為，則，解得．故選A．點睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率時，通常從事件的反而入手可能較簡單，如本題中“至少發(fā)生1次”的反面為“一次都不發(fā)生”，若本題求“至多發(fā)生3次”的概率，其反面是“至少發(fā)生4次”即“全發(fā)生”．3、A【解題分析】方法一：雙曲線的漸近線方程為，則，圓的方程，圓心為，所以，化簡可得，則離心率.方法二：因為焦點到漸近線的距離為，則有平行線的對應(yīng)成比例可得知，即則離心率為.選A.4、A【解題分析】試題分析：假設(shè)當(dāng)，能被13整除，當(dāng)應(yīng)化成形式，所以答案為A考點：數(shù)學(xué)歸納法5、B【解題分析】分析：利用函數(shù)的奇偶性將有四個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為時，有兩個零點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得，從而可得結(jié)果.詳解：是偶函數(shù)，有四個不同根，等價于時，有兩個零點，時，，，時，恒成立，遞增，只有一個零點，不合題意，時，令，得在上遞增；令，得在上遞減，時，有兩個零點，，，得，等價于有四個零點，“”是“有4個不同的實數(shù)根”的必要不充分條件，故選B.點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，所以中檔題.函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)的零點函數(shù)在軸的交點方程的根函數(shù)與的交點.6、C【解題分析】當(dāng)時，畫出函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，無解，不符合題意，故排除兩個選項.當(dāng)時，畫圖函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，或，解得不符合題意，故排除選項，選.點睛：本題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)的研究方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查零點問題題.題目所給的分段函數(shù)當(dāng)時，圖像是確定的，當(dāng)時，圖像是含有參數(shù)的，所以要對參數(shù)進行分類討論.在分類討論的過程中，圍繞的解的個數(shù)來進行.7、D【解題分析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.8、C【解題分析】f′(x)＝，則f′(1)＝1，故函數(shù)f(x)在點(1，－2)處的切線方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故選C9、B【解題分析】∵，∴，∴函數(shù)的定義域為，又，∴函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于軸對稱，可排除、．又∵當(dāng)時，，可排除．綜上，故選．點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(2)由實際情景探究函數(shù)圖象．關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題求解，要注意實際問題中的定義域問題．10、A【解題分析】

先根據(jù)左加右減的性質(zhì)進行平移，再根據(jù)橫坐標伸長到原來的2倍時的值變?yōu)樵瓉淼谋?，得到答案．【題目詳解】解：向左平移個單位，即以代，得到函數(shù)，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即以代，得到函數(shù)：．故選：A．【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的變換，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】試題分析：設(shè)F（x）=f（x）-g（x），∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），F(xiàn)′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，∴F（x）在給定的區(qū)間[A，B]上是減函數(shù)．∴當(dāng)x＞A時，F(xiàn)（x）＜F（A），即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性12、D【解題分析】分析：先化簡集合P,Q，再求.詳解：由題得，，所以.故答案為：D.點睛：本題主要考查集合的化簡與交集運算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】

由向量平行關(guān)系求出，利用向量模的公式即可得到答案．【題目詳解】因為，所以，解得，則，故．【題目點撥】本題考查向量平行以及向量模的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．14、2【解題分析】分析：先表示函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，最后根據(jù)的最小值為-1得實數(shù)的值.詳解：因為，設(shè)，則所以因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；即當(dāng)時，.點睛：兩函數(shù)關(guān)系問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式或方程，從而求出參數(shù)的取值范圍或值.15、3【解題分析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)的周期性，得出函數(shù)的周期，然后利用函數(shù)的周期和的值，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，函數(shù)對任意實數(shù)滿足條件，則，即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又由，令，則，即，所以．【題目點撥】本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)的周期性的判定和函數(shù)值的求解，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件求得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、2【解題分析】

直接利用余弦定理得到答案.【題目詳解】，，（舍去）故答案為2【題目點撥】本題考查了余弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)增區(qū)間是，沒有減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1）和，減區(qū)間是.【解題分析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出切線方程的點斜式方程，整理化簡即可；（2）求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)對導(dǎo)數(shù)正負的影響對參數(shù)進行分類討論，求得對應(yīng)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】（1）若，，導(dǎo)函數(shù)為.依題意，有，則切線方程為，即.（2），①當(dāng)時，，由，得，則函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是；②當(dāng)時，由，得，再討論兩根的大小關(guān)系；⒈當(dāng)時，，由，得或者，則函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；⒉當(dāng)時，，則函數(shù)的增區(qū)間是，沒有減區(qū)間；⒊當(dāng)時，，由，得或者，則函數(shù)的增區(qū)間是（0,1）和，減區(qū)間是；綜上，當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)增區(qū)間是，沒有減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1）和，減區(qū)間是.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，屬導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)題.18、（1），，，；（2）證明見解析；（3）充要條件.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，直接列出即可（2）利用的和的符號和最高次的相同，利用排除法可以證明。（3）利用（2）的結(jié)論完成（3）即可?！绢}目詳解】（1）中的元素有，，，。（2）充分性：當(dāng)時，顯然成立。必要性：若=1，則若=，則若的值有個1，和個。不妨設(shè)2的次數(shù)最高次為次，其系數(shù)為1，則，說明只要最高次的系數(shù)是正的，整個式子就是正的，同理，只要最高次的系數(shù)是負的，整個式子就是負的，說明最高次的系數(shù)只能是0，就是說，即綜上“”的充要條件是“”（3）等價于等價于由（2）得“=”的充要條件是“”即“=”是“”的充要條件【題目點撥】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．19、(1)贊成“自助游”不贊成“自助游”合計男性女性合計在犯錯誤的概率不超過前提下，不能認為贊成“自助游”與性別有關(guān)系.（2）的分布列為：期望.【解題分析】試題分析：(1)根據(jù)分層抽樣比為，可知女性共55人，從而可以知難行45人，即可填表，計算卡方，得出結(jié)論；（2）由題意知隨機變量服從二項分布，從而利用公式計算分布列和期望．試題解析：(1)贊成“自助游”不贊成“自助游”合計男性女性合計將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入計算，得的觀測值：，在犯錯誤的概率不超過前提下，不能認為贊成“自助游”與性別有關(guān)系．(2)的所有可能取值為：,依題意，的分布列為：20、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

(1)根據(jù)絕對值三角不等式得到;(2)，則，故，分情況去掉絕對值解出不等式即可.【題目詳解】（1）證明：．（2）解：若，則，故∴或，解得：．∴實數(shù)的取值范圍為．【題目點撥】這個題目考查了含有絕對值的不等式的解法，絕對值三角不等式的應(yīng)用，以及函數(shù)的最值問題；一般對于解含有多個絕對值的不等式，根據(jù)零點分區(qū)間