湖北省武漢市青山區(qū)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

湖北省武漢市青山區(qū)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在橢圓內(nèi)，通過點(diǎn)，且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．2．一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為()A． B． C． D．83．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）．A． B．C． D．4．下列結(jié)論中正確的是（）A．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極大值C．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極小值D．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極大值5．給出一個(gè)命題p：若，且，則a，b，c，d中至少有一個(gè)小于零，在用反證法證明p時(shí)，應(yīng)該假設(shè)（）A．a(chǎn)，b，c，d中至少有一個(gè)正數(shù) B．a(chǎn)，b，c，d全為正數(shù)C．a(chǎn)，b，c，d全都大于或等于0 D．a(chǎn)，b，c，d中至多有一個(gè)負(fù)數(shù)6．如圖所示，陰影部分的面積為（）A． B．1 C． D．7．若，則（）A．2 B．4 C． D．88．中國古代儒家提出的“六藝”指:禮?樂?射?御?書?數(shù).某校國學(xué)社團(tuán)預(yù)在周六開展“六藝”課程講座活動,周六這天準(zhǔn)備排課六節(jié),每藝一節(jié),排課有如下要求:“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰,則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共有()A．18種 B．36種 C．72種 D．144種9．某程序框圖如圖所示，若運(yùn)行該程序后輸出（）A． B． C． D．10．設(shè)6人站成一排，甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù)為()A．720 B．144 C．576 D．32411．在長方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)則（）A． B． C． D．12．一個(gè)圓錐被過其頂點(diǎn)的一個(gè)平面截去了較少的一部分幾何體，余下的幾何體的三視圖如圖，則余下部分的幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．球的半徑為8，經(jīng)過球面上一點(diǎn)作一個(gè)平面，使它與經(jīng)過這點(diǎn)的半徑成45°角，則這個(gè)平面截球的截面面積為_________________.14．己知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則______.15．若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)滿足點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱是函數(shù)一個(gè)“姊妹點(diǎn)對”（與可看作同一“姊妹點(diǎn)對”）.已知?jiǎng)t的“姊妹點(diǎn)對”有_______個(gè).16．棱長為的正四面體的高為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列，的公比分別為，．（1）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列，滿足，求證：數(shù)列不是等比數(shù)列．18．（12分）已知數(shù)列滿足，，.（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）從某班6名學(xué)生（其中男生4人，女生2人）中任選3人參加學(xué)校組織的社會實(shí)踐活動．設(shè)所選3人中女生人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.20．（12分）如圖是一個(gè)路燈的平面設(shè)計(jì)示意圖，其中曲線段AOB可視為拋物線的一部分，坐標(biāo)原點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸為y軸，燈桿BC可視為線段，其所在直線與曲線AOB所在的拋物線相切于點(diǎn)B．已知AB=2分米，直線軸，點(diǎn)C到直線AB的距離為8分米.燈桿BC部分的造價(jià)為10元/分米；若頂點(diǎn)O到直線AB的距離為t分米，則曲線段AOB部分的造價(jià)為元.設(shè)直線BC的傾斜角為，以上兩部分的總造價(jià)為S元.（1）①求t關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）求總造價(jià)S的最小值.21．（12分）已知函數(shù).（1）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，判斷的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.22．（10分）已知，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)分別為，則，又，兩式相減化簡得，即以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程可得，即，故選A.考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系.2、C【解題分析】分析：由三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)棱長為的正方體切去一個(gè)以直角邊長為的等腰直角三角形為底面，高為的三棱錐，即可利用體積公式，求解幾何體的體積．詳解：由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)棱長為的正方體切去一個(gè)以直角邊長為的等腰直角三角形為底面，高為的三棱錐，所以該幾何體的體積為，故選C．點(diǎn)睛：本題考查了幾何體的三視圖及幾何體的體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解．3、D【解題分析】

根據(jù)最值計(jì)算，利用周期計(jì)算，當(dāng)時(shí)取得最大值2，計(jì)算，得到函數(shù)解析式.【題目詳解】由題意可知，因?yàn)?當(dāng)時(shí)取得最大值2，所以:，所以:，解得:，因?yàn)?，所以:可得，可得函數(shù)的解析式:．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得函數(shù)的解析式，熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題4、B【解題分析】

根據(jù)極值點(diǎn)的判斷方法進(jìn)行判斷.【題目詳解】若，則，，但是上的增函數(shù)，故不是函數(shù)的極值點(diǎn).因?yàn)樵诘淖髠?cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，故的左側(cè)附近，有為增函數(shù)，在的右側(cè)附近，有為減函數(shù)，故是極大值.故選B.【題目點(diǎn)撥】函數(shù)的極值刻畫了函數(shù)局部性質(zhì)，它可以理解為函數(shù)圖像具有“局部最低（高）”的特性，用數(shù)學(xué)語言描述則是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可導(dǎo)且的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號發(fā)生變化，則必為函數(shù)的極值點(diǎn)，具體如下．（1）在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，則為函數(shù)的極大值點(diǎn)；（1）在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)；5、C【解題分析】

由“中至少一個(gè)小于零”的否定為“全都大于等于”即可求解.【題目詳解】因?yàn)椤癮，b，c，d中至少有一個(gè)小于零”的否定為“全都大于等于”,

所以由用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法可得,應(yīng)假設(shè)“全都大于等于”,

故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了反證法，反證法的證明步驟，屬于容易題.6、B【解題分析】如圖所示軸與函數(shù)圍成的面積為,因此故選B.7、D【解題分析】

通過導(dǎo)數(shù)的定義，即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，，故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，難度不大.8、D【解題分析】

由排列、組合及簡單的計(jì)數(shù)問題得：由題意可將“射”和“御”進(jìn)行捆綁看成一個(gè)整體，共有種，然后與“禮”、“數(shù)”進(jìn)行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個(gè)空即可，共有種，再相乘得解．【題目詳解】由題意“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰，可將“射”和“御”進(jìn)行捆綁看成一個(gè)整體，共有種，然后與“禮”、“數(shù)”進(jìn)行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個(gè)空即可，共有種，由于是分步進(jìn)行，所以共有種，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，根據(jù)問題選擇合適的方法是關(guān)鍵，此類問題常見的方法有元素優(yōu)先法、捆綁法、插空法等，本題屬于中等題.9、D【解題分析】

通過分析可知程序框圖的功能為計(jì)算，根據(jù)最終輸出時(shí)的值，可知最終賦值時(shí)，代入可求得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)程序框圖可知其功能為計(jì)算：初始值為，當(dāng)時(shí)，輸出可知最終賦值時(shí)本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)程序框圖的功能計(jì)算輸出結(jié)果，關(guān)鍵是能夠明確判斷出最終賦值時(shí)的取值.10、C【解題分析】

先求出6人站成一排，有多少種排法，再計(jì)算把甲、乙、丙3個(gè)人捆綁在一起，再跟剩下的3人排列，有多少種排法，這樣就可以用減法求出甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù).【題目詳解】求出6人站成一排，有種排法，把甲、乙、丙3個(gè)人捆綁在一起，再跟剩下的3人排列，有種排法，因此甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù)為，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了全排列、捆綁法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、A【解題分析】

由平面向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理，即可化簡，得到答案．【題目詳解】如圖所示，由平面向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理可得：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的運(yùn)算法則和平面向量的基本定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】分析:由三視圖求出圓錐母線，高，底面半徑．進(jìn)而求出錐體的底面積，代入錐體體積公式，可得答案．詳解:由已知中的三視圖，圓錐母線l=圓錐的高h(yuǎn)=，圓錐底面半徑為r==2，由題得截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分為S=πr2+sin120°=π+，故幾何體的體積為：V=Sh=×（π+）×2=.故答案為：B．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查三視圖找原圖，考查空間幾何體的體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和空間想象能力基本的計(jì)算能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征并準(zhǔn)確計(jì)算各幾何要素.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求出截面圓的半徑，再算截面面積?！绢}目詳解】截面圓半徑為，截面面積為?！绢}目點(diǎn)撥】先求出截面圓的半徑，再算截面面積。14、2【解題分析】

先由冪函數(shù)的定義，得到，求出，再由題意，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以或，又在上單調(diào)遞減，由冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：，解得：，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，熟記冪函數(shù)的定義，以及冪函數(shù)的單調(diào)性即可，屬于常考題型.15、2.【解題分析】

根據(jù)題意可知，只需作出函數(shù)y=x2+2x（x<0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，看它與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．【題目詳解】根據(jù)題意可知，“友好點(diǎn)對”滿足兩點(diǎn)：都在函數(shù)圖象上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.可作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，看它與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.如圖所示：當(dāng)時(shí)，觀察圖象可得：它們有2個(gè)交點(diǎn).故答案為：2.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的新定義問題，根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合畫出圖像即可求解，屬于中等題.16、【解題分析】

利用正弦定理計(jì)算出正四面體底面三角形的外接圓半徑，再利用公式可得出正四面體的高.【題目詳解】設(shè)正四面體底面三角形的外接圓的半徑為，由正弦定理得，，因此，正四面體的高為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查正四面體高的計(jì)算，解題時(shí)要充分分析幾何體的結(jié)構(gòu)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算，考查空間想象能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）分別求出，再得，仍然是等比數(shù)列，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得；（2）由已知，假設(shè)是等比數(shù)列，則，代入求得，與已知矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤．【題目詳解】（1），，，則；證明：（2）假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，可得，設(shè)數(shù)列的公比為，可得，因此有，即，因此有，與已知條件中不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，故數(shù)列不是等比數(shù)列．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查否定性命題的證明．證明否定性命題可用反證法，假設(shè)結(jié)論的反面成立，結(jié)合已知推理出矛盾的結(jié)論，說明假設(shè)錯(cuò)誤．也可直接證明，即能說明不是等比數(shù)列．18、(1).(2).【解題分析】試題分析：（1）由得出，由等比數(shù)列的定義得出數(shù)列為等比數(shù)列，并且求出的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．試題解析：（1）由，得，即，且,所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，所以.所以.①.②①-②，得，所以.故數(shù)列的前項(xiàng)和.19、【解題分析】

的可能值為，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【題目詳解】的可能值為，則；；.故分布列為：故.【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20、(1)①.②.(2)元.【解題分析】分析：（1）①先設(shè)曲線段所在的拋物線的方程為，代入點(diǎn)B可得a的值，然后求出切線BC的斜率,轉(zhuǎn)化為傾斜角從建立t與的等式關(guān)系；②根據(jù)t與的關(guān)系得出曲線段部分的造價(jià)為元，然后求出BC段的造價(jià)，故兩段的造價(jià)之和；（2）由S的表達(dá)式根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得最小值.詳解：（1）①設(shè)曲線段所在的拋物線的方程為，將代入得，故拋物線的方程為，求導(dǎo)得，故切線的斜率為，而直線的傾斜角為，故，t關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為.②因?yàn)?，所以曲線段部分的造價(jià)為元，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為8分米，直線的傾斜角為，故，部分的造價(jià)為，得兩部分的總造價(jià)為，.（2），，其中恒成立，令得，設(shè)且為銳角，列表如下：0極小故當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)，，，故總造價(jià)S的最小值為元.點(diǎn)睛：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，做題時(shí)一定要有耐心將題意理解清楚，多讀兩遍題，然后根據(jù)條件建立等式關(guān)系，結(jié)合函數(shù)分析思維求解即可，屬于較難題.21、（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）見解析【解題分析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由極值點(diǎn)求出參數(shù)，確定的正負(fù)得的單調(diào)性；（2）求出，得極值點(diǎn)滿足：所以，由（1）即，不妨設(shè).要證，則只要證，而，因此由的單調(diào)性，只要能證，即即可．令，利用導(dǎo)數(shù)的知識可證得結(jié)論成立．【題目詳解】（1）由已知得.因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，所以，即，所以，令，則，令，得，令，得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2），因此極值點(diǎn)滿足：所以由（1）即，不妨設(shè).要證，則只要證，而，因此由的單調(diào)性，只要能證，即即可．令，則，當(dāng)時(shí)，，，，所以，即在單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，又，，在單調(diào)遞增，所以，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題，考查抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、有限與無限思想，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.22、（1