第十三講反比例函數(shù)詳解

第十三講反比例函數(shù)詳解匯報人：XXX2024-01-29目錄反比例函數(shù)基本概念反比例函數(shù)與直線交點(diǎn)問題反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷反比例函數(shù)極值問題求解策略反比例函數(shù)在生活中的應(yīng)用舉例總結(jié)回顧與拓展延伸01反比例函數(shù)基本概念性質(zhì)反比例函數(shù)的定義域?yàn)?xneq0$的所有實(shí)數(shù)。在每個象限內(nèi)，隨著$x$的增大（或減?。?，$y$值逐漸減小（或增大）。當(dāng)$k>0$時，函數(shù)圖象位于第一、三象限；當(dāng)$k<0$時，函數(shù)圖象位于第二、四象限。定義：形如$y=frac{k}{x}$（$k$為常數(shù)，$kneq0$）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。定義與性質(zhì)反比例函數(shù)的圖象是由兩支分別位于第一、三象限和第二、四象限的雙曲線組成。形狀漸近線對稱性雙曲線無限接近但永不相交的兩條直線$x=0$和$y=0$是反比例函數(shù)的漸近線。反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。030201圖象特征表達(dá)式：反比例函數(shù)的一般表達(dá)式為$y=frac{k}{x}$，其中$k$是常數(shù)且$kneq0$。$k$決定了雙曲線的形狀和位置。當(dāng)$k>0$時，雙曲線位于第一、三象限；當(dāng)$k<0$時，雙曲線位于第二、四象限。$|k|$的大小影響雙曲線與坐標(biāo)軸的接近程度。$|k|$越大，雙曲線離坐標(biāo)軸越遠(yuǎn)；$|k|$越小，雙曲線離坐標(biāo)軸越近。參數(shù)意義表達(dá)式及參數(shù)意義02反比例函數(shù)與直線交點(diǎn)問題聯(lián)立反比例函數(shù)和直線方程，通過解方程組求解交點(diǎn)坐標(biāo)。方程組法在同一坐標(biāo)系中畫出反比例函數(shù)和直線的圖象，通過觀察圖象交點(diǎn)得出坐標(biāo)。圖象法在無法直接求解方程組時，可以采用數(shù)值逼近法求解交點(diǎn)坐標(biāo)的近似值。數(shù)值逼近法交點(diǎn)坐標(biāo)求解方法

交點(diǎn)個數(shù)判斷依據(jù)判別式法對于聯(lián)立后的方程組，通過計算判別式的值來判斷交點(diǎn)個數(shù)。圖象法通過觀察反比例函數(shù)和直線圖象的交點(diǎn)個數(shù)來判斷。參數(shù)討論法對于含有參數(shù)的反比例函數(shù)或直線方程，可以通過討論參數(shù)取值范圍來判斷交點(diǎn)個數(shù)。典型例題分析已知反比例函數(shù)和直線方程，求解交點(diǎn)坐標(biāo)。判斷反比例函數(shù)和直線交點(diǎn)個數(shù)，并說明理由。已知反比例函數(shù)和直線有一個交點(diǎn)，求參數(shù)取值范圍。綜合應(yīng)用反比例函數(shù)和直線交點(diǎn)知識解決實(shí)際問題。例題1例題2例題3例題403反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷單調(diào)性定義對于任意$x_1,x_2$（$x_1<x_2$）在區(qū)間$I$內(nèi)，若$f(x_1)leqf(x_2)$，則稱函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上單調(diào)增加；若$f(x_1)geqf(x_2)$，則稱函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上單調(diào)減少。判定定理對于連續(xù)函數(shù)$f(x)$，若在區(qū)間$I$內(nèi)其導(dǎo)數(shù)$f'(x)>0$，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；若$f'(x)<0$，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷區(qū)間內(nèi)單調(diào)性變化規(guī)律探討反比例函數(shù)一般形式為$f(x)=frac{k}{x}$（$k>0$），其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=-frac{k}{x^2}$。當(dāng)$x>0$時，由于$f'(x)<0$，因此反比例函數(shù)在$(0,+infty)$區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷0102反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷在整個定義域內(nèi)（除去零點(diǎn)），反比例函數(shù)不具有單調(diào)性。當(dāng)$x<0$時，同樣由于$f'(x)<0$，反比例函數(shù)在$(-infty,0)$區(qū)間內(nèi)也單調(diào)減少。判斷反比例函數(shù)$f(x)=frac{1}{x}$在區(qū)間$(1,2)$內(nèi)的單調(diào)性。例題1根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，我們知道在$(0,+infty)$區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)減少的。因此，在子區(qū)間$(1,2)$內(nèi)，函數(shù)同樣單調(diào)減少。分析反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷判斷反比例函數(shù)$g(x)=frac{2}{x}$在區(qū)間$(-2,-1)$內(nèi)的單調(diào)性。同樣根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，我們知道在$(-infty,0)$區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)減少的。因此，在子區(qū)間$(-2,-1)$內(nèi)，函數(shù)也是單調(diào)減少的。反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷反比例函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性判斷分析例題204反比例函數(shù)極值問題求解策略對于一元反比例函數(shù)，其極值存在的條件是一階導(dǎo)數(shù)等于零且二階導(dǎo)數(shù)不為零；對于多元反比例函數(shù)，極值存在的條件是其偏導(dǎo)數(shù)等于零且二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣（Hessian矩陣）正定或負(fù)定。極值存在條件對于一元反比例函數(shù)，可以通過求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于零來找到可能的極值點(diǎn)，然后結(jié)合函數(shù)的定義域和單調(diào)性判斷極值點(diǎn)的真假及極值的大??；對于多元反比例函數(shù)，可以通過求偏導(dǎo)數(shù)并令偏導(dǎo)數(shù)等于零來找到可能的極值點(diǎn)，然后利用二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣判斷極值點(diǎn)的真假及極值的大小。求解方法極值存在條件及求解方法拉格朗日乘數(shù)法01當(dāng)多元函數(shù)在約束條件下求極值時，可以引入拉格朗日乘數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，通過求解拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)來得到原問題的極值點(diǎn)。梯度下降法02梯度下降法是一種迭代算法，用于求解多元函數(shù)的極小值。在每次迭代中，沿著負(fù)梯度方向更新自變量，使得函數(shù)值不斷減小，直到達(dá)到極小值點(diǎn)或滿足停止準(zhǔn)則。牛頓法03牛頓法也是一種迭代算法，用于求解多元函數(shù)的零點(diǎn)或極小值點(diǎn)。它通過構(gòu)造函數(shù)的二階泰勒展開式，并利用二階導(dǎo)數(shù)的信息來指導(dǎo)自變量的更新方向，從而加速收斂速度。多元函數(shù)極值處理方法例題一：求一元反比例函數(shù)$f(x)=\frac{k}{x}$（$keq0$）的極值。解題思路：首先求導(dǎo)得到$f'(x)=-\frac{k}{x^2}$，然后令$f'(x)=0$解得$x$無實(shí)數(shù)解，說明一元反比例函數(shù)在其定義域內(nèi)無極值。例題二：求二元反比例函數(shù)$f(x,y)=\frac{1}{xy}$在條件$x+y=1$下的極小值。解題思路：引入拉格朗日乘數(shù)$\lambda$，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)$L(x,y,\lambda)=\frac{1}{xy}+\lambda(x+y-1)$，然后分別求偏導(dǎo)數(shù)并令偏導(dǎo)數(shù)等于零，解得可能的極值點(diǎn)。最后結(jié)合約束條件和函數(shù)的性質(zhì)判斷極值點(diǎn)的真假及極小值的大小。典型例題分析05反比例函數(shù)在生活中的應(yīng)用舉例在一定時間內(nèi)，隨著消費(fèi)某種商品數(shù)量的不斷增加，消費(fèi)者從中得到的總效用是在增加的，但是以遞減的速度增加的，即邊際效用是遞減的。邊際效用遞減邊際效用與商品消費(fèi)量之間呈現(xiàn)反比例關(guān)系。當(dāng)商品消費(fèi)量增加時，邊際效用逐漸減少；反之，當(dāng)商品消費(fèi)量減少時，邊際效用逐漸增加。反比例關(guān)系經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際效用遞減規(guī)律解釋電阻計算在電路中，電阻的大小與導(dǎo)體的長度和橫截面積有關(guān)。當(dāng)導(dǎo)體的長度增加時，電阻也隨之增加；當(dāng)導(dǎo)體的橫截面積增加時，電阻則減小。這種關(guān)系可以近似地看作反比例關(guān)系。電容計算電容是表示電容器容納電荷本領(lǐng)的物理量。電容的大小與電容器極板的面積和極板間的距離有關(guān)。當(dāng)極板面積增加時，電容也隨之增加；當(dāng)極板間距離增加時，電容則減小。這種關(guān)系也可以近似地看作反比例關(guān)系。工程學(xué)中電阻、電容等參數(shù)計算人口數(shù)量與人口密度之間呈現(xiàn)反比例關(guān)系。當(dāng)人口數(shù)量增加時，人口密度隨之減?。环粗?，當(dāng)人口數(shù)量減少時，人口密度則增加。人口統(tǒng)計在某些化學(xué)反應(yīng)中，反應(yīng)速率與反應(yīng)物濃度之間呈現(xiàn)反比例關(guān)系。當(dāng)反應(yīng)物濃度增加時，反應(yīng)速率隨之減?。环粗?，當(dāng)反應(yīng)物濃度減少時，反應(yīng)速率則增加?；瘜W(xué)反應(yīng)速率兩個物體之間的引力與它們質(zhì)量的乘積成正比，與它們距離的平方成反比。這種關(guān)系也可以看作是一種反比例關(guān)系。物理學(xué)中的萬有引力定律其他領(lǐng)域應(yīng)用案例06總結(jié)回顧與拓展延伸反比例函數(shù)圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當(dāng)$k>0$時，圖象位于第一、三象限；當(dāng)$k<0$時，圖象位于第二、四象限。反比例函數(shù)定義形如$y=frac{k}{x}$（$k$為常數(shù)且$kneq0$）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。反比例函數(shù)性質(zhì)反比例函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，即當(dāng)$x$增大時，$y$值減?。环粗?，當(dāng)$x$減小時，$y$值增大。但需注意，這是在每個象限內(nèi)分別考慮的。關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧忽略定義域的限制。反比例函數(shù)在$x=0$處無定義，因此需要注意在求解與反比例函數(shù)相關(guān)的問題時，要考慮定義域的限制。易錯點(diǎn)一混淆反比例函數(shù)與其他函數(shù)。反比例函數(shù)具有其獨(dú)特的性質(zhì)和圖象特征，需要與其他函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等）進(jìn)行區(qū)分。易錯點(diǎn)二加強(qiáng)對反比例函數(shù)定義、性質(zhì)和圖象的理解，多做相關(guān)練習(xí)題以加深對知識點(diǎn)的掌握。避免方法易錯難點(diǎn)剖析和避免方法數(shù)形結(jié)合思想通過反比例函數(shù)的圖象，可以更直觀