中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)平行四邊形單元測試及答案

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)平行四邊形單元測試及答案

一、選擇題

1.如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點（點P不與點B、D重合），PELBC于點

E,PFLCD于點F,連接EF給出下列五個結(jié)論：①AP=EF；②AP_LEF；③僅有當(dāng)NDAP=

45?；?7.5。時，4APD是等腰三角形；④NPFE=NBAP：⑤41pD=EC.其中有正確有

()個.

A.2B.3C.4D.5

2.如圖，菱形ABCD中，ZABC=60°,A8=4,對角線AC、BD交于點O,E是線段80上

一動點，F(xiàn)是射線0C上一動點，若/AEF=120。，則線段EF的長度的整數(shù)值的個數(shù)有

3.如圖，在正方形ABCD中，點P是AB的中點，BEJ.DP的延長線于點E,連接AE,

過點A作FALAE交DP于點F,連接BF、FC.下列結(jié)論中：①ABE絲ADF；

②PF=EP+EB；③BCF是等邊三角形；④NADF="DCF；⑤S.=SCDF?其

中正確的是（）

A.（1X2X3）B.①?④C.②?⑤D.①?⑤

4.如圖，菱形ABC。的邊，AB=8,NB=60,P是A8上一點，BP=3,。是CD

邊上一動點，將梯形APQ。沿直線P。折疊，A的對應(yīng)點4'.當(dāng)CA'的長度最小時，

C'。的長為（）

DO

ApB

uc13

A.5B.7C.8D.—

2

5.如圖，矩形ABCD中，。為AC中點，過點。的直線分別與AB,CD交于點E,

F,連結(jié)交AC1于點M,連結(jié)DE,B0.若ZBOC=60。，F(xiàn)O=FC,則下列

結(jié)論：?AE=CF；②8/垂直平分線段OC；④四邊形是

菱形.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

6.已知點M是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(不含邊界)，設(shè)

4MAD=4,ZMBA=02,ZMCB=6VZMDC=04,若

ZAMB=110°,ZCMD=90°,ZBCD=60°,貝U()

A.g+-10°B.a+g_q_q=30°

c.a+g_&_q=30°D.名+2一a—q=4o°

7.在矩形ABCD中，點E、F分別在AB、AD上,ZEFB=2ZAFE=2ZBCE,CD=9,CE=20,

則線段AF的長為（）.

A.3亞B.-C.^/19D.4

8.如圖，分別以MAAC3的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形

ABDE,連結(jié)CE、BG、GE.給出下列結(jié)論：

①CE=BG；

②EC工BG

③FG2+BF2=2BD2+BC2

④3c2+G￡2=2402+243?其中正確的是（）

A.②③④B.①②③C.①②④D.①②③④

9.如圖，在平行四邊形ABC。中，過點A作AGL8C于G,作A”,CO于“，且

NGAH=45。，AG=2,AH=3,則平行四邊形的面積是（）

A.6夜B.120C.6D.12

10.如圖，4ABC的周長為19,點D,E在邊BC上，NABC的平分線垂直于AE,垂足為

N,NACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長度為（）

D.3

二、填空題

11.如圖，RMABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,點D是BC邊上一點且CD=1,點P是線段

DB上一動點，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰RtAAOP.當(dāng)P從點D出發(fā)運動

至點B停止時，點O的運動路徑長為.

D

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABC。的邊C。、0A分別在x軸、y軸上，點E在邊

BC上，將該矩形沿AE折疊，點B恰好落在邊。C上的F處.若。A=8,CF=4,則點E的

坐標(biāo)是

13.如圖，AA6C是邊長為1的等邊三角形，取BC邊中點E,作EO//A8,

EF//AC,得到四邊形ED4F,它的周長記作儲；取BE中點耳,作EQJ/FB,

E\F\UEF,得到四邊形與口用，它的周長記作G?照此規(guī)律作下去，則

GO2O=------

14.如圖，在平行四邊形A8C。中，AB=6,8c=4,/A=120°,E是A8的中點，點尸在

平行四邊形ABC。的邊上，若AAEF為等腰三角形，則EF的長為

15.如圖，R/A43E中，/8=90°,43=3￡,將兒45后繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到

AAHD,過。作。CL8E交班的延長線于點C，連接8”并延長交OC于點尸，連接

DE交BF于點0.下列結(jié)論：①DE平分NHDC；②DO=OE；③CD=HF；

@BC-CF=2CE-,⑤〃是的中點，其中正確的是

16.菱形08CD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點8（273，0）,NDOB=

60°,點P是對角線。C上一個動點，E（0,一1）,則EP十BP的最小值為

E"

17.如圖，在平行四邊形A8CD,AD^IAB,F是的中點，作CEJLA8,垂足E在線段A8

上，連接EF、CF,則下列結(jié)論：①N8CO=2/DCF；②EF=CF；③SACOF=SACEF;④NDFE=

3ZAEF,一定成立的是.（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

18.如圖，已知在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,點M是AC邊上任意一點，連接MB,以

MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值是

19.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E為AD的延長線上一點，且DE=DC,點P為邊

AD上一動點，且PCLPG,PG=PC,點F為EG的中點.當(dāng)點P從D點運動到A點時，則

CF的最小值為

20.如圖，菱形04BC的兩個頂點坐標(biāo)為0(0,0),8(4,4),若將菱形繞點。以每秒

45°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，則第2019秒時，菱形兩對角線交點。的坐標(biāo)為.

三、解答題

21.如圖，在MAA8C中，ZBAC=90°，。是8C的中點，E是4。的中點，過點A

作AF//BC交BE的延長線于點F

(1)求證：四邊形AOCF是菱形

(2)若AC=4,AB=5,求菱形AOCF的面積

22.如圖1,A4BC是以NACB為直角的直角三角形，分別以A3,BC為邊向外作正方

ABFG,BCED,連結(jié)AD,CF,AO與CF交于點M,與CF交于點N.

(1)求證：MBD\FBC；

(2)如圖2,在圖1基礎(chǔ)上連接AF和尸￡>,若A￡>=6,求四邊形ACOF的面積.

23.已知在ABC和AOE中，NACB+NAEO=180°,CA=CB,EA=ED,

AB=3.

(1)如圖1,若NACB=90°,B、A、。三點共線，連接CE：

①若。石=述，求長度；

2

②如圖2,若點F是3。中點，連接CF,EF,求證：CE=及EF;

（2）如圖3,若點O在線段8C上，且NCAB=2NE4D,試直接寫出AED面積的最

小值.

24.如圖1,在045中，NOAB=9(T,ZAOB=30,0B=8,以。8為邊，在AQW

外作等邊AO8C，。是。8的中點，連接A。并延長交。C于E.

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）連接AC,8E交于點P,求AP的長及AP邊上的高BH；

（3）在（2）的條件下，將四邊形0A8C置于如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，以E為坐標(biāo)

原點,其余條件不變，以AP為邊向右上方作正方形4PMN：

①M點的坐標(biāo)為.

②直接寫出正方形APMN與四邊形0A8C重疊部分的面積（圖中陰影部分）.

25.如圖，在正方形ABC。中，點E是BC邊所在直線上一動點（不與點B、C重合），過

點8作BFL0E,交射線DE于點F,連接CF.

備用圖

（1）如圖，當(dāng)點E在線段BC上時，ZBDF=a.

①按要求補全圖形；

②NEBF=（用含a的式子表示）：

③判斷線段BF,CF,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）當(dāng)點E在直線8c上時，直接寫出線段8F,CF,DF之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明.

26.如圖1,點E為正方形ABC。的邊A8上一點，EF上EC,且"=EC,連接

AF,過點F作FN垂直于BA的延長線于點N.

（1）求/EA尸的度數(shù)；

（2）如圖2,連接FC交5。于M,交AO于P，試證明：

BD=BG+DG=AF+2DM.

27.如圖，銳角AA6C,A8=AC,點。是邊8C上的一點，以A。為邊作A4OE,使

AE=AD,ZEAD=ABAC.

（1）過點E作EF//DC交AB于點尸，連接CF（如圖①）

①請直接寫出NEAB與ND4c的數(shù)量關(guān)系；

②試判斷四邊形COE尸的形狀，并證明；

（2）若NB4C=60，過點。作什//。后交AB于點尸，連接EF（如圖②），那么

（1）②中的結(jié)論是否任然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由.

28.在正方形4BCZ）中，連接BD,P為射線CB上的一個動點（與點C不重合），連接4P,

4P的垂直平分線交線段8。于點E,連接4E,PE.

提出問題：當(dāng)點P運動時，乙4PE的度數(shù)是否發(fā)生改變？

探究問題：

（1）首先考察點P的兩個特殊位置：

D

①當(dāng)點P與點B重合時，如圖1所示，44PE=°

②當(dāng)BP=BC時，如圖2所示，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？直接寫出你的結(jié)論：

；（填"變化"或"不變化"）

（2）然后考察點P的一般位置：依題意補全圖3,圖4,通過觀察、測量，發(fā)現(xiàn)：（1）中

①的結(jié)論在一般情況下；（填"成立"或"不成立"）

（3）證明猜想：若（1）中①的結(jié)論在一般情況下成立，請從圖3和圖4中任選一個進(jìn)行

證明；若不成立，請說明理由.

29.點E在正方形ABCD的邊BC上，點F在AE上，連接FB,FD,ZABF=ZAFB.

（1）如圖1,求證：/AFD=NADF；

（2）如圖2,過點F作垂線交AB于G,交DC的延長線于H,求證：DH=2AG：

（3）在（2）的條件下，若EF=2,CH=3,求EC的長.

圖1圖2備用圖

30.如圖，A48c是邊長為3的等邊三角形，點。是射線上的一個動點（點。不與

點、B、。重合），AAOE是以AZ）為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，交直線

（1）判斷四邊形BCFE的形狀，并說明理由；

（2）當(dāng)時，求四邊形BCFE的周長;

（3）四邊形8CFE能否是菱形？若可為菱形，請求出8。的長，若不可能為菱形，請說

明理由.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

過P作PG_LAB于點G,根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)及題中的已知條件，證明AAGP絲ZSFPE

后即可證明①AP=EF；@ZPFE=ZBAP；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形的對角線平分對角的性

質(zhì)，在RtADPF中，Dp2=DF2+PF2=EC?+EC2=2EC2,求得DP=J，EC,得出⑤正確，即可得出

結(jié)論.

【詳解】

過P作PG_LAB于點G,如圖所示：

?.?點P是正方形ABCD的對角線BD上一點,

，GP=EP,

在AGPB中，NGBP=45°,

/GPB=45°,

；.GB=GP,

同理：PE=BE,

VAB=BC=GF,

；.AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

；.AG=PF,

在AAGP和AFPE中，

AG=PF

<NAGP=NFPE=90°,

PG=PE

.,.△AGP^AFPE(SAS),

；.AP=EF,①正確，ZPFE=ZGAP,

AZPFE=ZBAP,④正確；

延長AP到EF上于一點H,

AZPAG=ZPFH,

VZAPG=ZFPH,

AZPHF=ZPGA=90",

AAPIEF,②正確，

?.?點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，NADP=45。，

...當(dāng)NPAD=45?；?7.5。時，AAPD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③正確.

：GF〃BC,

AZDPF=ZDBC,

XVZDPF=ZDBC=45°,

AZPDF=ZDPF=45°,

；.PF=EC,

.?.在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

/.DP=V2EC,

即Y2PD=EC,⑤正確.

2

.?.其中正確結(jié)論的序號是①②③④⑤，共有5個.

故選D.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直的判定，等腰三角形的性質(zhì)，

勾股定理的運用.本題難度較大，綜合性較強，在解答時要認(rèn)真審題.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

連結(jié)CE,根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定可得△ABE也△CBE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

可得AE=CE,設(shè)NOCE=a,NOAE=a,Z4EO=90°-a,可得NECF=NEFC,根據(jù)等角對

等邊可得CE=EF,從而得到AE=EF,在R34B。中，根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)得到

4。=2,可得2*E44,從而得到EF的長的整數(shù)值可能是2,3,4.

【詳解】

解：如圖，連結(jié)CE

;在菱形ABCD中，AB=BC,ZABE=ZCBE=30°,BE=BE,

：./\ABE注ACBE,

：.AE=CE,

設(shè)/OCE=。，ZOAE=a,ZAEO=90°-a,

：.ZD￡f=120°-(90°-a)=30°+a,

?.NEFC=ZCDE+ZDEF=30°+30°+a=60°+a,

NECF=NDCO+ZOCE=600+a,

：.NECF=NEFC,

：.CE=EF,

：.AE=EF,

\"AB=4,ZABE=30°,

.?.在RtAABO中，40=2,

"：OA<AE<AB,

：.2<AE<4,

???AE的長的整數(shù)值可能是2,3,4,即EF的長的整數(shù)值可能是2,3,4.

故選：C.

【點睛】

考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，根據(jù)含30。的直角三角形的

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，證明△48E絲△CBE.

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD,再根據(jù)同角的余角相等求出，BAE=/DAF,再根

據(jù)等角的余角相等求出NABE=/ADF,然后利用"角邊角"證明ABE絲ADF；根據(jù)

全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AF,判斷出AEF是等腰直角三角形，過點A作

AMLEF于M,根據(jù)等腰直角三角形點的性質(zhì)可得AM=MF,再根據(jù)點P是AB的中點

得到AP=BP,然后利用“角角邊"證明APM和BPE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相

等可得BE=AM,EP=MP,然后求出PF=EP+EB；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等求

出DF=BE=AM,再根據(jù)同角的余角相等求出/DAM=NCDF,然后利用"邊角邊"

證明ADM和DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得/ADF=/DCF,

/CFD=/DMA=90;再求出CDHCF,判定BCF不是等邊三角形；求出

CF〉FP,AM=DF,然后求出CDF.

【詳解】

在正方形ABCD中，AB=AD,NDAF+NBAF=9()，

FA±AE,

.?./BAE+/BAF=9()，

NBAE=/DAF,

BE±DP.

.../ABE+/BPE=90，

又/ADF+/APD=90，，BPE=/APD(對頂角相等)，

NABE=/ADF,

在ABE和ADF中，

"NBAE=ZDAF

<AB=AD,

NABE=NADF

ABE絲ADF(ASA),故①正確；

AE=AF,BE=DF,

AEF是等腰直角三角形，

過點A作AMJ.EF于M,則AM=MF,

點P是AB的中點，

AP=BP,

在APM和BPE中，

'NBPE=NAPD

<NBEP=NAMP=90,

AP=BP

APMgBPE(AAS),

BE=AM,EP=MP,

PF=MF+PM=BE+EP,故②正確；

BE=DF,FM=AM=BE,

AM=DF,

又NADM+/DAM=90，NADM+/CDF=90，

—DAM=NCDF,

在ADM和DCF,

AD=DC

<ADAM=NCDF,

AM=DF

ADM絲DCF(SAS),

..CF=DM,/ADF=/DCF,NCFD="MA=90，故④正確;

在RtCDF中，CD>CF,

BC=CD,

CF彳BC,

BCF不是等邊三角形，故③錯誤；

CF=DM=DF+FM=EM+FM=EF#FP,

又AM=DF,

<Sa)F，故⑤錯誤；

綜上所述，正確的有①?④

故選B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角或等角度余角相等的性質(zhì)，三

角形的面積，綜合性較強，難度較大，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作輔助線利

用等腰直角三角形的性質(zhì)并構(gòu)造出全等三角形是本題的難點.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

作A3于”，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷A4BC為等邊三角形，則

CH=BAB=46AH=BH=4,再利用CP=7勾股定理計算出，再根據(jù)折疊的

2

性質(zhì)得點A'在以點P為圓心，PA為半徑的弧上，利用點與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點A'在

PC上時，C4'的值最小，然后證明CQ=CP即可.

【詳解】

解：作A3于"，如圖，

菱形ABC。的邊AB=8,ZB=60-

48c為等邊三角形，

:.CH=BAB=4BAH=BH=4,

2

PB=3,

：.HP=\,

在用ACH尸中，3=J(4后+『=7,

梯形APQ。沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點A',

.?.點A'在以點P為圓心，PA為半徑的弧上，

...當(dāng)點A'在PC上時，C4'的值最小，

:.ZAPQ=ZCPQ,

而CQ//A8,

ZAPQ=ZCQP,

NCQP=NCPQ,

：.CQ=CP=7.

【點睛】

考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條

對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.也考查了折疊的性質(zhì).解決本題的關(guān)

鍵是確定A，在PC上時CA，的長度最小.

5.C

解析：c

【分析】

通過證△AE。絲CFO可判斷①；利用矩形的性質(zhì)證AOCB是正三角形，可得②；因

OBXMB,得到③錯誤；通過證aEOB絲Z^FCB得到EB=FB,從而證④.

【詳解】

:四邊形ABCD是矩形

...AB〃DC,AO=OC

/.ZAEO=ZCFO,ZEAO=ZFCO

.".△AEO^CFO(AAS)

，AE=FC,①正確

?..四邊形ABCD是矩形

.,.OC=OB

VZB0C=60o

.?.△OCB是正三角形，，OB=OC

：FO=FC

/.FB是線段OC的垂直平分線，②正確

VBM±OC,.,.△OMB是直角三角形，/.OB>BM

...莊0BqkCMB是錯誤的，即③錯誤

?..四邊形ABCD是矩形

；.EB〃DF,AB=DC

VAE=FC

.\EB=DF

，四邊形EBFD是平行四邊形

VAAEO^ACFO,OF=FC,.".AE=EO=OF=FC

?.,△OBC是正三角形，，NBOC=6(r=NBCO,BC=BO

，ZFCO=30°,，ZFOC=30°

，/FOB=30°+60°=90°

ZEOB=90°=ZFCB

.?.△EOB絲△FCB(SAS)

/.EB=FB

平行四邊形EBFD是菱形，④正確

故選：C

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)和證明，解題關(guān)鍵是證明4AOE絲ZXCOF和證明△BOC是正三角形.

6.D

解析：D

【分析】

依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，可得-也=10°，。4-優(yōu)=30°,兩式相加即可

得到02+04-61-03=40°.

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

/BAD=NBCD=60°,

NBAM=60。。，ZDCM=60°-e3,

.二△ABM中，60°-也+。2+11?！?180°,即①，

△DCM中，60°-03+04+90°=180°,即。4-仇=30°②，

由②+①，可得(04-03)+(02-61)=40°,

：.%"「6\—色=40°；

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握平行四邊形的

對角相等是解題的關(guān)鍵.

7.C

解析：C

【分析】

如圖，取CE的中點H,連接BH,設(shè)NEFB=2/AFE=2NECB=2a,則/AFB=3a,進(jìn)而求出

BH=CH=EH=10,NHBC=NHCB=a,再根據(jù)AD〃BC求出EF〃BH,進(jìn)而得出aFFG和aBGH

均為等腰三角形，則BF=EH=10,再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】

如圖，取CE的中點H,連接BH,設(shè)NEFB=2/AFE=2/ECB=2a,則NAFB=3a,

FD

；在矩形ABCD中有AD〃BC,ZA=ZABC=90°,

/.△BCE為直角三角形，

;點H為斜邊CE的中點，CE=20,

，BH=CH=EH=10,ZHBC=ZHCB=a,

：AD〃BC,

；.NAFB=NFBC=3a,

/.ZGBH=3a-a=2a=ZEFB,

，EF〃BH,

AZFEG=ZGHB=ZHBC+ZHCB=2a=ZEFB=ZGBH,

.,.△EFG和4BGH均為等腰三角形，

.*.BF=EH=10,

VAB=CD=9,

?*-AF=VBF2-AB2=V102-92=V19-

故選c.

【點睛】

本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

題意正確作出輔助線.

8.C

解析：C

【分析】

利用SAS證明aAGB會ZXACE,即可判斷①；證明NBNM=NMAE=90。，即可判斷②；假設(shè)

③成立，利用勾股定理對等式變形證得AC=BC,而AC與不一定相等，即可判斷

③；利用勾股定理證得BC-+EG2=BE2+CGr,從而證得結(jié)論④成立.

【詳解】

四邊形ACFG和四邊形ABDE都是正方形，

；.AC=AG,AB=AE,

VZCAG=ZBAE=90°,

Z.ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

^AAGB^IIAACE中，

AG=AC

ZGAB=NCAE,

AB=AE

.?.△AGB絲△ACE(SAS),

/.GB=CE,故①正確；

G

VAAGB^AACE,

.../GBA=/CEA,

又...NBIVINMEMA,

；./BNM=NMAE=90。，

ECLBG,故②正確；

設(shè)正方形ACFG和正方形ABDE的邊長分別為。和b,

,/為直角三角形，且AB為斜邊，

AB2-AC2=b2-a2=BC2，

假設(shè)FG2+BF2=2BD2+BC2成立，

則有〃+（4+5。）2=2從+3。2,

整理得：2aBC=2（b2-a2）,即qBC=BC?,

a=BC,即AC-BC,

?；AC與BC不一定相等，

假設(shè)不成立，故③不正確；

連接CG,BE,設(shè)BG、CE相交于N,

G

?：EC1BG,

二BC2+EG2=BN?+NC2+EN2+NG2=BN?+EN2+NC2+NG2=BE2+CG2，

,/四邊形ACFG和四邊形ABDE都是正方形，

BE2=2AB2-CG2=2AC2>

，BC2+EG2=2AB2+2AC2，故④正確；

綜上，①②④正確，

故選：C.

【點睛】

本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定

義、勾股定理的應(yīng)用，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

9.A

解析：A

【分析】

設(shè)N8=x,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得ND=NB=x,ZBAD=180。-x,AB=CD,

再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得x=45。，然后根據(jù)等腰直角三角形的判

定與性質(zhì)、勾股定理可得A8=2及，從而可得。=2加，最后利用平行四邊形的面積

公式即可得.

【詳解】

設(shè)NB=x,

四邊形ABCD是平行四邊形，

ND=NB=x,NBAD=180°—N5=180°—x,A8=CO,

AG±BC,AH±CD,

NBAG=90°-ZB=90°-x,ADAH=90°-ZD=90°-x,

又NBAG+NGAH+ADAH=NBAD=180°—x,ZGAH=45°,

90°—x+45°+90°—x=180°—x,

解得x=45。，

即ZB=45°,

/.RlABG是等腰直角三角形，

BG=AG=2,AB=^AG2+BG2=272>

:.CD=2叵,

，平行四邊形ABCD的面積是A".CD=3x2及=60，

故選：A.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、等腰直角三角形的判定與性

質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.C

解析：c

【分析】

證明ABNAgaBNE,得至IJBA=BE,即^BAE是等腰三角形，同理ACAD是等腰三角形，根據(jù)

題意求出DE,根據(jù)三角形中位線定理計算即可.

【詳解】

解：：BN平分/ABC,BN1AE,

NNBA=NNBE,ZBNA=ZBNE,

在ABNA和ABNE中，

'4ABN=4EBN

<BN=BN,

NANB=NENB

.".△BNA^ABNE,

BA=BE,

/.△BAE是等腰三角形，

同理ACAD是等腰三角形，

??.點N是AE中點，點M是AD中點(三線合一)，

AMN是AADE的中位線，

：BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,

，DE=BE+CD-BC=5,

15

,-.MN=—DE=-.

22

故選C.

【點睛】

本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三

邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.272

【解析】

分析：過。點作OELCA于E,OFJ_BC于F,連接CO,如圖，易得四邊形OECF為矩形，

由AAOP為等腰直角三角形得到OA=OP,/AOP=90。，則可證明△OAEgZXOPF,所以

AE=PF,OE=OF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到CO平分/ACP,從而可判斷當(dāng)P

從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑為一條線段，接著證明

CE=；(AC+CP),然后分別計算P點在D點和B點時0C的長，從而計算它們的差即可得

到P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑長.

詳解：過。點作OE_LCA于E,OF_LBC于F,連接CO,如圖，

VAAOP為等腰直角三角形,

，OA=OP,/AOP=90°,

易得四邊形OECF為矩形，

NEOF=90°,CE=CF,

AZAOE=ZPOF,

.".△OAE^AOPF,

；.AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

/.當(dāng)P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑為一條線段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

Z.CE=—(AC+CP),

2

Ji

0C=J2CE=—(AC+CP)，

2

當(dāng)AC=2,CP=CD=1時，0C=—x(2+1)

22

當(dāng)AC=2,CP=CB=5時，OC=Ylx(2+5)

22

當(dāng)P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點0的運動路徑長=迪-迪=20.

22

故答案為20.

點睛：本題考查了軌跡：靈活運用幾何性質(zhì)確定圖形運動過程中不變的幾何量，從而判定

軌跡的幾何特征，然后進(jìn)行幾何計算.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì).

12.(-10,3)

【解析】

試題分析：根據(jù)題意可知△CEFS/SOFA,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例，可求得

0F=2CE,設(shè)CE=x,則BE=8-x,然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得EF=8-x,根據(jù)勾股定理可得

222

X+4=(8-X),解得X=3,則OF=6,所以0c=10,由此可得點E的坐標(biāo)為(-10,3).

故答案為：(?10,3)

13-^―

?22018

【分析】

根據(jù)幾何圖形特征，先求出￡、G、C3,根據(jù)求出的結(jié)果，找出規(guī)律，從而得出GO2O.

【詳解】

:點E是BC的中點，ED/7AB,EF〃AC

ADE,EF是△ABC的中位線

:等邊^(qū)ABC的邊長為1

1

.\AD=DE=EF=AF=-

2

則G=gx4=2

同理可求得：C2=l,c^=—

-2

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：規(guī)律為依次縮小為原來的!

2

。2020=京T

故答案為：

【點睛】

本題考查找規(guī)律和中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求解出幾組數(shù)據(jù)，根據(jù)求解的數(shù)據(jù)尋找規(guī)

律.

14.3若或3或恒

2

【分析】

△AEF為等腰三角形，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和30°直角三角形性質(zhì)、平

行四邊形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：當(dāng)AE=A產(chǎn)時，如圖，過點A作A/71EF于4，

:.AE=-AB=3,

2

AE=AF,AHLEF,ZA=120。，

ZAEF=NAFE=30°,FH=EH,

AH=-AE=-,EH=y/3AH=-,

222

:.EF=2EH=3y/3，

當(dāng)AF=E尸時，如圖2,

過點A作AN_LCD于N,過點F作FM_LAB于M，

ME

B

DMF，

圖2

在平行四邊形ABC。中，AB=6,BC=4,NA=120。,

AD=BC=4,ZADC=60°,

NDAN=30°,

:.DN=^AD=2,AN=43DN=2x/3>

ABI/CD,ANVCD,FMA.AB,

:.AN=MF=2后，

AF=EF,FMAB,

3

.-.AM=ME=-,

2

EF=X/ME2+MF2=J12+-=—；

V42

當(dāng)AE=EF=3時，如圖3,

??.EF=3,

綜上所述：E『的長為3右或3或避7.

2

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問

題是本題的關(guān)鍵.

15.①②④⑤

【分析】

根據(jù)ZB=90。，AB=BE,AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得到AAHD,可得AABEmAAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可證AD〃BC,根據(jù)DCLBC,可得NHDE=NCDE,根

據(jù)三角形的內(nèi)角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正確；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四邊形ABCD是矩形，有NADC=90。，NHDC=45°,由

①有DE平分NHDC,得/HDO=22.5°,可得/AHB=67.5°,ZDHO=22.5°,可證OD=OH,

利用AE=AD易證NOHE=/HEO=67.5°,則有OE=OH,OD=OE,所以②正確；

利用AAS證明ADHEmADCE,則有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5",易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,則ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDwHF,所以③錯誤；

根據(jù)aABE是等腰直角三角形，川_LJE,：J是BC的中點，H是BF的中點，得到2JH=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易證BC-CF=2CE,所以④正確：

過H作HJJ_BC于J,并延長HJ交AD于點I,得LI_LAD,I是AD的中點，J是BC的中點,

H是BF的中點，所以⑤正確；

【詳解】

VRtAABE41.ZB=90",AB=BE,

NBAE=NBEA=45°,

又?.,將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得到AAHD,

.,.△ABE=AAHD,并且AABE和AAHD都是等腰直角三角形，

NEAD=45°,AE=AD,ZAHD=90°,

AZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=45°+45°=90°,

；.AD〃BC,

.\ZADE=ZDEC,

；./AED=NDEC,

XVDC1BC,

，/DCE=NDHE=90°

...由三角形的內(nèi)角和可得NHDE=NCDE,

即：DE平分/HDC,所以①正確：

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

四邊形ABCD是矩形，

AZADC=90°,

；./HDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

11

ZHDO=—NHDC=-X45°=22.5°,

22

：/BAE=45°,AB=AH,

AZOHE=ZAHB=y(180--ZBAE)=x(180o-45o)=67.5°,

AZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.50=22.5°,

.\OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

ZAED=；(180°-ZEAD)=；x(180o-45o)=67.5o,

.,.ZOHE=ZHEO=67.5°,

；.OE=OH,

.?.OD=OE,所以②正確；

在ADHE和ZiDCE中，

ZDHE=ZDCE

NHDE=ZCDE,

DE=DE

.\ADHE=ADCE(AAS),

1

，DH=DC,/HDE=NCDE=—x45°=22.5",

2

VOD=OH,

，NDHF=22.5°,

NDFH=180°-NHDF-NDHF=180°-45°-22.5°=112.5°,

ADHF不是直角三角形，并DHKHF,

即有：CDXHF,所以③不正確；

如圖，過H作HJ_LBC于J,并延長HJ交AD于點I,

1?△ABE是等腰直角三角形,JH±JE,

；.JH=JE,

又是BC的中點，H是BF的中點，

；.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

，2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正確；

VAD//BC,

IJ1AD,

又???△AHD是等腰直角三角形，

二1是AD的中點，

?.?四邊形ABCD是矩形,HJ1BC,

AJ是BC的中點，

，H是BF的中點，所以⑤正確；

綜上所述，正確的有①②④⑤，

故答案為：①②④⑤.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

16.V19

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得0C垂直平分BD,從而可得DP=BP,再根據(jù)兩點之間線段最短

可得EP+BP的最小值為DE,然后利用等邊三角形的判定與性質(zhì)求出點D的坐標(biāo)，最后

利用兩點之間的距離公式即可得.

【詳解】

如圖，連接BP、DP、EP、DE、BD,過點D作D4J.于點A,

B(2A/3,0).

OB=26，

四邊形ABCD是菱形，

.?.。。垂直平分8。，OB=OD=2g，

點P是對角線oc上的點，

:.DP=BP，

：.EP+BP=EP+DP,

由兩點之間線段最短可知，EP+OP的最小值為DE,即EP+8P的最小值為DE,

OB=OD,ZDOB=60°,

：.80。是等邊三角形，

DA±OB,

：OA=；OB=6,AD=\IOD2-OA2=7(2V3)2-(V3)2=3-

/.￡>(G,3),

又￡(0,-1),

/.DE="(百-0)2+(3+1)2=曬，

即EP+BP的最小值為V19，

故答案為：V19.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間的距離公式等知識點，根據(jù)

兩點之間線段最短得出EP+BP的最小值為DE是解題關(guān)鍵.

17.①②④

【分析】

①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可判斷：

②延長EF,交CD延長線于點M,首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，得

出FE=MF,ZAEF=ZM,進(jìn)而得出NECD=ZAEC=90°,從而利用直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)即可判斷；

③由尸￡=得出SVEFC=SVCF”，從而可判斷正誤；

④設(shè)NbEC=尤，利用三角形內(nèi)角和定理分別表示出NDFE和NAEF,從而判斷正誤.

【詳解】

①??,點F是AD的中點，

，AF=FD.

?.,在平行四邊形ABCD中,AD=2AB,

AD//BC,AF=FD=CD,

ZDFC=ZFCB,ADFC=ZDCF,

ZFCB=ZDCF,

.?.NBCD=2NDCF,故①正確；

②延長EF,交CD延長線于點M,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AB//CD,

.-.Z4=ZMDF,

?.?點F是AD的中點，

AF=FD.

Z=AFDM

在AEE和DFM中,<AF^DF

NAFE=NDFM

.-.△A￡F=ADfM(ASA)

:.FE=MF,ZAEF=ZM.

CEA.AB,

:.ZAEC=90°,

NEC。=NAEC=90。，

:.CF=LEM=EF,故②正確；

2

③,：FE=MF,

,,S'EFC~Sy/CFM'

S&CFM=S&CDF+S9fDF

'''SfDF<S&EFC，故③錯誤；

④設(shè)NFEC=x,則ZFCE=x,

:.ZDCF=ZDFC=9(r-x,

:.ZEFC=\S(r-2x,

.-.ZEKD=900-A:+180O-2X=270O-3X.

QZAEF=90P-x,

:.ZDFE=3ZAEF,故④正確；

綜上所述，正確的有①②④，

故答案為：①②④.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握這

些性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

120

18.—

13

【分析】

設(shè)MN與BC交于點。,連接A。，過點。作。于H點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾

股定理可求A。和。H長，若MN最小,則M。最小即可，而。點到AC的最短距離為

長，所以MN最小值是20H.

【詳解】

解：設(shè)MN與BC交于點。，連接A。，過點。作于”點，

四邊形MCNB是平行四邊形,

二。為8c中點，MN=2M0.

'：AB=AC=13,fiC=10,

：.AO±BC.

在RtzXAOC中，利用勾股定理可得

AO=ylAC2-CO2=7132-52=12?

利用面積法：AOXCO=ACXOH,

即12X5=13X0”,解得。H=竺.

13

當(dāng)仞。最小時，則MN就最小，。點到AC的最短距離為。”長,

所以當(dāng)M點與，點重合時，M。最小值為。H長是”.

13

所以此時MN最小值為2?！?—.

13

a120

故答案為：——.

13

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是分析出點到某線段的垂線段最短，由此進(jìn)行轉(zhuǎn)化線段，動中找靜.

19.20

【分析】

由正方形ABCD的邊長為4,得出AB=BC=4,NB=90°,得出AC=4后，當(dāng)P與D重合

時，PC=ED=PA,即G與A重合，則EG的中點為D,即F與D重合，當(dāng)點P從D點運動到

A點時，則點F運動的路徑為DF,由D是AE的中點，F(xiàn)是EG的中點，得出DF是4EAG

的中位線，證得NFDA=45°,則F為正方形ABCD的對角線的交點，CF1DF,此時CF最

小，此時CF=；AG=2血.

【詳解】

解：連接FD

,/正方形ABCD的邊長為4,

；.AB=BC=4,ZB=90°,

??AC=4-^2，

當(dāng)P與D重合時，PC=ED=PA,即G與A重合，

；.EG的中點為D,即F與D重合，

當(dāng)點P從D點運動到A