山西省運(yùn)城市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

山西省運(yùn)城市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號(hào)：___________一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．2．若集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上下底面邊長為、，側(cè)棱長為，則棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．5．已知，若，則（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個(gè)問題中，以一個(gè)月天計(jì)算，記此人第日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前項(xiàng)和為.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．定義在上的函數(shù)滿足，，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，則（

）A．若，則B．若，則C．若與夾角為銳角，則且D．10．已知，，且，則（

）A． B．C． D．11．已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．為等比數(shù)列C． D．12．如圖，棱長為的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則（

）A．直線平面B．C．過，，三點(diǎn)的平面截正方體的截面面積為D．三棱錐的外接球半徑為三、填空題13．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.14．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為.15．已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有最值，則的取值范圍是.16．已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為.四、解答題17．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(1)求證：函數(shù)為奇函數(shù).(2)將的圖象向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，得到的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間.18．已知遞增的等差數(shù)列滿足，且是與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，證明數(shù)列的前項(xiàng)和.19．在中，，，分別為角，，所對的邊，為的面積，且．（I）求角的大小；（II）若，，為的中點(diǎn)，且，求的值．20．如圖①，在等腰梯形中，,分別為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體．在圖②中：

(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．21．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為：，函數(shù)在點(diǎn)處的切線為：.(1)若，均過原點(diǎn)，求這兩條切線斜率之間的等量關(guān)系.(2)當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)的最大值記為m，證明：.22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：1．C【分析】根據(jù)的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】，所以的虛部為.故選：C.2．C【分析】先求出集合，進(jìn)而根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C.3．A【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合向量夾角的運(yùn)算，求解即可.【詳解】依題意，在方向上的投影向量為：，又因?yàn)椋?，代入上式，所以在方向上的投影向量為?故選：A.4．D【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的概念可知四邊形為等腰梯形，進(jìn)而可得四棱臺(tái)的高，即可求得體積.【詳解】如圖所示，由正四棱臺(tái)可知，四邊形為等腰梯形，且，，，所以，所以，故選：D.5．B【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可解題.【詳解】，若，則，所以，又因?yàn)?，則，所以.故選：B.6．C【分析】依題意，求出導(dǎo)函數(shù)，可求得極值點(diǎn)分別為或，再分類討論，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極小值的定義，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，令，解得：或，當(dāng)時(shí)，即，令，解得：，令，解得：，此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即，則恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即，令，解得：，令，解得：，此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，符合題意.故選：C.7．D【分析】由等比數(shù)列的定義寫出通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，將問題化為恒成立，應(yīng)用基本不等式求右側(cè)最小值，注意取值條件，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，故，，所以，即，，，所以恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，時(shí)；綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D8．D【分析】由已知可得函數(shù)為奇函數(shù)、周期函數(shù)，計(jì)算出、、，再利用周期性可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以的周期為，且，可得，再由可得，，，，又，所以，所以為奇函?shù)，所以，因?yàn)?，所以，，，所?故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是由已知得出函數(shù)為奇函數(shù)、周期函數(shù).9．ACD【分析】對于A，根據(jù)兩向量垂直時(shí)，數(shù)量積為零判斷即可；對于B，根據(jù)兩向量平行時(shí)，由判斷即可；對于C，根據(jù)兩向量夾角為銳角時(shí)，其數(shù)量積大于零判斷即可；對于D，根據(jù)向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】對于A，若，則，解得，故A正確；對于B，若，則，解得或，故B錯(cuò)誤；對于C，若與夾角為銳角，則，即，且，解得且，故C正確；對于D，因?yàn)?，故D正確.故選：ACD.10．BC【分析】由可得，進(jìn)而利用消元法結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷A；根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷B；利用基本不等式結(jié)合對數(shù)運(yùn)算、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利用消元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對于A，由，得，即，則，故A錯(cuò)誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對于C，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，故C正確；對于D，，由A知，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．AD【分析】利用遞推公式求出可判斷A；由可判斷B；由，利用等比數(shù)列的求和公式可判斷C；由遞推公式可得，再由由累加法可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，，則，，則，，則，故A正確；對于B，，所以，，所以，，故不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，由可得，由，兩式相減可得：，所以，，，……，，上式相加可得：，，又因?yàn)椋?，故D正確.故選：AD.12．ABD【分析】對于A，根據(jù)，利用線面平行的判定定理即可證明；對于B，通過平面，得到，同理得到，進(jìn)而可得平面，再根據(jù)錐體得體積公式即可判斷；對于C，首先得到截面圖象，求出面積即可；對于D，由B選項(xiàng)可知，平面，且過外接圓的圓心，則三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)球心為點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出圓心坐標(biāo)，即可得出半徑.【詳解】對于A，如下圖，連接,因?yàn)辄c(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則,又，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，如下圖：連接交平面于點(diǎn)，連接，正方體中易知，平面，平面,則，又正方形中，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證：，又平面，所以平面，易得,故四面體為正四面體，為的重心，又棱長為1，所以，則則，故B正確；對于C，如圖所示，由A選項(xiàng)可知等腰梯形即為所求截面，又，則高為,所以，故C錯(cuò)誤；對于D，由B選項(xiàng)可知，平面，且過外接圓的圓心，則三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)球心為點(diǎn)，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，由，得，解得，所以三棱錐的外接球半徑為，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.13．【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，計(jì)算即可.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得：，所以，所以.故答案為：.14．【分析】根據(jù)題意，由條件可得復(fù)數(shù)表示以為圓心，1為半徑的圓，然后再結(jié)合其幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，∵，∴，表示以為圓心，1為半徑的圓，∴，表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，∴的最小值為.故答案為：.15．【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，由函數(shù)在上單調(diào)列式求解作答.【詳解】因?yàn)?，函?shù)的單調(diào)區(qū)間為，由，而，得，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，于是，則，解得，由，且，解得，又，從而或，當(dāng)時(shí)，得，又，即有，當(dāng)時(shí)，得，所以的取值范圍是.故答案為：.16．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)零點(diǎn)的定義分析運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題意，，，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，故.∵，且當(dāng)時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn).如上圖，當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則由解得：，則.如上圖，由與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)知，解得：，∴實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法：1.利用零點(diǎn)的個(gè)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)建不等式求解.2.轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.3.分離參數(shù)（）后，將原問題轉(zhuǎn)化為的值域（最值）問題或轉(zhuǎn)化為直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題（優(yōu)選分離、次選分類）求解.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用函數(shù)圖象關(guān)于對稱，求，進(jìn)而得到函數(shù)解析式，從而證明；（2）由函數(shù)圖象的變換規(guī)律，得到的解析式，即可求出單調(diào)增區(qū)間.【詳解】（1）因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，所以，得，，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以，所以，因?yàn)?，所以為奇函?shù)成立.（2）由（1）可得：，將的圖象向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，則由可得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的等比中項(xiàng)求解，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減，計(jì)算數(shù)列的前項(xiàng)和，根據(jù)判斷大小.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題可知，因?yàn)?，所以，又是與的等比中項(xiàng)，所以，即，得或（舍去），所以.（2）由（1）知：所以數(shù)列的前項(xiàng)和①①得：②兩式相減得：，化簡得：.因?yàn)?，所以，所?19．（I）；（II）．【分析】（I）利用正余弦定理及面積公式，代入對應(yīng)公式得，解得，（II）為的中點(diǎn)，利用向量，再根據(jù)余弦定理得，解得，，最后根據(jù)正弦定理可得解.【詳解】（I）由已知得，∴.即.∴.又∵，，（II）由得：，又∵為的中點(diǎn)，∴，，∴，即.又∵，∴.又∵，∴，，∴.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)折疊前后垂直的關(guān)系不變可得，由線面垂直的判定定理可得平面，由線面垂直性質(zhì)可得；（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)可知以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的空間向量求法可得平面與平面夾角的余弦值為.【詳解】（1）由題意知在等腰梯形中，，又分別為的中點(diǎn)，所以，即折疊后，，所以平面，又平面，所以．（2）∵平面平面，平面平面，且，所以平面，平面,，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，所以，則設(shè)平面的法向量，則，取，則，得；

設(shè)平面的法向量則，取，則，可得，，由圖易知平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為．21．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合點(diǎn)斜式求解切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)即可求解；（2）構(gòu)造，求導(dǎo)確定單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由題可得，，：，：，因?yàn)榫^原點(diǎn)，所以，因?yàn)榫^原點(diǎn)，所以，所以.（2）由題，，記，，記，在單調(diào)遞減，且，，使得，即，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，∵，又∵，故得證.22．(1)答案見解析(2)【分析】含參數(shù)的單調(diào)性討論問題，求導(dǎo)后分情況討論根的個(gè)數(shù)與大小即可.指對同構(gòu)問題，將所求不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)，再利用單調(diào)性求解.【詳解】（1）的定義域是，令當(dāng)時(shí)，∵，∴∴，∴在單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，若，即時(shí)，，∴，∴在單調(diào)遞減若，即時(shí)，令，解得，，易得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜