n維向量組課件

n維向量組課件匯報(bào)人：AA2024-01-24n維向量組基本概念n維向量空間向量組內(nèi)積與正交性線性方程組解結(jié)構(gòu)特征值與特征向量二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形目錄01n維向量組基本概念n維向量的定義：n個(gè)有次序的數(shù)$a_1,a_2,\ldots,a_n$所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量，第i個(gè)數(shù)$a_i$稱為第i個(gè)分量。n維向量定義與性質(zhì)n維向量的性質(zhì)向量的加法滿足交換律和結(jié)合律。向量的數(shù)乘滿足分配律和結(jié)合律。n維向量定義與性質(zhì)0102n維向量定義與性質(zhì)向量與自己的相反向量相加等于零向量。零向量與任何向量相加等于原向量。給定向量組$A:a_1,a_2,ldots,a_m$，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$，表達(dá)式$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m$稱為向量組A的一個(gè)線性組合，$k_1,k_2,ldots,k_m$稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。線性組合給定向量組$A:a_1,a_2,ldots,a_m$和向量$b$，如果存在一組數(shù)$lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_m$使得$b=lambda_1a_1+lambda_2a_2+ldots+lambda_ma_m$，則稱向量$b$能由向量組A線性表示。線性表示向量組線性組合與線性表示等價(jià)性設(shè)有兩個(gè)n維向量組$A:a_1,a_2,ldots,a_m$和$B:b_1,b_2,ldots,b_l$，若B中的每個(gè)向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A和向量組B能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。秩在n維向量空間中，一個(gè)向量組的秩是其最大線性無關(guān)組的向量個(gè)數(shù)。一個(gè)向量組的秩反映了該向量組的“有效”向量的數(shù)量，也即該向量組所張成的空間的維度。向量組等價(jià)性與秩02n維向量空間01定義n維向量空間是n個(gè)實(shí)數(shù)域上的線性空間，其元素稱為n維向量。02加法封閉性任意兩個(gè)n維向量的和仍為n維向量。03數(shù)乘封閉性任意實(shí)數(shù)與n維向量的乘積仍為n維向量。04加法交換律與結(jié)合律向量的加法滿足交換律和結(jié)合律。05數(shù)乘分配律實(shí)數(shù)與向量的乘法滿足分配律。06存在零元與負(fù)元存在零向量，且每個(gè)向量都有負(fù)向量。n維向量空間定義與性質(zhì)n維向量空間的一個(gè)子集，若它對(duì)于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成線性空間，則稱該子集為子空間。子空間基維數(shù)n維向量空間的一個(gè)極大線性無關(guān)組稱為該空間的基。基的個(gè)數(shù)稱為空間的維數(shù)。n維向量空間的維數(shù)等于其基的個(gè)數(shù)，記為dimV。030201子空間與基、維數(shù)設(shè)α1,α2,...,αn是n維向量空間V的一個(gè)基，對(duì)于V中任意向量α，存在唯一一組實(shí)數(shù)k1,k2,...,kn，使得α=k1α1+k2α2+...+knαn，這組實(shí)數(shù)稱為α在基α1,α2,...,αn下的坐標(biāo)。向量在基下的坐標(biāo)設(shè)α1,α2,...,αn和β1,β2,...,βn是n維向量空間V的兩個(gè)基，且存在可逆矩陣P，使得(β1,β2,...,βn)=(α1,α2,...,αn)P，則向量α在這兩組基下的坐標(biāo)滿足變換關(guān)系Xβ=PXα，其中Xβ和Xα分別為α在β基和α基下的坐標(biāo)列向量。坐標(biāo)變換向量在基下坐標(biāo)及坐標(biāo)變換03向量組內(nèi)積與正交性0102內(nèi)積定義對(duì)于n維向量空間中的任意兩個(gè)向量$alpha=(a_1,a_2,ldots,a_n)$和$beta=(b_1,b_2,ldots,b_n)$，它們的內(nèi)積定義為$langlealpha,betarangle=a_1b_1+a_2b_2+ldots+a_nb_n$。內(nèi)積性質(zhì)內(nèi)積滿足以下性質(zhì)對(duì)稱性$langlealpha,betarangle=langlebeta,alpharangle$線性性$langlekalpha+lambdabeta,gammarangle=klanglealpha,gammarangle+lambdalanglebeta,gammarangle$非負(fù)性$langlealpha,alpharanglegeq0$，當(dāng)且僅當(dāng)$alpha=0$時(shí)取等號(hào)。030405內(nèi)積定義及性質(zhì)如果向量組中的任意兩個(gè)不同向量都正交，即$langlealpha_i,alpha_jrangle=0$（$ineqj$），則稱該向量組為正交向量組。在n維向量空間中，由n個(gè)線性無關(guān)的正交向量組成的向量組稱為正交基。如果正交基中每個(gè)向量的模都為1，則稱該正交基為標(biāo)準(zhǔn)正交基。正交向量組與正交基正交基正交向量組施密特正交化方法：給定一個(gè)線性無關(guān)的向量組，可以通過施密特正交化方法將其轉(zhuǎn)化為正交基。具體步驟如下選取向量組中的一個(gè)向量作為第一個(gè)正交向量。對(duì)于向量組中的其他向量，依次進(jìn)行如下操作：將當(dāng)前向量投影到已選取的正交向量上，并求出投影向量。然后用當(dāng)前向量減去投影向量，得到一個(gè)新的向量。將這個(gè)新向量單位化，得到下一個(gè)正交向量。重復(fù)上述步驟，直到得到與向量組維數(shù)相同的正交向量組。這個(gè)正交向量組就是原向量組的正交基。施密特正交化過程04線性方程組解結(jié)構(gòu)

齊次線性方程組解結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的解集構(gòu)成一個(gè)向量空間，其極大線性無關(guān)組稱為基礎(chǔ)解系。解的性質(zhì)若$x_1,x_2$是齊次線性方程組的解，則$k_1x_1+k_2x_2$（$k_1,k_2$為任意常數(shù)）也是該方程組的解。解空間的維數(shù)對(duì)于$n$元齊次線性方程組，若其系數(shù)矩陣的秩為$r$，則解空間的維數(shù)為$n-r$。非齊次線性方程組的解可以表示為一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系的線性組合之和。特解與通解當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式不為零時(shí)，非齊次線性方程組有唯一解；當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式為零時(shí)，方程組可能無解或有無窮多解。解的存在性與唯一性若$x_0$是非齊次線性方程組的特解，$x_1,x_2$是對(duì)應(yīng)齊次方程組的解，則$x_0+k_1x_1+k_2x_2$（$k_1,k_2$為任意常數(shù)）也是非齊次方程組的解。解的性質(zhì)非齊次線性方程組解結(jié)構(gòu)向量組的線性表示若向量組$A:a_1,a_2,ldots,a_m$能由向量組$B:b_1,b_2,ldots,b_n$線性表示，則存在一組數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_n$使得$a_i=k_1b_1+k_2b_2+ldots+k_nb_n$，對(duì)任意$i=1,2,ldots,m$成立。向量組的等價(jià)若兩個(gè)向量組可以互相線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。方程組解的判定對(duì)于$n$元線性方程組，若其增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，則方程組有解；若增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩，則方程組無解。方程組解與向量組關(guān)系05特征值與特征向量特征值定義設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ是A的特征值，x是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。特征向量計(jì)算求解特征多項(xiàng)式|A-λE|=0，得到特征值λ，將λ代入(A-λE)x=0求解基礎(chǔ)解系，得到特征向量。特征值與特征向量定義及計(jì)算設(shè)A是n階方陣，則|A-λE|稱為A的特征多項(xiàng)式。特征多項(xiàng)式定義特征多項(xiàng)式是一個(gè)n次多項(xiàng)式，其根為特征值；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；k重特征值至多對(duì)應(yīng)k個(gè)線性無關(guān)的特征向量。特征多項(xiàng)式的性質(zhì)特征多項(xiàng)式及性質(zhì)相似矩陣及對(duì)角化條件相似矩陣定義設(shè)A、B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B，則稱A與B相似。對(duì)角化條件n階矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。如果A有n個(gè)不同的特征值，則A一定可以對(duì)角化；如果A有重根，則需要判斷其是否滿足對(duì)角化條件。06二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型定義二次型是n個(gè)變量的二次多項(xiàng)式，其一般形式為$f(x_1,x_2,...,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$為常數(shù)，且$a_{ij}=a_{ji}$。矩陣表示二次型可以表示為矩陣形式$f=X^TAX$，其中$X=[x_1,x_2,...,x_n]^T$是列向量，$A=[a_{ij}]$是對(duì)稱矩陣。二次型定義及矩陣表示標(biāo)準(zhǔn)形通過正交變換，二次型可以化為標(biāo)準(zhǔn)形$f=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+...+lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$是$A$的特征值。在標(biāo)準(zhǔn)形的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，可以得到規(guī)范形$f=z_1^2+z_2^2+...+z_p^2-z_{p+1}^2-...-z_q^2$，其中$p$是正特征值的個(gè)數(shù)，$q$是負(fù)特征值的個(gè)數(shù)。求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，通常需要先求出矩陣$A$的特征值和特征向量，然后通過正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，最后通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q得到規(guī)范形。規(guī)范形求