2024年高考數(shù)學重難點突破講義：2021全國乙卷（文）

第1頁/共1頁絕密★啟用前河南省2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學注意事項:1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得：，則.2.設，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得：.3.已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、、為假命題.4.函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（）A.和 B.和2 C.和 D.和2【答案】C【解析】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.5.若滿足約束條件則的最小值為（）A.18 B.10 C.6 D.4【答案】C【解析】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點,轉換目標函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結合可得當直線過點時,取最小值，此時.6.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，.7.在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設“區(qū)間隨機取1個數(shù)”，對應集合為：，區(qū)間長度為，“取到的數(shù)小于”，對應集合為：，區(qū)間長度為，所以．8.下列函數(shù)中最小值為4的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當，，D不符合題意．9.設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).10.在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.11.設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】設點，因為，，所以，而，所以當時，的最大值為．12.設，若為函數(shù)的極大值點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若，則為單調函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，若，則_________．【答案】【解析】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.14.雙曲線的右焦點到直線的距離為________．【答案】【解析】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.15.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【解析】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．【答案】③④（或②⑤，答案不唯一）【解析】選擇側視圖為③，俯視圖為④，如圖所示，長方體中，，分別為棱的中點，則正視圖①，側視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐;則正視圖①，側視圖②，俯視圖⑤對應的幾何體為三棱錐;

三、解答題．共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．【解析】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.

18.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【解析】（1）因為底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因為，所以，即．故四棱錐的體積．[方法二]：平面直角坐標系垂直垂直法由（2）知,所以．建立如圖所示的平面直角坐標系，設．因為，所以，，，．從而．所以，即．下同方法一.[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標系法建立如圖所示的空間直角坐標系，設，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空間向量法由，得．所以．即．又底面，在平面內，因此，所以．所以，由于四邊形是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得，即．所以，即．下同方法一.19.設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．【解析】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設，⑧則．⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構造裂項法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導函數(shù)法設，由于，則．又，所以，下同方法二．20.已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【解析】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點的軌跡方程為，所以直線的斜率，當時，；當時，，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結合法同方法一得到點Q的軌跡方程為．設直線的方程為，則當直線與拋物線相切時，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點Q的軌跡方程為．設直線的斜率為k，則．令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設．因為，所以．于是，所以則直線的斜率為．當且僅當，即時等號成立，所以直線斜率的最大值為．21.已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導函數(shù)的判別式，當時，在R上單調遞增，當時，解為：，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增；綜上可得：當時，在R上單調遞增，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.（二）選考題:共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做．則按所做的第一題計分．[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1．（1）寫出的一個參數(shù)方程;（2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．【解析】（1）由題意，的普通方程為，所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）（2）[方法一]：直角坐標系方法①當直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離為，故舍去．②當切線斜率存在時，設其方程為，即．故，即，解得．所以切線方程為或．兩條切線的極坐標方程分別為和．即和．[方法二]【最優(yōu)解】：定義求斜率法如圖所示，過點F作的兩條切線，切點分別為A，B．在中，，又軸，所以兩條切線的斜率分別和．故切線的方程為，，這兩條切線的極坐標方程為和．即和．[選修4—5:不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【解析】（1）[方法一]：絕對值的幾何意義法當時，，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于，當或時所對應的數(shù)軸上的點到所對應的點距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對應的點距離之和等于大于等于6得到所對應的坐標的范圍是或，所以解集為.[方法二]【最優(yōu)解】：零點分段求解法當時，．當時，，解得；當時，，無解；當時，，解得．綜上，的解集為．（2）[方法一]：