2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破講義：2022全國乙卷（理）

絕密★啟用前2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理科）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合M滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知,對比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤2.已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（）A. B.C.D.【答案】A【解析】由,得,即3.已知向量滿足，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴4.嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，得到，同理，可得，又因?yàn)椋?，；以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.5.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.6.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】執(zhí)行第一次循環(huán)，，，；執(zhí)行第二次循環(huán)，，，；執(zhí)行第三次循環(huán)，，，，此時(shí)輸出.7.在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】A【解析】在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)BCD解法一：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，選項(xiàng)BCD解法二：解：對于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點(diǎn)，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.8.已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.9.已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.10.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（）A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【答案】D【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?，則此時(shí)連勝兩盤的概率為則；記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.11.雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，若分別在左右支，因?yàn)椋?，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故.12.已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對稱，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，所以?因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)?，所?所以.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為____________．【答案】【解析】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率14.過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為____________．【答案】或或或；【解析】依題意設(shè)圓的方程為，若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或；15.記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為____________．【答案】【解析】因?yàn)?，（，）所以最小正周期，因?yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí).16.已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【解析】，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，與前面矛盾，故不符合題意，若時(shí)，則方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∵,∴函數(shù)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又∵,∴的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關(guān)于軸作對稱變換，然后將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的倍得到，如圖所示：設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.三、解答題：共0分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長．【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以；?）因?yàn)?，由?）得，

由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.18.如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【解析】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)椋?，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.19.某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【解析】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）則（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為20.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點(diǎn).②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng)當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減有而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．（1