山西省呂梁市泰化中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

山西省呂梁市泰化中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．小趙、小錢、小孫、小李到個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件“個人去的景點彼此互不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則（）A． B． C． D．2．參數(shù)方程x=2t，A． B． C． D．3．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A． B．C． D．4．在《九章算術(shù)）方田章圓田術(shù)（劉徽注）中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至不能割，則與圓周合體而無所失矣．”注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值，這可以通過方程確定出來，類似地，可得的值為（）A． B． C． D．5．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)產(chǎn)品過程中的記錄的產(chǎn)量與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如圖：根據(jù)下表數(shù)據(jù)可得回歸方程，那么表中的值為（）A． B． C． D．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步證明由到時，左邊應(yīng)加（）A． B． C． D．7．過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，若，則（）A． B．1 C． D．28．已知均為實數(shù)，若（為虛數(shù)單位），則（）A．0 B．1 C．2 D．-19．已知函數(shù)，則A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)10．曲線在點處的切線方程為（）A． B． C． D．11．命題的否定是（）A． B．C． D．12．下列命題是真命題的是（）A．，B．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件C．“”是“”的充分不必要條件D．的充要條件是二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若，則的值是_____.14．?dāng)?shù)列的通項公式是，若前項和為20，則項數(shù)為__________.15．在的展開式中系數(shù)之和為______________.(結(jié)果用數(shù)值表示)16．命題“使得”是______命題.（選填“真”或“假”）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求使對恒成立的的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)()=In(1+)-+(≥0)．(Ⅰ)當(dāng)=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；(Ⅱ)求()的單調(diào)區(qū)間．19．（12分）已知復(fù)數(shù)z滿足z=﹣1．（1）求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)；（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求實數(shù)a的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值．21．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.22．（10分）設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若對所有的，都有，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4

個人去的景點不相同的概率，求出相應(yīng)基本事件的個數(shù)，即可得出結(jié)論．詳解：小趙獨自去一個景點，則有3個景點可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可能性為種

所以小趙獨自去一個景點的可能性為種

因為4

個人去的景點不相同的可能性為種，

所以．

故選：D．點睛：本題考查條件概率，考查學(xué)生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關(guān)鍵．2、D【解題分析】

由x=2t，得t=2x，代入y=2【題目詳解】由題意知x≠0，將t=2x代入y=解得y24-x22=1，因為【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程化普通方程一般有以下幾種消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。消參時要注意參數(shù)本身的范圍，從而得出相關(guān)變量的取值范圍。3、D【解題分析】

由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個交點為頂點的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).4、B【解題分析】

設(shè)，可得，求解即可.【題目詳解】設(shè)，則，即，解得，取.故選B.【題目點撥】本題考查了類比推理，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

計算出、，將點的坐標(biāo)代入回歸直線方程可求出的值.【題目詳解】由題意得，，由于回歸直線過樣本的中心點，所以，，解得，故選：D.【題目點撥】本題考查回歸直線方程的應(yīng)用，解題時要熟悉回歸直線過樣本中心點這一結(jié)論的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

當(dāng)成立，當(dāng)時，寫出對應(yīng)的關(guān)系式，觀察計算即可得答案.【題目詳解】在第二步證明時，假設(shè)時成立，即左側(cè)，則成立時，左側(cè)，左邊增加的項數(shù)是，故選：D．【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查到成立時左邊項數(shù)的變化情況，考查理解與應(yīng)用的能力，屬于中檔題．7、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出A的坐標(biāo)，然后求出AF的方程求出B點的橫坐標(biāo)即可得到結(jié)論．【題目詳解】拋物線的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為，設(shè)A（x，y），則，故x=4，此時y=4，即A（4，4），則直線AF的方程為，即，代入得，解得x=4（舍）或，則，故選：C．【題目點撥】本題主要考查拋物線的弦長的計算，根據(jù)拋物線的定義是解決本題的關(guān)鍵．一般和拋物線有關(guān)的小題，可以應(yīng)用結(jié)論來處理；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化。8、C【解題分析】

將已知等式整理為，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：，即：則：本題正確選項：【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)相等的定義，涉及簡單的復(fù)數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】分析：討論函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域為，且即函數(shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)．故選A.點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

求導(dǎo)，把分別代入導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)，得到斜率和切點，再計算切線方程.【題目詳解】將代入導(dǎo)函數(shù)方程，得到將代入曲線方程，得到切點為：切線方程為：故答案選C【題目點撥】本題考查了曲線的切線，意在考查學(xué)生的計算能力.11、B【解題分析】試題分析：全稱命題的否定是特稱命題，所以：，故選B.考點：1.全稱命題；2.特稱命題.12、B【解題分析】

取特殊值來判斷A選項中命題的正誤，取特殊數(shù)列來判斷B選項中命題的正誤，求出不等式，利用集合包含關(guān)系來判斷C選項命題的正誤，取特殊向量來說明D選項中命題的正誤．【題目詳解】對于A選項，當(dāng)時，，所以，A選項中的命題錯誤；對于B選項，若，則等比數(shù)列的公比為，但數(shù)列是遞減數(shù)列，若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，公比為，所以，“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，B選項中的命題正確；對于C選項，解不等式，得或，由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件，C選項中的命題錯誤；對于D選項，當(dāng)時，，但與不一定垂直，所以，D選項中的命題錯誤．故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

當(dāng)時，，求出；當(dāng)時，無解.從而，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解：由時，是減函數(shù)可知，當(dāng)，則，所以，由得，解得，則.故答案為：.【題目點撥】本題考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、440【解題分析】

由數(shù)列的通項公式可得：,則：，結(jié)合前n項和的結(jié)果有：，解得：.點睛：使用裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．15、1【解題分析】

令求解展開式的系數(shù)和即可.【題目詳解】令可得展開式的系數(shù)和為：.故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查二項式展開式的系數(shù)和的計算，屬于基礎(chǔ)題.16、真.【解題分析】分析：存在命題只需驗證存在即可.詳解：由題可知：令x=0，則符合題意故原命題是真命題.點睛：考查存在性命題的真假判斷，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

(1)求導(dǎo)后得,再對分三種情況討論可得;(2)先由,解得,從而由(1)可得在上為增函數(shù),再將恒成立轉(zhuǎn)化為可解得.【題目詳解】（1）因為，其中，所以.所以，時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由題意得，即.由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，要使對恒成立.只要解得.故的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,屬中檔題.18、（I）（II）見解析【解題分析】

（I）（II）當(dāng)時，得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時，得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時得單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時，得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是19、（1）（2）﹣1≤a≤0【解題分析】

（1）利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出；（2）利用復(fù)數(shù)模的計算公式、一元二次不等式的解法即可得出．【題目詳解】解：（1），．（2），，，，則，，，所以，實數(shù)的取值范圍是：．【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的計算公式、一元二次不等式的解法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）;（2）11,-1【解題分析】

(1).令,解此不等式，得x<-1或x>1,因此，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.(2)令,得或.-當(dāng)變化時，，變化狀態(tài)如下表：

-2

-1

1

2

+

0

-

0

+

-1

11

-1

11

從表中可以看出，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.當(dāng)時，函數(shù)取得最大值11.21、（1）（2）【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點：正余弦定理解三角形.22、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）令，求導(dǎo)得單調(diào)性，進(jìn)而得，從而得證；（Ⅱ）記求兩次導(dǎo)得在遞增，又，進(jìn)而討論的正負(fù)，從而得原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求最值.試題解析：（