2024屆廣西百色市田東中學數(shù)學高二第二學期期末考試模擬試題含解析

2024屆廣西百色市田東中學數(shù)學高二第二學期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．2．某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關系式為，則該生產(chǎn)廠家獲取的最大年利潤為（）A．300萬元 B．252萬元 C．200萬元 D．128萬元3．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．4．若隨機變量服從正態(tài)分布，則（）附：隨機變量，則有如下數(shù)據(jù)：，，.A． B． C． D．5．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質的3塊土地上，不同的種植方法共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種6．若函數(shù)f(x)＝(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則g(x)＝的圖象是()A． B． C． D．7．已知空間三條直線若與異面,且與異面,則（）A．與異面. B．與相交.C．與平行. D．與異面、相交、平行均有可能.8．函數(shù)有（）A．極大值，極小值3 B．極大值6，極小值3C．極大值6，極小值 D．極大值，極小值9．等于()A． B．2 C．-2 D．+210．已知橢圓的左焦點為A． B． C． D．11．設，則的大小關系是A． B． C． D．12．若向量，，則向量與（）A．相交 B．垂直 C．平行 D．以上都不對二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數(shù)滿足，則的實部是_________.14．高二（1）班有男生18人，女生12人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該班的全體同學中抽取一個容量為5的樣本，則抽取的男生人數(shù)為____.15．設，函數(shù)f

是偶函數(shù)，若曲線

的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為______．16．已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，四邊形中，，，，為邊的中點，現(xiàn)將沿折起到達的位置（折起后點記為）．（1）求證：；（2）若為中點，當時，求二面角的余弦值．19．（12分）設集合，其中.（1）寫出集合中的所有元素；（2）設，證明“”的充要條件是“”（3）設集合，設，使得，且，試判斷“”是“”的什么條件并說明理由.20．（12分）已知曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是．（1）寫出的極坐標方程和的直角坐標方程；（2）已知點、的極坐標分別是、，直線與曲線相交于P、Q兩點，射線OP與曲線相交于點A，射線OQ與曲線相交于點B，求的值．21．（12分）已知函數(shù)．(1)若，當時，求證：．(2)若函數(shù)在為增函數(shù)，求的取值范圍.22．（10分）為慶祝黨的98歲生日，某高校組織了“歌頌祖國，緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽．從參加競賽的學生中，隨機抽取40名學生，將其成績分為六段，，，，，，到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值及樣本的中位數(shù)與眾數(shù)；（2）若從競賽成績在與兩個分數(shù)段的學生中隨機選取兩名學生，設這兩名學生的競賽成績之差的絕對值不大于分為事件,求事件發(fā)生的概率.（3）為了激勵同學們的學習熱情,現(xiàn)評出一二三等獎,得分在內(nèi)的為一等獎,得分在內(nèi)的為二等獎,得分在內(nèi)的為三等獎.若將頻率視為概率,現(xiàn)從考生中隨機抽取三名,設為獲得三等獎的人數(shù),求的分布列與數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先假設函數(shù)不存在增區(qū)間，則單調遞減，利用的導數(shù)恒小于零列不等式，將不等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)的取值范圍，再取這個取值范圍的補集，求得題目所求實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調遞減，此時在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時實數(shù)的取值范圍為．故選C.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.2、C【解題分析】

求得函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調性，進而求解函數(shù)的最大值，即可得到答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)，所以，當時，，函數(shù)為單調遞增函數(shù)；當時，，函數(shù)為單調遞減函數(shù)，所以當時，有最大值，此時最大值為200萬元，故選C.【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值問題，其中解答中熟記函數(shù)的導數(shù)在函數(shù)中的應用，準確判定函數(shù)的單調性是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.3、B【解題分析】試題分析：記直線的傾斜角為，∴，故選B.考點：直線的傾斜角.4、B【解題分析】

先將、用、表示，然后利用題中的概率求出的值.【題目詳解】由題意可知，，則，，，因此，，故選B.【題目點撥】本題考查利用正態(tài)分布原則求概率，解題時要將相應的數(shù)用和加以表示，并利用正態(tài)曲線的對稱性列式求解，考查計算能力，屬于中等題.5、B【解題分析】

由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①、先在4種蔬菜品種中選出3種，有種取法，②、將選出的3種蔬菜對應3塊不同土質的土地，有種情況，則不同的種植方法有種；故選：B．【題目點撥】本題考查計數(shù)原理的運用，注意本題問題要先抽取，再排列．6、C【解題分析】本題考查指數(shù)型函數(shù)的奇偶性，單調性；對數(shù)函數(shù)的圖像及圖像的平移變換.因為是奇函數(shù)，所以恒成立，整理得：恒成立，所以則又函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以于是函數(shù)的圖像是由函數(shù)性質平移1個單位得到.故選C7、D【解題分析】解：∵空間三條直線l、m、n．若l與m異面，且l與n異面，∵m與n可能異面（如圖3），也可能平行（圖1），也可能相交（圖2），故選D．8、C【解題分析】

對原函數(shù)求導，通過導函數(shù)判斷函數(shù)的極值，于是得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，故當時，；當時，；當時，.故在處取得極大值；在處取得極小值，故選C.【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)極值，難度不大.9、D【解題分析】∵.故選D10、B【解題分析】

代入得，解得,由此可得三角形ABF為直角三角形．OF=5，即c=5.由橢圓為中心對稱圖形可知當右焦點為時，,【考點定位】本題考查橢圓定義，解三角形相關知識以及橢圓的幾何性質．11、A【解題分析】試題分析：，，即，，．考點：函數(shù)的比較大?。?2、C【解題分析】

根據(jù)向量平行的坐標關系得解.【題目詳解】，所以向量與平行.【題目點撥】本題考查向量平行的坐標表示，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由得出，再利用復數(shù)的除法法則得出的一般形式，可得出復數(shù)的實部.【題目詳解】，，因此，復數(shù)的實部為，故答案為.【題目點撥】本題考查復數(shù)的概念，同時也考查了復數(shù)的除法，解題時要利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)表示為一般形式，考查計算能力，屬于基礎題.14、3【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的比例求得.【題目詳解】由分層抽樣得抽取男生的人數(shù)為5×18故得解.【題目點撥】本題考查分層抽樣，屬于基礎題.15、【解題分析】

先根據(jù)f(x)為偶函數(shù)求得，再由，解得．【題目詳解】由題意可得f(x)=f(-x),即，變形為為任意x時都成立，所以，所以，設切點為，，由于是R上的單調遞增函數(shù)，且．所以．填．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性及由曲線的斜率求切點橫坐標．16、【解題分析】試題分析：當時，，則．又因為為偶函數(shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即．【考點】函數(shù)的奇偶性與解析式，導數(shù)的幾何意義．【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當時，函數(shù)，則當時，求函數(shù)的解析式”．有如下結論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當a≤0，在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）遞減；當，在（0，2）和上單調遞增，在（2，）遞減；當a=，在（0，+∞）遞增；當a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調遞增，在（，2）遞減；(2).【解題分析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（1）知當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，又，取，可證明，有兩個零點等價于，得，可證明，當時與當且時，至多一個零點，綜合討論結果可得結論.【題目詳解】（1）的定義域為，，（i）當時，恒成立，時，在上單調遞增；時，在上單調遞減.（ii）當時，由得，（舍去），①當，即時，恒成立，在上單調遞增；②當，即時，或，恒成立，在上單調遞增；時，恒成立，在上單調遞減.③當，即時，或時，恒成立，在單調遞增，時，恒成立，在上單調遞減.綜上，當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；當時，單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間為；當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）由（1）知當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，又，取，令，則在成立，故單調遞增，，，有兩個零點等價于，得，，當時，，只有一個零點，不符合題意；當時，在單調遞增，至多只有一個零點，不符合題意；當且時，有兩個極值，，記，，令，則，當時，在單調遞增；當時，在單調遞減，故在單調遞增，時，，故，又，由（1）知，至多只有一個零點，不符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題是以導數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數(shù)的幾何意義；第二層次是導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值、零點等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調性有機結合，設計綜合題.18、(1)見證明；(2)【解題分析】

（１）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明面，從而推得；（２）以為原點，以，分別為，建立空間直角坐標，分別求出面的法向量和面的法向量為，根據(jù)二面角的余弦值公式即可求解出結果．【題目詳解】（1）證明：因為，，，所以面，又因為面，所以．（2）解：以為原點，以，分別為，建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，，，設面的法向量，則有取，，，則由，，設面的法向量為，則有取，，，，則，由于二面角的平面角為鈍角，所以，其余弦值為．【題目點撥】本題主要考查了通過線面垂直證明線線垂直以及利用向量法求二面角的余弦值，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．19、（1），，，；（2）證明見解析；（3）充要條件.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，直接列出即可（2）利用的和的符號和最高次的相同，利用排除法可以證明。（3）利用（2）的結論完成（3）即可?！绢}目詳解】（1）中的元素有，，，。（2）充分性：當時，顯然成立。必要性：若=1，則若=，則若的值有個1，和個。不妨設2的次數(shù)最高次為次，其系數(shù)為1，則，說明只要最高次的系數(shù)是正的，整個式子就是正的，同理，只要最高次的系數(shù)是負的，整個式子就是負的，說明最高次的系數(shù)只能是0，就是說，即綜上“”的充要條件是“”（3）等價于等價于由（2）得“=”的充要條件是“”即“=”是“”的充要條件【題目點撥】本題考查了數(shù)列遞推關系等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20、（1），；（2）【解題分析】分析：（1）把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再把普通方程化為極坐標方程；

把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程即可；

（Ⅱ）由點是圓的圓心得線段是圓的直徑，從而得；

在極坐標系下，設，，，分別代入橢圓方程中，求出的值，求和即得的值．詳解：1曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)，化為普通方程是；化為極坐標方程是；又曲線的極坐標方程是，化為直角坐標方程是；2點、的極坐標分別是、，直角坐標系下點，；直線與圓相交于P、Q兩點，所得線段PQ是圓的直徑；，，；又A、B是橢圓上的兩點，在極坐標系下，設，，分別代入方程中，有，；解得，；；即．點睛：本題考查了參數(shù)方程與極坐標的應用問題，解題時應熟練地把參數(shù)方程、極坐標方程化為普通方程，明確參數(shù)以及極坐標中各個量的含義，是較難的題目．21、（1）見證明；（2）【解題分析】

(1)時，設,對函數(shù)求導得到函數(shù)的單調性，得到函數(shù)的最值進而得證；（2）原函數(shù)單調遞增，即恒成立，變量分離，轉化為函數(shù)最值問題.【題目詳解】（1）時，設．則，在單調遞增．即.(2)恒成立，即對恒成立．∵時，（當且僅當取等號）∴【題目點撥】這個題目考查了不等式證明問題以及恒成立求參的問題，不等式的證明，常見的方法是，構造函