2024屆湖南省雅禮中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆湖南省雅禮中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），則下列說法中不正確的是A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本點(diǎn)的中心B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好D．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1.2．在滿分為15分的中招信息技術(shù)考試中，初三學(xué)生的分?jǐn)?shù)，若某班共有54名學(xué)生，則這個(gè)班的學(xué)生該科考試中13分以上的人數(shù)大約為（）（附：）A．6 B．7 C．9 D．103．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)間隔3分鐘先后從點(diǎn)，繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向作角速度為弧度/分鐘的勻速圓周運(yùn)動，則與的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí)，運(yùn)動的時(shí)間為（）A．37.5分鐘 B．40.5分鐘 C．49.5分鐘 D．52.5分鐘4．已知曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．或 B．或C． D．5．已知，若；，．那么p是q的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件6．若函數(shù)為奇函數(shù)，則A． B． C． D．7．已知一段演繹推理：“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”，則這段推理的()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．結(jié)論正確 D．推理形式錯誤8．直線的斜率為（）A． B． C． D．9．已知一種元件的使用壽命超過年的概率為，超過年的概率為，若一個(gè)這種元件使用到年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過年的概率為（）A． B． C． D．10．設(shè)，，集合（）A． B． C． D．11．已知定義在R上的偶函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），記，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．如圖，直線：與雙曲線：的右支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，，在雙曲線的同一支上，若雙曲線的實(shí)軸長為4，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．根據(jù)如圖所示的偽代碼，最后輸出的i的值為________．14．已知，之間的一組數(shù)據(jù)如表表示，關(guān)于的回歸方程是，則等于______01243.9714.115．不等式的解集是_________.16．一個(gè)口袋里裝有5個(gè)不同的紅球，7個(gè)不同的黑球，若取出一個(gè)紅球記2分，取出一個(gè)黑球記1分，現(xiàn)從口袋中取出6個(gè)球，使總分低于8分的取法種數(shù)為__________種．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若時(shí)，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。18．（12分）某校從參加高二年級期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生，已知這名學(xué)生的歷史成績均不低于60分（滿分為100分）．現(xiàn)將這名學(xué)生的歷史成績分為四組：，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，其中歷史成績在內(nèi)的有28名學(xué)生，將歷史成績在內(nèi)定義為“優(yōu)秀”，在內(nèi)定義為“良好”．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值及樣本容量；（Ⅱ）根據(jù)歷史成績是否優(yōu)秀，利用分層抽樣的方法從這名學(xué)生中抽取5名，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生的歷史成績均優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為歷史成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？男生女生合計(jì)優(yōu)秀良好20合計(jì)60參考公式及數(shù)據(jù)：（其中）.19．（12分）完成下列證明：（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求證：.20．（12分）某中學(xué)高中畢業(yè)班的三名同學(xué)甲、乙、丙參加某大學(xué)的自主招生考核，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次.若考核為合格，則給予分的降分資格；若考核為優(yōu)秀，則給予分的降分資格.假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨(dú)立.（1）求在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；（2）記在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)所得降分之和為隨機(jī)變量，請寫出所有可能的取值，并求的值.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（I）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（II）求直線與曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本中心，正確；殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，正確用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果,R2越大，說明模型的擬合效果越好，不正確，線性相關(guān)系數(shù)|r|越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故正確。故選：C.2、C【解題分析】

分析：現(xiàn)利用正態(tài)分布的意義和原則結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，計(jì)算大于的概率，即可求解得到其人數(shù)．詳解：因?yàn)槠渲袛?shù)學(xué)考試成績服從正態(tài)分布，因?yàn)?，即根?jù)正態(tài)分布圖象的對稱性，可得，所以這個(gè)班級中數(shù)學(xué)考試成績在分以上的人數(shù)大約為人，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了隨機(jī)變量的概率分布中正態(tài)分布的意義和應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布圖象的對稱性是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

分析：由題意可得：yN=，yM=，計(jì)算yM﹣yN=sin，即可得出．詳解：由題意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，1．∴M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí)，N運(yùn)動的時(shí)間=1×12+=17.5（分鐘）．故選A．點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．也查到了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義指的是單位圓上的點(diǎn)坐標(biāo)和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系.4、B【解題分析】分析：設(shè)的坐標(biāo)為，則，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得的方程，求得的值從而可得結(jié)果.詳解：設(shè)的坐標(biāo)為，則，的導(dǎo)數(shù)為，在點(diǎn)處的切線斜率為，由切線平行于直線，可得，解得，即有或，故選B.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

轉(zhuǎn)化，為，分析即得解【題目詳解】若命題q為真，則，等價(jià)于因此p是q的充分不必要條件故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分必要條件的判定，及存在性問題的轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】分析：運(yùn)用奇函數(shù)的定義，可得，再計(jì)算即可詳解：函數(shù)為奇函數(shù)，故選點(diǎn)睛：本題主要考查的是奇函數(shù)的定義，分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵7、A【解題分析】

分析該演繹推理的大前提、小前提和結(jié)論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷正誤，可以得出正確的答案．【題目詳解】該演繹推理的大前提是：指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，小前提是：是指數(shù)函數(shù)，結(jié)論是：是增函數(shù)．其中，大前提是錯誤的，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，致使得出的結(jié)論錯誤．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了演繹推理的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)演繹推理的三段論是什么，進(jìn)行逐一判定，得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

將直線方程化為斜截式，可得出直線的斜率．【題目詳解】將直線方程化為斜截式可得，因此，該直線的斜率為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線斜率的計(jì)算，計(jì)算直線斜率有如下幾種方法：（1）若直線的傾斜角為且不是直角，則直線的斜率；（2）已知直線上兩點(diǎn)、，則該直線的斜率為；（3）直線的斜率為；（4）直線的斜率為.9、A【解題分析】

記事件該元件使用壽命超過年，記事件該元件使用壽命超過年，計(jì)算出和，利用條件概率公式可求出所求事件的概率為.【題目詳解】記事件該元件使用壽命超過年，記事件該元件使用壽命超過年，則，，因此，若一個(gè)這種元件使用到年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過年的概率為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，解題時(shí)要弄清楚兩個(gè)事件的關(guān)系，并結(jié)合條件概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查分析問題和計(jì)算能力，屬于中等題.10、C【解題分析】分析：由題意首先求得集合B，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解：求解二次不等式可得，結(jié)合交集的定義可知：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查集合的表示方法，交集的定義及其運(yùn)算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、A【解題分析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性，求出，得到，再由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，以及余弦函數(shù)單調(diào)性，得到在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，即，即，所以，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由函數(shù)單調(diào)比較大小，由函數(shù)奇偶性求參數(shù)，熟記函數(shù)單調(diào)性與奇偶性即可，屬于?？碱}型.12、A【解題分析】

根據(jù)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求得直線的斜率及其方程；聯(lián)立直線與雙曲線得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線與直線，得到點(diǎn)橫坐標(biāo)。由于，根據(jù)相似可得，又因?yàn)殡p曲線的對稱性，，故，則，整理得到，進(jìn)一步求得離心率?！绢}目詳解】設(shè)點(diǎn)為，點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則，根據(jù)點(diǎn)差法可得，即，雙曲線的實(shí)軸長為4，直線為，，直線為.聯(lián)立，得；聯(lián)立，得又，根據(jù)相似可得雙曲線的對稱性，，，，，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考察雙曲線離心率問題，出現(xiàn)弦中點(diǎn)考慮點(diǎn)差法，面積比值可以利用相似轉(zhuǎn)化為邊的比值，以此簡化計(jì)算二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件T=1+3+5+7時(shí)i的值．詳解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加T=1+3+5+7，并輸出滿足條件時(shí)i值．∵T=1+3+5+7=16≥10，故輸出的i值為7+2=1．故答案為1．點(diǎn)睛：根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．14、0.6【解題分析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算出，，代入到回歸方程中，求出的值.【題目詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，，代入到回歸方程中，得，解得.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，屬于簡單題.15、【解題分析】

由不等式得，所以，等價(jià)于，解之得所求不等式的解集.【題目詳解】由不等式得，即，所以，此不等式等價(jià)于，解得或，所以不等式的解集是：，故填：.【題目點(diǎn)撥】本題考查分式不等式的解法，一般的步驟是：移項(xiàng)、通分、分解因式、把每個(gè)因式未知數(shù)的系數(shù)化成正、轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或作簡圖數(shù)軸標(biāo)根、得解集，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】根據(jù)題意,設(shè)取出個(gè)紅球,則取出個(gè)黑球,此時(shí)總得分為，若總分低于8分,則有，即，即可取的情況有2種，即或，即總分低于8分的情況有2種：①、取出6個(gè)黑球,有種取法，②、取出1個(gè)紅球,5個(gè)黑球,有種取法，故使總分低于8分的取法有7+105=112種；故答案為：112.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)的取值范圍為.【解題分析】分析：（1）進(jìn)行分類討論，分別解出種情況下不等式的解集，最后取并集可得不等式的解集；（2）在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，可得，從而可得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，即不等式的解集為（2）由已知在上恒成立，由，不等式等價(jià)于在上恒成立，由，得即：在上恒成立，的取值范圍為點(diǎn)睛：絕對值不等式的常見解法：①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．18、（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)頻率之和為1即可求出a的值，由歷史成績在內(nèi)的有名學(xué)生即可求出的值；（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣具有按比例的性質(zhì)得出良好的有2人，優(yōu)秀有3人，通過列舉法求解概率；（Ⅲ）補(bǔ)充列聯(lián)表，算出，對比表格得出結(jié)論【題目詳解】（Ⅰ）由題可得，解得，又歷史成績在內(nèi)的有名學(xué)生，所以，解得．（Ⅱ）由題可得，這名學(xué)生中歷史成績良好的有名，所以抽取的名學(xué)生中歷史成績良好的有名，歷史成績優(yōu)秀的有名，記歷史成績優(yōu)秀的名學(xué)生為，，，歷史成績良好的名學(xué)生為，，從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名，有，，，，，，，，，，共10種情況，其中這名學(xué)生的歷史成績均優(yōu)秀的有，，，共種情況，所以這名學(xué)生的歷史成績均優(yōu)秀的概率為．（Ⅲ）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下表所示：男生女生合計(jì)優(yōu)秀204060良好202040合計(jì)4060100則的觀測值，所以沒有的把握認(rèn)為歷史成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本題屬于常規(guī)概率統(tǒng)計(jì)問題，屬于每年必考題型，主要涉及知識點(diǎn)有：頻率分布直方圖：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積為相應(yīng)區(qū)間的頻率，所以小正方形的面積之和為1；分層抽樣：按比例；系統(tǒng)抽樣：等距離；列聯(lián)表：會列列聯(lián)表，即判斷兩者是否有關(guān)聯(lián)．19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）運(yùn)用分析法，兩邊平方，化簡配方即可得證；（Ⅱ）運(yùn)用變形和基本不等式，即可得證?！绢}目詳解】（I）要證：≥只需證：≥，即證：，即證：,即證：，即證：，這顯然成立，故.（II）依題意，因?yàn)?，故，故?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的證明的方法——分析法和綜合法，意在考查學(xué)生運(yùn)用分析法和使用基本不等式時(shí)涉及到的變形能力，化簡能力以及推理能力。20、（1）；（2）所有可能的取值為、、、，.【解題分析】

（1）計(jì)算出三名同學(xué)考核均為合格的概率，利用對立事件的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率；（2