江西省鉛山一中、橫峰中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末調(diào)研模擬試題含解析

江西省鉛山一中、橫峰中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末調(diào)研模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列{an}中，，，則（）A．±2 B．－2 C．2 D．42．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，，則的面積為（）A．3 B． C． D．3．由曲線與直線，所圍成的封閉圖形面積為（）A． B． C．2 D．4．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（）A． B． C． D．5．下列命題:①在一個列聯(lián)表中,由計算得,則有的把握確認這兩類指標間有關(guān)聯(lián)②若二項式的展開式中所有項的系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)是③隨機變量服從正態(tài)分布,則④若正數(shù)滿足，則的最小值為其中正確命題的序號為()A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④6．隨機變量，且，則（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.807．某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段。下表為10名學生的預賽成績，其中有些數(shù)據(jù)漏記了（見表中空白處）學生序號12345678910立定跳遠（單位：米）1.961.681.821.801.601.761.741.721.921.7830秒跳繩（單位：次）63756062727063在這10名學生中進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則以下判斷正確的為（）A．4號學生一定進入30秒跳繩決賽B．5號學生一定進入30秒跳繩決賽C．9號學生一定進入30秒跳繩決賽D．10號學生一定進入30秒眺繩決賽8．若，則A．10 B．15 C．30 D．609．若函數(shù)在上有最大值無最小值，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度11．下列導數(shù)運算正確的是（）A． B．C． D．12．曲線在點處的切線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有______種.14．某高中有高一學生320人，高二學生400人，高三學生360人.現(xiàn)采用分層抽樣調(diào)查學生的視力情況.已知從高一學生中抽取了8人，則三個年級一共抽取了__________人。15．當雙曲線M：的離心率取得最小值時，雙曲線M的漸近線方程為______．16．有個元素的集合的3元子集共有20個，則=_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動立即結(jié)束；若三人均猜對，則該小組進入下一輪，該小組最多參加三輪活動．已知每一輪甲猜對歌名的概率是34，乙猜對歌名的概率是23，丙猜對歌名的概率是(I)求該小組未能進入第二輪的概率；(Ⅱ)記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．18．（12分）已知矩陣A＝，向量．（1）求A的特征值、和特征向量、；（2）求A5的值．19．（12分）2019年高考前夕某地天空出現(xiàn)了一朵點贊云，為了將這朵祥云送給馬上升高三的各位學子，現(xiàn)以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標方程：（2）點為曲線上任意一點，點為曲線上任意一點，求的最小值。20．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在“陽馬”中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接.（1）證明：平面.試判斷四面體是否為“鱉臑”，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）若，求直線與平面所成角的正切值.21．（12分）已知橢圓的離心率為，是橢圓上一點.(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點，是直線上任意一點.證明：直線的斜率成等差數(shù)列.22．（10分）設(shè)集合，如果存在的子集，，同時滿足如下三個條件：①；②，，兩兩交集為空集；③，則稱集合具有性質(zhì).（Ⅰ）已知集合，請判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)集合，求證：具有性質(zhì)的集合有無窮多個.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得，，再根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求得.【題目詳解】因為等比數(shù)列中，，所以，即以，因此=，因為，同號，所以選C.【題目點撥】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法.性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用.但在應用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當變形.2、C【解題分析】

通過余弦定理可得C角，再通過面積公式即得答案.【題目詳解】根據(jù)余弦定理，對比，可知，于是，根據(jù)面積公式得，故答案為C.【題目點撥】本題主要考查余弦定理和面積公式的運用，比較基礎(chǔ).3、D【解題分析】根據(jù)題意作出所圍成的圖形，如圖所示，圖中從左至右三個交點分別為，所以題中所求面積為，故選D4、D【解題分析】

求得函數(shù)的導數(shù)，然后令，求得的值.【題目詳解】依題意，令得，，故選D.【題目點撥】本小題在導數(shù)運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

根據(jù)可知①正確；代入可求得，利用展開式通項，可知時，為含的項，代入可求得系數(shù)為，②錯誤；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知③正確；由，利用基本不等式求得最小值，可知④正確.【題目詳解】①，則有的把握確認這兩類指標間有關(guān)聯(lián)，①正確；②令，則所有項的系數(shù)和為：，解得：則其展開式通項為：當，即時，可得系數(shù)為：，②錯誤；③由正態(tài)分布可知其正態(tài)分布曲線對稱軸為，③正確；④，，（當且僅當，即時取等號），④正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查命題真假性的判斷，涉及到獨立性檢驗的基本思想、二項展開式各項系數(shù)和與指定項系數(shù)的求解、正態(tài)分布曲線的應用、利用基本不等式求解和的最小值問題.6、B【解題分析】分析：由及可得．詳解：∵，∴．故選B．點睛：本題考查正態(tài)分布，若隨機變量中，則正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，因此有，（）．7、D【解題分析】

先確定立定跳遠決賽的學生，再討論去掉兩個的可能情況即得結(jié)果【題目詳解】進入立定跳遠決賽的學生是1，3，4，6，7，8，9，10號的8個學生，由同時進入兩項決賽的有6人可知，1，3，4，6，7，8，9，10號有6個學生進入30秒跳繩決賽，在這8個學生的30秒跳繩決賽成績中，3，6，7號學生的成績依次排名為1，2，3名，1號和10號成績相同，若1號和10號不進入30秒跳繩決賽，則4號肯定也不進入，這樣同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10號學生必進入30秒跳繩決賽.選D.【題目點撥】本題考查合情推理，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.8、B【解題分析】

分析：由于，與已知對比可得的值1．詳解：由于，與已知對比可得故選B.點睛：本題考查二項式定理的應用，觀察分析得到是關(guān)鍵，考查分析與轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．9、C【解題分析】

分析：函數(shù)在上有最大值無最小值，則極大值在之間，一階導函數(shù)有根在，且左側(cè)函數(shù)值小于1，右側(cè)函數(shù)值大于1，列不等式求解詳解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．a(chǎn)＝1時，f′（x）＝4x+1＞1，函數(shù)f（x）在x∈（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，舍去．a(chǎn)≠1時，△＝16﹣12a．由△≤1，解得，此時f′（x）≥1，函數(shù)f（x）在x∈（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，舍去．由△＞1，解得a（a≠1），由f′（x）＝1，解得x1，x2．當時，x1＜1，x2＜1，因此f′（x）≥1，函數(shù)f（x）在x∈（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，舍去．當a＜1時，x1＞1，x2＜1，∵函數(shù)f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值無最小值，∴必然有f′（x1）＝1，∴12，a＜1．解得：a．綜上可得：a．故選：C．點睛：極值轉(zhuǎn)化為最值的性質(zhì)：1、若上有唯一的極小值，且無極大值，那么極小值為的最小值；2、若上有唯一的極大值，且無極小值，那么極大值為的最大值；10、D【解題分析】因為把的圖象向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，所以，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象，向右平移個單位長度故選D.11、B【解題分析】

由判斷；由判斷；由判斷判斷；由判斷.【題目詳解】根據(jù)題意，依次分析選項，對于，，錯誤；對于，，正確；對于，，錯誤；對于，，錯誤；故選B．【題目點撥】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的求導公式以及導數(shù)乘法的運算法則，意在考查對基本公式與基本運算掌握的熟練程度，屬于中檔題．12、C【解題分析】

求導，把分別代入導函數(shù)和原函數(shù)，得到斜率和切點，再計算切線方程.【題目詳解】將代入導函數(shù)方程，得到將代入曲線方程，得到切點為：切線方程為：故答案選C【題目點撥】本題考查了曲線的切線，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】分析：把丙丁捆綁在一起，作為一個元素排列，然后把甲插入，注意丙丁這個元素的位置不同決定著甲插入的方法數(shù)的不同．詳解：．故答案為1．點睛：本題考查排列組合的應用．排列組合中如果有元素相鄰，則可用捆綁法，即相鄰的元素捆綁在一起作為一個元素進行排列，當然它們之間也要全排列，特殊元素可優(yōu)先考慮．注意分類與分步結(jié)合，不重不漏．14、27【解題分析】分析：根據(jù)分層抽樣的概念得按比例抽樣:.詳解：因為分層抽樣，所以三個年級一共抽取.點睛：在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即ni∶Ni＝n∶N.15、【解題分析】

求出雙曲線離心率的表達式，求解最小值，求出m，即可求得雙曲線漸近線方程．【題目詳解】解：雙曲線M：，顯然，雙曲線的離心率，當且僅當時取等號，此時雙曲線M：，則漸近線方程為：．故答案為：．【題目點撥】本題考查雙曲線漸近線方程的求法，考查基本不等式的應用，屬于基礎(chǔ)題．16、6【解題分析】

在個元素中選取個元素共有種，解=20即可得解.【題目詳解】在個元素中選取個元素共有種，解=20得，故答案為6.【題目點撥】本題考查了組合數(shù)在集合中的應用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）34（Ⅱ）ξ的分別列為Eξ=0×1【解題分析】試題分析：（1）分別將甲、乙、丙第i次猜對歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則A（2）利用相互獨立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式即可得出．試題解析：分別將甲、乙、丙第i次猜對歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則（Ⅰ）該小組未能進入第二輪的概率P=P(=P(A（Ⅱ）乙猜對歌曲次數(shù)ξ的可能取值為0,1,2,3，P(ξ=0)=P(AP(ξ=1)=P(A=P(=1P(ξ=2)=P(A==1P(ξ=3)=P(A∴ξ的分別列為Eξ=0×1點睛：本題考查了相互獨立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式、隨機變量的分布列的概率與數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、(1)，，,.(2).【解題分析】分析：（1）先根據(jù)特征多項式求特征值，再根據(jù)特征值求對應特征向量，（2）先將表示為，再根據(jù)特征向量定義化簡A5，計算即得結(jié)果.詳解：(1)矩陣的特征多項式為，令，解得，，當時，解得；當時，解得.(2)令，得，求得.所以點睛：利用特征多項式求特征值，利用或求特征向量.19、(1)：；：；：；(2)【解題分析】

（1）根據(jù)得的直角坐標方程，根據(jù)平方關(guān)系消參數(shù)得的直角坐標方程，根據(jù)加減消元得的直角坐標方程（2）結(jié)合圖像確定的最小值取法，再計算得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為直線的直角坐標方程為直線的直角坐標方程為（2）由與的方程可知，的距離的最小值為的圓心與點的距離減去的半徑。【題目點撥】本題考查極坐標方程化直角坐標方程、參數(shù)方程化普通方程以及直線與圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20、（1）證明見解析，是“鱉臑”，四個直角分別為，，，；（2）【解題分析】

（1）先證明面，可得，然后結(jié)合即可證明面，然后再證明面，即可得出四面體的四個面都是直角三角形（2）如圖所示建立空間直角坐標系，是面的一個法向量，然后利用算出即可.【題目詳解】（1）由面，面得，又，從而面，因為面所以由得面由面，面得，又，從而面可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是“鱉臑”，四個直角分別為，，，（2）如圖所示建立空間直角坐標系，，，，由面可知，是面的一個法向量，設(shè)直線與面所成角為，，，即直線與平面所成角的正切值為【題目點撥】向量法是求立體幾何中的線線角、線面角、面面角常用的方法.21