2024屆廣東省佛山市第四中學數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆廣東省佛山市第四中學數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某市委積極響應十九大報告提出的“到2020年全面建成小康社會”的目標，鼓勵各縣積極脫貧，計劃表彰在農(nóng)村脫貧攻堅戰(zhàn)中的杰出村代表，已知A，B兩個貧困縣各有15名村代表，最終A縣有5人表現(xiàn)突出，B縣有3人表現(xiàn)突出，現(xiàn)分別從A，B兩個縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則B縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是（）A． B． C． D．2．（山西省榆社中學高三診斷性模擬考試）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，，則A． B．C． D．3．已知，且.則展開式中的系數(shù)為（）A．12 B．-12 C．4 D．-44．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則復（）A．1 B． C．i D．5．斐波那契螺旋線，也稱“黃金蜾旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列（1，1，2，3，5，8…）畫出來的螺旋曲線，由中世紀意大利數(shù)學家列奧納多?斐波那契最先提出．如圖，矩形ABCD是以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成的，在每個正方形中作一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分．在矩形ABCD內(nèi)任取一點，該點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)f(x)＝則)等于()A．4 B．－2C．2 D．17．某班制定了數(shù)學學習方案：星期一和星期日分別解決個數(shù)學問題，且從星期二開始，每天所解決問題的個數(shù)與前一天相比，要么“多一個”要么“持平”要么“少一個”，則在一周中每天所解決問題個數(shù)的不同方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種8．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足(1－i)·z＝2i，是復數(shù)z的共軛復數(shù)，則下列關(guān)于復數(shù)z的說法正確的是()A．z＝1－i B．C． D．復數(shù)z在復平面內(nèi)表示的點在第四象限9．設(shè)，隨機變量X，Y的分布列分別為X123Y123PP當X的數(shù)學期望取得最大值時，Y的數(shù)學期望為（）A．2 B． C． D．10．(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為A．-80 B．-40 C．40 D．8011．在四邊形中，如果，，那么四邊形的形狀是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形12．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點，以線段PQ為直徑的圓過右焦點F，則雙曲線離心率為A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．科目二，又稱小路考，是機動車駕駛證考核的一部分，是場地駕駛技能考試科目的簡稱.假設(shè)甲每次通過科目二的概率均為，且每次考試相互獨立，則甲第3次考試才通過科目二的概率為__________．14．已知定義在上的函數(shù)在導函數(shù)為，若，且當時，，則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍是__________．15．函數(shù)在點處切線方程為，則=______.16．已知滿足約束條件則的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復數(shù)（a∈R,i為虛數(shù)單位）（I）若是純虛數(shù)，求實數(shù)a的值；（II）若復數(shù)在復平面上對應的點在第二象限，求實數(shù)a的取值范圍18．（12分）設(shè)命題：對任意，不等式恒成立，命題存在，使得不等式成立.（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以軸正半軸為極軸，以坐標原點為極點建立極坐標系，點的極坐標為，過點的直線與曲線相交于，兩點.（1）若直線的斜率，求直線的極坐標方程和曲線的普通方程；（2）求的值.20．（12分）甲乙兩人報名參加由某網(wǎng)絡(luò)科技公司舉辦的“技能闖關(guān)”雙人電子競技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關(guān)”結(jié)果都采取計分制，若在一輪闖關(guān)中，一人過關(guān)另一人未過關(guān)，過關(guān)者得1分，未過關(guān)得分；若兩人都過關(guān)或都未過關(guān)則兩人均得0分.甲、乙過關(guān)的概率分別為和，在一輪闖關(guān)中，甲的得分記為.（1）求的分布列；（2）為了增加趣味性，系統(tǒng)給每位報名者基礎(chǔ)分3分，并且規(guī)定出現(xiàn)一方比另一方多過關(guān)三輪者獲勝，此二人比賽結(jié)束.表示“甲的累積得分為時，最終認為甲獲勝”的概率，則，其中，，，令.證明：點的中點橫坐標為；（3）在第（2）問的條件下求，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若在處有極小值，求實數(shù)的值；（Ⅱ）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知命題函數(shù)是上的奇函數(shù)，命題函數(shù)的定義域和值域都是，其中.（1）若命題為真命題，求實數(shù)的值；（2）若“且”為假命題，“或”為真命題，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由古典概型及其概率計算公式得：有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是，得解．【題目詳解】由已知有分別從，兩個縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則共有種不同的選法，又已知有人表現(xiàn)突出，且縣選取的人表現(xiàn)不突出，則共有種不同的選法，已知有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是.故選：B．【題目點撥】本題考查條件概率的計算，考查運算求解能力，求解時注意與古典概率模型的聯(lián)系.2、D【解題分析】根據(jù)題意，由，得，則，，…，將各式相加得，又，所以，因此，則將上式減下式得，所以.故選D.點睛：此題主要考查了數(shù)列通項公式、前項和公式的求解計算，以及錯位相消求各法的應用等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中檔題型，也是常考知識點.錯位相消求和法是一種重要的方法，一般適于所求數(shù)列的通項公式是一個等比數(shù)列乘于一個等差的形式，將求和式子兩邊同時乘于等比數(shù)列的公比，再兩式作差，消去中間項，從而求得前項和公式.3、D【解題分析】

求定積分得到的值，可得的值，再把按照二項式定理展開式，可得中的系數(shù)．【題目詳解】∵，且，則展開式，故含的系數(shù)為，故選D．【題目點撥】本題主要考查求定積分，二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法法則及虛數(shù)單位的冪運算性質(zhì)，化簡復數(shù)到最簡形式．【題目詳解】解：復數(shù)，故選：．【題目點撥】本題考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個復數(shù)相除，分子和分母同時除以分母的共軛復數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

根據(jù)幾何概型的概率公式，分別求出陰影部分面積和矩形ABCD的面積，即可求得?！绢}目詳解】由已知可得：矩形的面積為，又陰影部分的面積為，即點取自陰影部分的概率為，故選?！绢}目點撥】本題主要考查面積型的幾何概型的概率求法。6、B【解題分析】，則，故選B.7、A【解題分析】分析：因為星期一和星期日分別解決4個數(shù)學問題，所以從這周的第二天開始后六天中“多一個”或“少一個”的天數(shù)必須相同，都是0、1、2、3天，共四種情況，利用組合知識可得結(jié)論．詳解：因為星期一和星期日分別解決4個數(shù)學問題，所以從這周的第二天開始后六天中“多一個”或“少一個”的天數(shù)必須相同，所以后面六天中解決問題個數(shù)“多一個”或“少一個”的天數(shù)可能是0、1、2、3天，共四種情況，所以共有=141種．故選：A．點睛：本題考查組合知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定中間“多一個”或“少一個”的天數(shù)必須相同是關(guān)鍵．8、C【解題分析】

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求出z，然后逐一核對四個選項得答案．【題目詳解】復數(shù)在復平面內(nèi)表示的點在第二象限，故選C．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

利用數(shù)學期望結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解X的期望的最值，然后求解Y的數(shù)學期望.【題目詳解】∵，∴當時，EX取得最大值，此時.故選：D【題目點撥】本題主要考查數(shù)學期望和分布列的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.10、C【解題分析】，由展開式的通項公式可得：當時，展開式中的系數(shù)為；當時，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.故選C.【名師點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.（2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解.11、A【解題分析】

由可判斷出四邊形為平行四邊形，由可得出，由此判斷出四邊形的形狀.【題目詳解】，所以，四邊形為平行四邊形，由可得出，因此，平行四邊形為矩形，故選A.【題目點撥】本題考查利用向量關(guān)系判斷四邊形的形狀，判斷時要將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，同時也考查了推理能力，屬于中等題.12、B【解題分析】

求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點坐標的關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡后求得離心率.【題目詳解】設(shè)，依題意直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡得，故，設(shè)焦點坐標為，由于以為直徑的圓經(jīng)過點，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【題目點撥】本小題主要考查直線和雙曲線的交點，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】甲第3次考試才通過科目二，則前兩次都未通過，第3次通過，故所求概率為.填14、【解題分析】分析：根據(jù)條件得到函數(shù)的對稱性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用特殊值法進行求解即可.詳解：由，得函數(shù)關(guān)于對稱，當時，，即在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則不等式等價為，即，即，得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.點睛：本題主要考查不等式的求解，利用條件判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，利用特殊值法是解決本題的關(guān)鍵.15、4【解題分析】分析：因為在點處的切線方程，所以，由此能求出．詳解：因為在點處切線方程為，，

所以從而．

即答案為4.點睛：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．16、1【解題分析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【題目詳解】約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示.由得，則目標函數(shù)過點時，取得最大值，.故答案為：1【題目點撥】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（II）【解題分析】

（I）計算出，由其實部為0，虛部不為0可求得值；（II）計算出，由其實部小于0，虛部大于0可求得的取值范圍．【題目詳解】解：（I）由復數(shù)得=（）（）=3a+8+（6-4a）i若是純虛數(shù)，則3a+8=0，（6-4a）≠0，解得a=-（II）=若在復平面上對應的點在第二象限，則有解得-【題目點撥】本題考查復數(shù)的乘除運算，考查復數(shù)的概念與幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）（2）或【解題分析】

（1）考慮命題為真命題時，轉(zhuǎn)化為對任意的成立，解出不等式可得出實數(shù)的取值范圍；（2）考慮命題為真命題時，則可轉(zhuǎn)化為對任意的成立，可解出實數(shù)的取值范圍，然后由題中條件得出命題、一真一假，分真假和假真兩種情況討論，于此可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】對于成立，而，有，∴，∴存在，使得不等式成立，只需而，∴，∴；（1）若為真，則；（2）若為假命題，為真命題，則一真一假.若為假命題，為真命題，則，所以；若為假命題，為真命題，則，所以.綜上，或.【題目點撥】本題考查復合命題的真假與參數(shù)的取值范圍，考查不等式在區(qū)間上成立，一般轉(zhuǎn)化為最值來求解，另外在判斷復合命題的真假性時，需要判斷簡單命題的真假，考查邏輯推理能力，屬于中等題．19、（1）,；（2）7.【解題分析】

（1）先求出直線的直角坐標方程，再轉(zhuǎn)換為直線的極坐標方程即可（2）利用直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義求解【題目詳解】（1）將點的極坐標化為直角坐標為，因為直線的斜率，所以直線的直角坐標方程為，由可知直線的極坐標方程為.因為（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線的傾斜角），代入，整理得，設(shè)點，對應的參數(shù)分別為，，則，.【題目點撥】本題考查坐標系中點的極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)換、直線直角坐標方程與極坐標方程的轉(zhuǎn)化及利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求值20、（1）分布列見解析；（2）見解析；（3），試解釋游戲規(guī)則的公平性見解析【解題分析】

（1）由題意得：，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列.（2）由題意得，，，推導出，根據(jù)中點公式能證明點的中點橫坐標為；（3）由，求出，從而，，由此推導出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目詳解】（1），，，的分布列為：01（2）由題意得：，，.于是，有，整理可得：，根據(jù)中點公式有：，命題得證.（3）由（2）可知，于是又，所以，，.表示最終認為甲獲勝概率，由計算結(jié)果可以看出，在甲過關(guān)的概率為0.5，乙過關(guān)的概率為0.6時，認為甲獲勝的概率為，此時得出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目點撥】本題考查了離散型隨機變量的分布列，用概率說明游戲的公平性，考查了學生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由題可得，解方程組求得答案；（Ⅱ）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增即在上恒成立，所以恒成立，進而求得答案．【題目詳解】（Ⅰ）依題意得，即解得，故所求的實數(shù)；（Ⅱ）由（Ⅰ）得∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增∴在上恒成立即恒成立∵時，，∴所以實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查導函數(shù)的極值點以及利用導函數(shù)解答恒成立問題