北京市東城區(qū)第二中2024屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

北京市東城區(qū)第二中2024屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，他將指數(shù)函數(shù)定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，若將表示的復(fù)數(shù)記為z，則的值為（）A． B． C． D．2．某班準備從甲、乙、丙等6人中選出4人參加某項活動，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，那么不同的方法有（）A．18種 B．12種 C．432種 D．288種3．某科研單位準備把7名大學生分配到編號為1，2，3的三個實驗室實習，若要求每個實驗室分配到的大學生人數(shù)不小于該實驗室的編號，則不同的分配方案的種數(shù)為（）A．280 B．455 C．355 D．3504．設(shè)p、q是兩個命題，若是真命題，那么（）A．p是真命題且q是假命題 B．p是真命題且q是真命題C．p是假命題且q是真命題 D．p是假命題且q是假命題5．小趙、小錢、小孫、小李到個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件“個人去的景點彼此互不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則（）A． B． C． D．6．函數(shù)f(x)的定義域為R，導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()．A．無極大值點，有四個極小值點B．有三個極大值點，兩個極小值點C．有兩個極大值點，兩個極小值點D．有四個極大值點，無極小值點7．某人考試，共有5題，至少解對4題為及格，若他解一道題正確的概率為0.6，則他及格的概率為（）A． B． C． D．8．.若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為（）A．0B．-1C．-1210．甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問數(shù)學考試的成績老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，我現(xiàn)在給乙看甲、丙的成績，給甲看丙的成績，給丁看乙的成績，看后乙對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（）A．甲可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績C．甲、丁可以知道對方的成績 D．甲、丁可以知道自己的成績11．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則A． B． C． D．12．極坐標系內(nèi),點到直線的距離是(

)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)向量，且，則的值為__________．14．已知，且，則的最小值是______．15．根據(jù)如圖所示的偽代碼可知,輸出的結(jié)果為______.16．如圖所示，在圓錐中，為底面圓的兩條直徑，，且,，為的中點，則異面直線與所成角的正切值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，.求與的夾角；若，，，，且與交于點，求.18．（12分）隨著生活水平的提高，越來越多的人參與了潛水這項活動.某潛水中心調(diào)查了100名男性與100女性下潛至距離水面5米時是否耳鳴，下圖為其等高條形圖：①繪出列聯(lián)表；②根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關(guān)系？附：，其中.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82819．（12分）某生產(chǎn)企業(yè)研發(fā)了一種新產(chǎn)品，該新產(chǎn)品在某網(wǎng)店試銷一個階段后得到銷售單價和月銷售量之間的一組數(shù)據(jù)，如下表所示：銷售單價（元）99.51010.511月銷售量（萬件）1110865（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測月銷售量不低于12萬件時銷售單價的最大值；（2）生產(chǎn)企業(yè)與網(wǎng)店約定：若該新產(chǎn)品的月銷售量不低于10萬件，則生產(chǎn)企業(yè)獎勵網(wǎng)店1萬元；若月銷售量不低于8萬件且不足10萬件，則生產(chǎn)企業(yè)獎勵網(wǎng)店5000元；若月銷售量低于8萬件，則沒有獎勵.現(xiàn)用樣本估計總體，從上述5個銷售單價中任選2個銷售單價，下個月分別在兩個不同的網(wǎng)店進行銷售，求這兩個網(wǎng)店下個月獲得獎勵的總額的分布列及其數(shù)學期望.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：，.20．（12分）設(shè)是橢圓上的兩點，已知向量，，若且橢圓的離心率，短軸長為2，為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的焦點（為半焦距），求直線的斜率的值；（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.21．（12分）已知．（1）證明：；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）如圖，直角梯形中，，，，，底面，底面且有.（1）求證：；（2）若線段的中點為，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)歐拉公式求出，再計算的值.【題目詳解】∵，∴.故選：A.【題目點撥】此題考查復(fù)數(shù)的基本運算，關(guān)鍵在于根據(jù)題意求出z.2、D【解題分析】

根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，②將選出的4人全排列，安排4人的順序，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，若甲、乙、丙三人都參加，在a、b、c三人中任選1人，有3種情況，若甲、乙、丙三人有2人參加，在a、b、c三人中任選1人，有=9種情況，則有3+9=12種選法；②將選出的4人全排列，安排4人的順序，有A44=24種順序，則不同的發(fā)言順序有12×24=288種；故答案為：D．【題目點撥】（1）本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常見解法有：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.3、B【解題分析】

每個實驗室人數(shù)分配有三種情況，即①1，2，4；②1，3，3；③2，2，3；針對三種情況進行計算組合即可【題目詳解】每個實驗室人數(shù)分配有三種情況，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.當實驗室的人數(shù)為1，2，4時，分配方案有種；當實驗室的人數(shù)為1，3，3時，分配方案有種；當實驗室的人數(shù)為2，2，3時，分配方案有種.故不同的分配方案有455種.選B.【題目點撥】本題考查排列組合的問題，解題注意先分類即可，屬于基礎(chǔ)題4、C【解題分析】

先判斷出是假命題，從而判斷出p,q的真假即可.【題目詳解】若是真命題，則是假命題，則p,q均為假命題，故選D.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)復(fù)合命題的真值表的問題，在解題的過程中，首先需要利用是真命題，得到是假命題，根據(jù)“或”形式的復(fù)合命題真值表求得結(jié)果.5、D【解題分析】分析：這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4

個人去的景點不相同的概率，求出相應(yīng)基本事件的個數(shù)，即可得出結(jié)論．詳解：小趙獨自去一個景點，則有3個景點可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可能性為種

所以小趙獨自去一個景點的可能性為種

因為4

個人去的景點不相同的可能性為種，

所以．

故選：D．點睛：本題考查條件概率，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關(guān)鍵．6、C【解題分析】試題分析：所給圖象是導函數(shù)圖象，只需要找出與軸交點，才能找出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而找出極值點；由本題圖中可見與有四個交點，其中兩個極大值，兩極小值.考點：函數(shù)的極值.7、C【解題分析】

由題，得他及格的情況包含答對4題和5題，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得他及格的情況包括答對4題和5題，所以對應(yīng)的概率.故選：C【題目點撥】本題主要考查獨立重復(fù)試驗的概率問題，屬基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

設(shè)切點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，在切點處的導數(shù)是切點處切線的斜率，求.【題目詳解】設(shè)切點，，解得.故選A.【題目點撥】本題考查了已知切線方程求參數(shù)的問題，屬于簡單題型，這類問題的關(guān)鍵是設(shè)切點，利用切點既在切線又在曲線上，以及利用導數(shù)的幾何意義共同求參數(shù).9、A【解題分析】試題分析：模擬法：S=0,n=1S=12S=-12S=0,n=7,n>5，輸出S=0，故選A．考點：程序框圖．10、D【解題分析】

先由乙不知道自己成績出發(fā)得知甲、丙和乙、丁都是一優(yōu)秀、一良好，那么甲、丁也就結(jié)合自己看的結(jié)果知道自己成績了.【題目詳解】解：乙看后不知道自己成績，說明甲、丙必然是一優(yōu)秀、一良好，則乙、丁也必然是一優(yōu)秀、一良好；甲看了丙的成績，則甲可以知道自己和丙的成績；丁看了乙的成績，所以丁可以知道自己和乙的成績，故選D.【題目點撥】本題考查了推理與證明，關(guān)鍵是找到推理的切入點.11、C【解題分析】

本題考點為復(fù)數(shù)的運算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【題目詳解】則．故選C．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．12、B【解題分析】

通過直角坐標和極坐標之間的互化，即可求得距離.【題目詳解】將化為直角坐標方程為，把化為直角坐標點為，即到直線的距離為2，故選B.【題目點撥】本題主要考查極坐標與直角坐標之間的互化，點到直線的距離公式，難度不大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、168【解題分析】

根據(jù)向量，設(shè)，列出方程組，求得，得到，再利用向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解.【題目詳解】由題意，向量，設(shè)，又因為，所以，即，解得，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了向量的共線的坐標運算，以及向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記向量的共線條件，熟練應(yīng)用向量的數(shù)量積的運算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】

直接將代數(shù)式4x+y與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【題目詳解】由基本不等式可得，當且僅當，等號成立，因此的最小值為1，故答案為：1．【題目點撥】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.15、72【解題分析】

模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，可得當時不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為72.【題目詳解】模擬程序的運行，可得滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，；滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，;滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，；不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為72,故答案為72【題目點撥】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，當循環(huán)的次數(shù)不多或有規(guī)律時，常采用模擬執(zhí)行程序的方法解決，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

由于與是異面直線，所以需要平移為相交直線才能找到異面直線與所成角，由此連接OP再利用中位線的性質(zhì)得到異面直線與所成角為,并求出其正切值．【題目詳解】連接，則，即為異面直線與所成的角，又，，，平面，，即，為直角三角形，.【題目點撥】本題考查了異面直線所成角的計算，關(guān)鍵是利用三角形中位線的性質(zhì)使異面直線平移為相交直線．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；.【解題分析】

化簡得到，再利用夾角公式得到答案.，根據(jù)向量關(guān)系化簡得到，再平方得到得到答案.【題目詳解】，.又，，，..又，.，，，，.【題目點撥】本題考查了向量的計算，將表示出來是解題的關(guān)鍵，意在考查學生對于向量公式的靈活運用和計算能力.18、①答案見解析；②能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關(guān)系.【解題分析】分析：①.由題意結(jié)合等高條形圖求得相應(yīng)的人數(shù)，然后繪制列聯(lián)表即可；②.結(jié)合①中的列聯(lián)表計算的觀測值：，則能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關(guān)系.詳解：①由男女生各100人及等高條形圖可知耳鳴的男生有人，耳鳴的女生有人，∴無耳鳴的男生有100-30=70人，無耳鳴的女生有100-50=50人，所以列聯(lián)表如下：有耳鳴無耳鳴總計男3070100女5050100總計80120200②公式計算的觀測值：，能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為耳鳴與性別有關(guān)系.點睛：獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果作出錯誤的解釋．19、(1)；月銷售量不低于12萬件時銷售單價的最大值為；(2)分布列見詳解，數(shù)學期望為.1（萬元）.【解題分析】

（1）先計算的平均數(shù)，根據(jù)已知公式，代值計算即可；再根據(jù)所求方程，解不等式即可；（2）根據(jù)題意，求得的可取值，結(jié)合題意求得分布列，再根據(jù)分布列求數(shù)學期望即可.【題目詳解】（1）容易知；；又因為，，故可得，，故所求回歸直線方程為：.令，故可得.故月銷售量不低于12萬件時銷售單價的最大值為.（2）容易知可取值為：，（單位為：萬元）故，，，..故其分布列如下所示：則（萬元）.【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程的求解，以及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求解，屬綜合中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面積為定值1．【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得，再設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即，，根據(jù)，求得和的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得點的橫坐標和縱坐標的絕對值，進而求得△AOB的面積的值；當直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.試題解析：（1）由題可得：，，所以，橢圓的方程為設(shè)的方程為：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：（2）①直線斜率不存在時，即，∵∴，即又∵點在橢圓上∴，即∴，∴，故的面積為定值1②當直線斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立得：∴，，∴所以三角形的面積為定值1.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的定值問