2024屆江西省奉新一中、南豐一中等六校數(shù)學高二第二學期期末考試模擬試題含解析

2024屆江西省奉新一中、南豐一中等六校數(shù)學高二第二學期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的導函數(shù)是（）A． B．C． D．2．已知實數(shù)成等差數(shù)列,且曲線取得極大值的點坐標為,則等于（）A．-1 B．0 C．1 D．23．已知（是實常數(shù)）是二項式的展開式中的一項，其中，那么的值為A． B． C． D．4．不等式＞0的解集是A．（，） B．（4，）C．（，－3）∪（4，+） D．（，－3）∪（，）5．已知數(shù)列的前項和為，且，若，則（）A． B． C． D．6．一個圓錐被過其頂點的一個平面截去了較少的一部分幾何體，余下的幾何體的三視圖如圖，則余下部分的幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．68．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是（）A． B． C． D．9．若復數(shù)滿足,則在復平面內,對應的點的坐標是（）A． B． C． D．10．若,則等于()A．9 B．8 C．7 D．611．定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，記，，則（）A． B．C． D．12．若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸建立極坐標系，若曲線的極坐標方程為，則曲線的直角坐標方程為___.14．拋物線上一點到焦點的距離為，則點的橫坐標為__________．15．已知雙曲線的左頂點和右焦點到一條漸近線的距離之比為1:2，則該雙曲線的漸近線方程為_______.16．某公司共有名員工，他們的月薪分別為萬，萬，萬，萬，萬，萬，萬，則這名員工月薪的中位數(shù)是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著國內電商的不斷發(fā)展，快遞業(yè)也進入了高速發(fā)展時期，按照國務院的發(fā)展戰(zhàn)略布局，以及國家郵政管理總局對快遞業(yè)的宏觀調控，SF快遞收取快遞費的標準是：重量不超過1kg的包裹收費10元；重量超過1kg的包裹，在收費10元的基礎上，每超過1kg（不足1kg，按1kg計算）需再收5元.某縣SF分代辦點將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如下：重量（單位：kg）（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]件數(shù)43301584對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：件數(shù)范圍0~100101~200201~300301~400401~500件數(shù)50150250350450天數(shù)663016以上數(shù)據(jù)已做近似處理，將頻率視為概率.（1）計算該代辦點未來5天內不少于2天攬件數(shù)在101~300之間的概率；（2）①估計該代辦點對每件包裹收取的快遞費的平均值；②根據(jù)以往的經(jīng)驗，該代辦點將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，其余的用作其他費用.目前該代辦點前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，日工資110元.代辦點正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后代辦點每日利潤的數(shù)學期望，若你是決策者，是否裁減工作人員1人？18．（12分）設函數(shù)，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若對所有的，都有，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）設，．（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；（Ⅱ）如果對于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍．20．（12分）某同學在研究性學習中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如下表所示：月份x12345y（萬盒）44566（1）該同學為了求出關于的線性回歸方程，根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經(jīng)正確計算出=0.6，試求出的值，并估計該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)；（2）若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的甲膠囊4盒和三月份生產(chǎn)的甲膠囊5盒，小紅同學從中隨機購買了3盒甲膠囊，后經(jīng)了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的所有甲膠囊均存在質量問題，記小紅同學所購買的3盒甲膠囊中存在質量問題的盒數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．21．（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面,,,,,分別是,的中點.（1）證明:;（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標(，)，直線l的極坐標方程為ρcos(θ－)＝a，．（1）若點A在直線l上，求直線l的直角坐標方程；（2）圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若直線與圓C相交的弦長為，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)導數(shù)的公式即可得到結論．【題目詳解】解：由，得故選：D．【題目點撥】本題考查了導數(shù)的基本運算，屬基礎題．2、B【解題分析】由題意得，，解得由于是等差數(shù)列，所以，選B.3、A【解題分析】

根據(jù)二項式定理展開式的通項公式，求出m，n的值，即可求出k的值．【題目詳解】展開式的通項公式為Tt+1＝x5﹣t（2y）t＝2tx5﹣tyt，∵kxmyn（k是實常數(shù)）是二項式（x﹣2y）5的展開式中的一項，∴m+n＝5，又m＝n+1，∴得m＝3，n＝2，則t＝n＝2，則k＝2t224×10＝40，故選A．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，結合通項公式建立方程求出m，n的值是解決本題的關鍵．4、D【解題分析】分析：解分式不等式先移項將一側化為0，通分整理，轉化為乘法不等式。詳解：，故選D。點睛：解分式不等式的解法要，先移項將一側化為0（本身一側為0不需要移項），通分整理，轉化為乘法不等式，但分母不能為0.5、B【解題分析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的判斷方法，確定數(shù)列為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的性質和前n項和公式，即可求得的值.詳解：，得數(shù)列為等差數(shù)列.由等差數(shù)列性質：，故選B.點睛：本題考查等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列的求和公式及性質，考查了推理能力和計算能力.等差數(shù)列的常用判斷方法(1)定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；(2)等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列;(3)通項公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(4)前項和公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(5)是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.6、B【解題分析】分析:由三視圖求出圓錐母線，高，底面半徑．進而求出錐體的底面積，代入錐體體積公式，可得答案．詳解:由已知中的三視圖，圓錐母線l=圓錐的高h=，圓錐底面半徑為r==2，由題得截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分為S=πr2+sin120°=π+，故幾何體的體積為：V=Sh=×（π+）×2=.故答案為：B．點睛：（1）本題主要考查三視圖找原圖，考查空間幾何體的體積的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象能力基本的計算能力.(2)解答本題的關鍵是弄清幾何體的結構特征并準確計算各幾何要素.7、C【解題分析】

令,可得,解方程,結合函數(shù)的圖象,可求出答案.【題目詳解】令,則,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函數(shù)的圖象,如下圖,時,;時,;時,.結合圖象,若,有3個解;若,無解;若,有1個解.所以函數(shù)的零點個數(shù)為4個.故選:C.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的性質,考查了函數(shù)的零點,考查了學生的推理能力,屬于中檔題.8、B【解題分析】

由題意，數(shù)表的每一行從右往左都是等差數(shù)列，且第一行公差為1,第二行公差為2,第三行公差為4,…,第2015行公差為，故第1行的從右往左第一個數(shù)為：，第2行的從右往左第一個數(shù)為：，第3行的從右往左第一個數(shù)為：，…第行的從右往左第一個數(shù)為：，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是.9、C【解題分析】試題分析：由，可得，∴z對應的點的坐標為（4，－2），故選C．考點：考查了復數(shù)的運算和復數(shù)與復平面內點的對應關系．點評：解本題的關鍵是根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)z，然后利用復數(shù)z所對應的點的橫坐標和縱坐標分別為為復數(shù)的實部和虛部，得出對應點的坐標．10、B【解題分析】分析：根據(jù)組合數(shù)的計算公式，即可求解答案.詳解：由題意且，，解得，故選B.點睛：本題主要考查了組合數(shù)的計算公式的應用，其中熟記組合數(shù)的計算公式是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力.11、C【解題分析】分析：根據(jù)f（x）為偶函數(shù)便可求出m=0，從而f（x）=，這樣便知道f（x）在[0，+∞）上單調遞減，根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，便可將自變量的值變到區(qū)間[0，+∞）上：，，，然后再比較自變量的值，根據(jù)f（x）在[0，+∞）上的單調性即可比較出a，b，c的大小．詳解：∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x）.∴，∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|，∴（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2，∴mx=0，∴m=0.∴f（x）=∴f（x）在[0，+∞）上單調遞減，并且,,c=f（0）,∵0＜log21.5＜1∴,故答案為C點睛：（1）本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調性，考查對數(shù)函數(shù)的性質，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是分析出函數(shù)f（x）=的單調性，此處利用了復合函數(shù)的單調性，當x>0時，是增函數(shù)，是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以函數(shù)是上的減函數(shù).12、D【解題分析】分析：函數(shù)在上單調遞增，即在上恒成立詳解：由在R上單調遞增可得在R上恒成立在R上恒成立解得綜上所述,答案選擇:D點晴：導數(shù)中的在給定區(qū)間單調遞增，即導函數(shù)在相應區(qū)間內≥0恒成立，在給定區(qū)間內單調遞減，即導函數(shù)≤0恒成立。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

轉化為，由于，即可得解.【題目詳解】又由于即故答案為：【題目點撥】本題考查了極坐標和直角坐標的互化，考查了學生概念理解，轉化劃歸的能力，屬于基礎題.14、【解題分析】分析：根據(jù)題意，設的坐標為，求出拋物線的準線方程，由拋物線的定義可得M到準線的距離也為1，則有，解可得的值，將的坐標代入拋物線的方程，計算可得的值，即可得答案．詳解：根據(jù)題意，設的坐標為拋物線y=4x2，其標準方程為，其準線方程為若到焦點的距離為，到準線的距離也為1，則有解可得又由在拋物線上，則解可得故答案為．點睛：本題考查拋物線的性質以及標準方程，關鍵是掌握拋物線的定義．15、【解題分析】

利用已知條件求出雙曲線的左頂點和右焦點坐標，寫出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式以及題的條件，列出方程得到的關系，然后求出雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】雙曲線的左頂點，右焦點，漸近線方程為，根據(jù)題意可得，整理得，因為，所以，所以，所以其漸近線方程為：，故答案是：.【題目點撥】該題考查的是有關雙曲線的漸近線的問題，涉及到的知識點有雙曲線的性質，點到直線的距離，屬于簡單題目.16、萬【解題分析】

將這名員工的月薪按照從小到大的順序排列后,正中間的數(shù)據(jù)就是中位數(shù).【題目詳解】將這名員工的月薪按照從小到大的順序排列如下:萬，萬，萬,萬，萬,萬，萬，根據(jù)中位數(shù)的定義可得這名員工月薪的中位數(shù)是:萬.故答案為:萬.【題目點撥】本題考查了中位數(shù)的概念,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）28533125（2）①15，②代辦點不應將前臺工作人員裁員1【解題分析】

（1）由題意得到樣本中包裹件數(shù)在101~300之間的概率為35，進而得到包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)服從二項分布X（2）①利用平均數(shù)的計算公式，求得樣本中每件快遞收取的費用的平均值，即可得到結論；②根據(jù)題意及①，分別計算出不裁員和裁員，代辦點平均每日利潤的期望值，比較即可得到結論.【題目詳解】（1）由題意，可得樣本中包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)為36，頻率f=36故可估計概率為35，顯然未來5天中，包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)服從二項分布，即X～故所求概率為1-P（（2）①樣本中快遞費用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量（單位：kg）12345快遞費（單位：元）1015202530包裹件數(shù)43301584故樣本中每件快遞收取的費用的平均值為10×43+15×30+20×15+25×8+30×4100故估計該代辦點對每件快遞收取的費用的平均值為15元.②代辦點不應將前臺工作人員裁員1人，理由如下：根據(jù)題意及（2）①，攪件數(shù)每增加1，代辦點快遞收入增加15（元），若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，代辦點每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)范圍0~100101~200201~300301~400401~500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實際攬件數(shù)50150250350450頻率0.10.10.50.20.1EY50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故代辦點平均每日利潤的期望值為260×15×13若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，代辦點每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)范圍0~100101~200201~300301~400401~500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實際攬件數(shù)50150250300300頻率0.10.10.50.20.1EY50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235則代辦點平均每日利潤的期望值為235×15×1故代辦點不應將前臺工作人員裁員1人.【題目點撥】本題主要考查了二項分布的應用，以及期望的求解及應用，其中解答中正確理解題意，熟記利用二項分布的概率計算方法，以及準確計算代辦點平均每日利潤的期望是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）令，求導得單調性，進而得，從而得證；（Ⅱ）記求兩次導得在遞增，又，進而討論的正負，從而得原函數(shù)的單調性，進而可求最值.試題解析：（Ⅰ）令，由∴在遞減，在遞增，∴∴即成立．（Ⅱ）記，∴在恒成立，，∵，∴在遞增，又，∴①當時，成立，即在遞增，則，即成立；②當時，∵在遞增，且，∴必存在使得．則時，，即時，與在恒成立矛盾，故舍去．綜上，實數(shù)的取值范圍是．點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調性和極值以及最值，最終轉化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉化為.19、（Ⅰ）M＝4；（Ⅱ）[1，＋∞).【解題分析】分析：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等價于g（x）max﹣g（x）min≥M；（II）對于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）max，進一步利用分離參數(shù)法，即可求得實數(shù)a的取值范圍；詳解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等價于g（x）max﹣g（x）min≥M∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴∴g（x）在（0，）上單調遞減，在（，2）上單調遞增∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1∴g（x）max﹣g（x）min=∴滿足的最大整數(shù)M為4；（II）對于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）max．由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x﹣x2lnx恒成立記h（x）=x﹣x2lnx，則h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0∴當時，h′（x）＞0；當1＜x＜2時，h′（x）＜0∴函數(shù)h（x）在（，1）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，∴h（x）max=h（1）=1∴a≥1點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調性和極值以及最值，最終轉化為，若恒成立，轉化為;（3）若恒成立，可轉化為.20、（1），6.1（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）由線性回歸方程過點（，）,可得,再求x=6時對應函數(shù)值即為6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)（2）先確定隨機變量取法：ξ=0，1，2，3，再利用組合數(shù)求對應概率，列表可得分布列，最