2024屆山西省長治市潞州區(qū)長治市第二中學(xué)校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆山西省長治市潞州區(qū)長治市第二中學(xué)校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知集合滿足，則集合的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．13．在極坐標(biāo)系中，由三條直線，，圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．4．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則()A．3 B．4 C．5 D．65．已知定義在上的函數(shù)與函數(shù)有相同的奇偶性和單調(diào)性，則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元一世紀(jì)左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就.其中《方田》一章中記載了計算弧田（弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形）的面積所用的經(jīng)驗公式：弧田面積=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為2π3，弦長為403m的弧田.其實際面積與按照上述經(jīng)驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為（）平方米.（其中A．15 B．16 C．17 D．187．過點的直線與函數(shù)的圖象交于，兩點，為坐標(biāo)原點，則（）A． B． C．10 D．208．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為（）A．n＋1 B．2n C． D．n2＋n＋19．某班某天上午有五節(jié)課，需安排的科目有語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，化學(xué)，其中語文和英語必須連續(xù)安排，數(shù)學(xué)和物理不得連續(xù)安排，則不同的排課方法數(shù)為（）A．60 B．48 C．36 D．2410．設(shè)A、B為非空集合,定義集合A*B為如圖非陰影部分表示的集合，若則A*B=（）A．（0，2） B．[0,1]∪[2，+∞） C．（1,2] D．[0,1]∪（2，+∞）11．若是互不相同的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中真命題是()A．若則B．若則C．若，，則D．若，，則12．已知橢圓的左焦點為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正方體ABCD-A1B1C1D14．高二（1）班有男生18人，女生12人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該班的全體同學(xué)中抽取一個容量為5的樣本，則抽取的男生人數(shù)為____.15．參加某項活動的六名人員排成一排合影留念，其中一人為領(lǐng)導(dǎo)人，則甲乙兩人均在領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)的概率為_______.16．＝________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在圓心角為，半徑為的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點為圓心，點在圓弧上，點在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鐵皮卷成一個以為母線的圓柱形鐵皮罐的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗)，設(shè)矩形的邊長，圓柱形鐵皮罐的容積為.（1）求圓柱形鐵皮罐的容積關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時，才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大？最大容積是多少？(圓柱體積公式：，為圓柱的底面枳，為圓柱的高）18．（12分）已知二次函數(shù)，設(shè)方程有兩個實根（Ⅰ）如果，設(shè)函數(shù)的圖象的對稱軸為，求證：；（Ⅱ）如果，且的兩實根相差為2，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是:每場投6個球,至少投進(jìn)4個球且最后2個球都投進(jìn)者獲獎;否則不獲獎.已知教師甲投進(jìn)每個球的概率都是.(Ⅰ)記教師甲在每場的6次投球中投進(jìn)球的個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(Ⅱ)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率.20．（12分）長時間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時長，分別從這兩個班中隨機(jī)抽取6名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)時長作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）.如果學(xué)生平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時長大于21小時，則稱為“過度用網(wǎng)”（1）請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計A，B兩班的學(xué)生平均每周上網(wǎng)時長的平均值；（2）從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個數(shù)據(jù)，求恰有1個數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率；（3）從A班、B班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù)，記“過度用網(wǎng)”的學(xué)生人數(shù)為，寫出的分布列和數(shù)學(xué)期望E.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求圓的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點為圓上一點，且點的極坐標(biāo)為，射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得射線，其中也在圓上，求的最大值．22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，且平面平面.（1）證明：（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：先設(shè)，再求導(dǎo)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最小值，再數(shù)形結(jié)合分析得到a的取值范圍.詳解：設(shè)所以當(dāng)x∈（-∞，-1）時，則函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)x∈（-1，+∞）時，，函數(shù)單調(diào)遞增.,當(dāng)a<0時，y=a(2x-1)單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾.當(dāng)a=0時，，與矛盾.當(dāng)a>0時，.直線y=a(2x-1)過點（）.設(shè)為曲線上任意一點，則過點的曲線的切線方程為.又因為切線過點（），所以，解得故切線的斜率k=或k=.所以即a∈，故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是求出過點（）的切線的斜率k=或k.2、B【解題分析】

利用列舉法，求得集合的所有可能，由此確定正確選項.【題目詳解】由于集合滿足，所以集合的可能取值為，共種可能.故選：B【題目點撥】本小題主要考查子集和真子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

求出直線與直線交點的極坐標(biāo)，直線與直線交點的極坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)直線與直線交點的極坐標(biāo)，則，得.設(shè)直線與直線交點的極坐標(biāo)，則，即，得.因此，三條直線所圍成的三角形的面積為，故選：B.【題目點撥】本題考查極坐標(biāo)系中三角形面積的計算，主要確定出交點的極坐標(biāo)，并利用三角形的面積公式進(jìn)行計算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.4、C【解題分析】

由又，可得公差，從而可得結(jié)果.【題目詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.5、D【解題分析】

先判斷的奇偶性及單調(diào)性，即可由為奇函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性解不等式，結(jié)合定義域即可求解.【題目詳解】函數(shù)，定義域為；則，即為奇函數(shù)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)單調(diào)遞減，由題意可得函數(shù)為在內(nèi)單調(diào)遞減的奇函數(shù)，所以不等式變形可得，即，則，解不等式組可得，即，故選：D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷，對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)應(yīng)用，由奇偶性及單調(diào)性解抽象不等式，注意定義域的要求，屬于中檔題.6、B【解題分析】分析：先根據(jù)經(jīng)驗公式計算出弧田的面積，再利用扇形面積減去三角形面積得實際面積，最后求兩者之差.詳解：因為圓心角為2π3，弦長為403m因此根據(jù)經(jīng)驗公式計算出弧田的面積為12實際面積等于扇形面積減去三角形面積，為12因此兩者之差為1600π3點睛：扇形面積公式12lr=127、D【解題分析】

判斷函數(shù)的圖象關(guān)于點P對稱，得出過點的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點時，得出A，B兩點關(guān)于點P對稱，則有，再計算的值．【題目詳解】，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，∴過點的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點，且A，B兩點關(guān)于點對稱，∴，則．故選D．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的對稱性，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，是中檔題．8、C【解題分析】1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區(qū)域；……，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個區(qū)域，選C.9、D【解題分析】

由排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題得：不同的排課方法數(shù)為，得解．【題目詳解】先將語文和英語捆綁在一起，作為一個新元素處理，再將此新元素與化學(xué)全排，再在3個空中選2個空將數(shù)學(xué)和物理插入即可，即不同的排課方法數(shù)為，故選：D．【題目點撥】本題考查了排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題，屬中檔題．10、D【解題分析】因為，所以A*B=[0,1]∪（2，+∞）.11、C【解題分析】

對于A，考慮空間兩直線的位置關(guān)系和面面平行的性質(zhì)定理；對于B，考慮線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理；對于C，考慮面面垂直的判定定理；對于D，考慮空間兩條直線的位置關(guān)系及平行公理.【題目詳解】選項A中，除平行外，還有異面的位置關(guān)系，則A不正確；選項B中，與的位置關(guān)系有相交、平行、在內(nèi)三種，則B不正確；選項C中，由，設(shè)經(jīng)過的平面與相交，交線為，則，又，故，又，所以，則C正確；選項D中,與的位置關(guān)系還有相交和異面，則D不正確；故選C.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)立體幾何問題，涉及到的知識點有空間直線與平面的位置關(guān)系，面面平行的性質(zhì)，線面垂直的判定，面面垂直的判定和性質(zhì)，屬于簡單題目.12、B【解題分析】

代入得，解得,由此可得三角形ABF為直角三角形．OF=5，即c=5.由橢圓為中心對稱圖形可知當(dāng)右焦點為時，,【考點定位】本題考查橢圓定義，解三角形相關(guān)知識以及橢圓的幾何性質(zhì)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60°【解題分析】

由正方體的性質(zhì)可以知道：DC1//AB1,根據(jù)異面直線所成角的定義,可以知道∠B1AD1【題目詳解】如圖所示：連接AB1,因為DC1//AB1,所以∠AB1、AD1、D1∠B1AD1=60°故答案為60°【題目點撥】本題考查了異面直線所成的角,掌握正方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14、3【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的比例求得.【題目詳解】由分層抽樣得抽取男生的人數(shù)為5×18故得解.【題目點撥】本題考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

首先求出六名人員排成一排合影留念的總的基本事件的個數(shù)，再求出一人為領(lǐng)導(dǎo)人，則甲乙兩人均在領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)的基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可．【題目詳解】解：根據(jù)題意，六名人員排成一排合影留念的總的基本事件的個數(shù)為，一人為領(lǐng)導(dǎo)人，則甲乙兩人均在領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)的基本事件的個數(shù)為，甲乙兩人均在領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)的概率為

故答案為：．【題目點撥】本題考查古典概型的求解，是基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

本題考查定積分因為，所以函數(shù)的原函數(shù)為，所以則三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），.【解題分析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根據(jù)周長公式得半徑，再根據(jù)圓柱體積公式求V(x)，最后根據(jù)實際意義確定定義域，（2）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得函數(shù)最值.詳解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，設(shè)圓柱底面半徑為r，則＝2πr，即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，即鐵皮罐的容積為V(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為V(x)＝，定義域為(0，60).（2）由V′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．列表如下：x(0，20)20(20，60)V′(x)＋0－V(x)↗極大值V(20)↘所以當(dāng)x＝20時，V(x)有極大值，也是最大值為.答：當(dāng)x為20cm時，做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大，最大容積是.點睛：利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用或求單調(diào)區(qū)間；第二步：解得實根；第三步：比較實根同區(qū)間端點的大小；第四步：求極值；第五步：比較極值同端點值的大?。?8、(1)見解析（2）【解題分析】分析：（1）有轉(zhuǎn)化為有兩根：一根在與之間，另一根小于，利用一元二次方程的根分布可證；（2）先有，知兩根同號，在分兩根均為正和兩根均為負(fù)兩種情況的討論，再利用兩個之和與兩根之積列不等式可求的取值范圍.詳解：（1）設(shè)，且，則由條件x1<2<x2<4得（2），又或綜上：點睛：利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍問題，通常有兩種解法：一種是利用方程中根與系數(shù)的關(guān)系或利用函數(shù)思想結(jié)合圖象求解；二種是構(gòu)造兩個函數(shù)分別作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解，此類題目也體現(xiàn)了函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的思想.19、(Ⅰ)X的分布列X

0

1

2

3

4

5

6

P

數(shù)學(xué)期望；(Ⅱ).【解題分析】

試題分析：(Ⅰ)先定出X的所有可能取值，易知本題是6個獨立重復(fù)試驗中成功的次數(shù)的離散概率分布，即為二項分布.由二項分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根據(jù)比賽獲勝的規(guī)定，教師甲前四次投球中至少有兩次投中，后兩次必須投中，即可能的情況有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1種情況有種可能，第2中情況有（或）種可能.將上述三種情況的概率相加即得到教師甲獲勝的概率.試題解析：(Ⅰ)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.依條件可知，X的分布列為：X

0

1

2

3

4

5

6

P

.或因為，所以.即的數(shù)學(xué)期望為4.7分(Ⅱ)設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，則答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為.考點：1.二項分布；2.離散型隨機(jī)變量的分布列與期望；3.隨機(jī)事件的概率.20、（1）19小時；22小時.（2）（3）分布列見詳解；.【解題分析】

（1）根據(jù)平均數(shù)計算公式，分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可；（2）根據(jù)二項分布的概率計算公式即可求得；（3）根據(jù)題意寫出的取值范圍，再根據(jù)古典概型概率計算公式求得對應(yīng)概率，寫出分布列，根據(jù)分布列求得期望.【題目詳解】（1）A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時間19小時；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時間22小時.（2）因為從A班的6個樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取1個的數(shù)據(jù)，為“過度用網(wǎng)”的概率是，根據(jù)二項分布的概率計算公式：