2024屆清華大學數(shù)學高二下期末質量檢測試題含解析

2024屆清華大學數(shù)學高二下期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．至少有一個白球；紅、黑球各一個 D．恰有一個白球；一個白球一個黑球2．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，，若，，，則的大小關系是A． B． C． D．3．復數(shù)z=i·(1+i)(i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．有一散點圖如圖所示，在5個數(shù)據(jù)中去掉（3，10）后，下列說法正確的是（）A．殘差平方和變小 B．方差變大C．相關指數(shù)變小 D．解釋變量與預報變量的相關性變弱5．給出下列命題：①過圓心和圓上的兩點有且只有一個平面②若直線與平面平行，則與平面內的任意一條直線都沒有公共點③若直線上有無數(shù)個點不在平面內，則④如果兩條平行線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行⑤垂直于同一個平面的兩條直線平行其中正確的命題的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．46．以下四個命題，其中正確的個數(shù)有（）①由獨立性檢驗可知，有的把握認為物理成績與數(shù)學成績有關，某人數(shù)學成績優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀.②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1；③在線性回歸方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預報變量平均增加0.2個單位；④對分類變量與，它們的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關系”的把握程度越大.A．1 B．2 C．3 D．47．已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，m,n滿足m<n且f(m)=n-m，f(n)=m-nA．f(x)+x<n B．f(x)+x>mC．f(x)-x<0 D．f(x)-x>08．過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，其中點，且，則（）A． B． C． D．9．已知點為雙曲線上一點，則它的離心率為（）A． B． C． D．10．給出定義：設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.已知函數(shù)的拐點是，則（）A． B． C． D．111．設集合A={x|x>0}，B={x|x2-5x-14<0}，則A．{x|0<x<5} B．{x|2<x<7}C．{x|2<x<5} D．{x|0<x<7}12．已知的展開式中，含項的系數(shù)為70，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．-1 C．2 D．-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中的系數(shù)為__________．14．已知函數(shù)，，若方程有個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是______.15．已知函數(shù)存在極小值，且對于的所有可能取值，的極小值恒大于0，則的最小值為__________．16．已知隨機變量的分布列如下，那么方差_____.012三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定義域為R的函數(shù)f（x）＝是奇函數(shù)，且a∈R．（1）求a的值；（2）設函數(shù)g（x）＝，若將函數(shù)g（x）的圖象向右平移一個單位得到函數(shù)h（x）的圖象，求函數(shù)h（x）的值域．18．（12分）各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，前項和為，且．（1）求的通項公式：（2）若數(shù)列滿足，求的前項和．19．（12分）已知平面內點到點的距離和到直線的距離之比為，若動點P的軌跡為曲線C．（I）求曲線C的方程；（II）過F的直線與C交于A，B兩點，點M的坐標為設O為坐標原點.證明：．20．（12分）已知函數(shù).[來源:]（1）當時，解不等式；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知sinα=-817且π<α<3π2，求sin22．（10分）在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)若點在曲線上,點在曲線上,求的最小值及此時點的直角坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由題意逐一考查所給的事件是否互斥、對立即可求得最終結果.【題目詳解】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，逐一分析所給的選項：在A中，至少有一個白球和都是白球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一個白球和至少有一個紅球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一個白球和紅、黑球各一個兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故C成立；在D中，恰有一個白球和一個白球一個黑球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立；本題選擇C選項.【題目點撥】“互斥事件”與“對立事件”的區(qū)別：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．2、D【解題分析】函數(shù)的圖象關于直線對稱,所以為偶函數(shù)，當時，，函數(shù)單增，;，,因為,且函數(shù)單增，故,即，故選D.3、B【解題分析】，故對應的點在第二象限.4、A【解題分析】

由散點圖可知，去掉后，與的線性相關性加強，由相關系數(shù)，相關指數(shù)及殘差平方和與相關性的關系得出選項.【題目詳解】由散點圖可知，去掉后，與的線性相關性加強，且為正相關，所以變大，變大，殘差平方和變小，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關線性相關性強弱的問題，涉及到的知識點有相關系數(shù)，相關指數(shù)，以及殘差平方和與相關性的關系，屬于簡單題目.5、B【解題分析】

依照立體幾何相關知識，逐個判斷各命題的真假?！绢}目詳解】在①中，當圓心和圓上兩點共線時，過圓心和圓上的兩點有無數(shù)個平面，故①錯誤；在②中，若直線與平面平行，則與平面內的任意一條直線平行或異面，都沒有公共點，故②正確；在③中，若直線上有無數(shù)個點不在平面內，則與相交或平行，故③錯誤；在④中，如果兩條平行線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行或在這個平面內，故④錯誤；在⑤中，由線面垂直的性質定理得垂直于同一個平面的兩條直線平行，故⑤正確．故選．6、B【解題分析】對于命題①認為數(shù)學成績與物理成績有關，不出錯的概率是99%，不是數(shù)學成績優(yōu)秀，物理成績就有99%的可能優(yōu)秀，不正確；對于④，隨機變量K2的觀測值k越小，說明兩個相關變量有關系的把握程度越小，不正確；容易驗證②③正確，應選答案B。7、A【解題分析】

設A(m,n-m)，B(n,m-n)，求出直線AB的方程，根據(jù)f(x)的開口方向可得到f(x)與直線AB【題目詳解】設A(m,n-m)，B(n,m-n)，則直線AB的方程為y=-2x+m+n，即A,B為直線y=-2x+m+n與f(x)的圖像的兩個交點，由于f(x)圖像開口向上，所以當m<x<n時，f(x)<-2x+m+n，即f(x)+x<-x+m+n<n【題目點撥】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的關系，求出AB直線是解決本題的關鍵，意在考查學生的轉化能力，邏輯推理能力及計算能力，難度中等.8、C【解題分析】

由已知可得，再由，即可求出結論.【題目詳解】因為拋物線的準線為，點在拋物線上，所以，.故選：C【題目點撥】本題考查拋物線的標準方程，應用焦半徑公式是解題的關鍵，屬于基礎題.9、B【解題分析】

將點P帶入求出a的值，再利用公式計算離心率。【題目詳解】將點P帶入得，解得所以【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率，屬于基礎題。10、D【解題分析】

遇到新定義問題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，在該題中求出原函數(shù)的導函數(shù)，再求出導函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)的導函數(shù)等于0，即可得到拐點，問題得以解決．【題目詳解】解：函數(shù)，，，因為方程有實數(shù)解，則稱點，為函數(shù)的“拐點”，已知函數(shù)的“拐點”是，所以，即，故選：．【題目點撥】本題考查導數(shù)的運算．導數(shù)的定義，和拐點，根據(jù)新定義題，考查了函數(shù)導函數(shù)零點的求法；解答的關鍵是函數(shù)值滿足的規(guī)律，屬于基礎題11、D【解題分析】試題分析：由B={x|x2-5x-14<0}={x|-2<x<7}，所以考點：集合的運算．12、A【解題分析】

分析：由題意結合二項式展開式的通項公式得到關于a的方程，解方程即可求得實數(shù)a的值.詳解：展開式的通項公式為：，由于，據(jù)此可知含項的系數(shù)為：,結合題意可知：，解得：.本題選擇A選項.點睛：(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、45【解題分析】分析：根據(jù)展開式的通項公式，求出展開式中的系數(shù)，即可得出的展開式中的系數(shù)是多少.詳解：展開式的通項公式為：，令，得的系數(shù)為，且無項，的展開式中的系數(shù)為45.故答案為：45.點睛：求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可．14、.【解題分析】

根據(jù)和的圖象，可得當且僅當有四解時，符合題意．令，此時，，，，根據(jù)判別式可列出關于的不等式，進而可求的取值范圍.【題目詳解】解：，，可得在遞增，在遞減，則的圖象如下：當時，圖象如圖，此時無解，不符合題意當時，圖象如圖，此時無解，不符合題意當時，函數(shù)的圖象如下：令，當時，方程只有一解，當且僅當有四解時，符合題意．此時四解，，，．則，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【題目點撥】本題考查了復合函數(shù)的零點問題，考查了數(shù)形結合的思想.15、【解題分析】因，故有解，即有解．令取得極小值點為，則，則函數(shù)的極小值為，將代入可得，由題設可知，令，則，由，即當時，函數(shù)取最小值，即，也即，所以，即，應填答案．點睛：本題是一道較為困難的試題．求解思路是先確定極小值的極值點為，則，進而求出函數(shù)的極小值，通過代入消元將未知數(shù)消掉，然后求函數(shù)的最小值為，從而將問題轉化為，然后通過解不等式求出即．16、【解題分析】

由離散型隨機變量的分布列的性質求出，然后求出，即可求出.【題目詳解】解：由離散型隨機變量的分布列的性質得：，解得：，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量方差的求法，是基礎題，注意離散型隨機變量的分布列的性質的合理運用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題意可得，解方程可得的值，即可求得的值；（2）求得，由圖象平移可得，再由指數(shù)函數(shù)的值域，即可求解，得到答案．【題目詳解】(1)由題意，函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，所以，即，所以，經檢驗時，是奇函數(shù).(2)由于，所以，即，所以，將的圖象向右平移一個單位得到的圖象，得，所以函數(shù)的值域為．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應用，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用，以及圖象的變換，著重考查了變形能力，以及推理與運算能力，屬于基礎題．18、(1)；(2)【解題分析】

（1）已知，可得，則，并驗證時，是否滿足等式，從而知數(shù)列是等差數(shù)列，求其通項即可。（2）因為=，是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對應項的積組成的數(shù)列，用錯位相減法即可求和。【題目詳解】（1）因為，①所以當時，②①-②得：，因為的各項均為正數(shù)，所以，且，所以由①知，，即，又因為，所以故，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列（2）由（1）得，所以，③④③-④得，當且時，，；當時，由③得綜上，數(shù)列的前項和【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列以及數(shù)列的求和。利用等比數(shù)列求和公式時，當公比是字母時，要注意討論公式的范圍。屬于中檔題。19、（I）（II）見解析【解題分析】

（I）根據(jù)題目點到點的距離和到直線的距離之比為，列出相應的等式方程，化簡可得軌跡C的方程；（II）對直線分軸、l與x軸重合以及l(fā)存在斜率且斜率不為零三種情況進行分析，當l存在斜率且斜率不為零時，利用點斜式設直線方程，與曲線C的方程進行聯(lián)立，結合韋達定理，可推得，從而推出．【題目詳解】解：（I）∵到點的距離和到直線的距離之比為.∴，.化簡得：．故所求曲線C的方程為：.（II）分三種情況討論：1、當軸時，由橢圓對稱性易知：．2、當l與x軸重合時，由直線與橢圓位置關系知：3、設l為：，，且，，由化簡得：，∴，設MA,MB，所在直線斜率分別為：，，則此時，．綜上所述：.【題目點撥】本題主要考查了利用定義法求軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題．解決直線與圓錐曲線位置關系中常用的數(shù)學方法思想有方程思想，數(shù)形結合思想以及設而不求的整體代入的技巧與方法．20、【解題分析】試題分析：（1）當時，，根據(jù)絕對值的幾何意義按，，分類討論得到：，然后分區(qū)間解不等式或或，得到的范圍分別