小升初銜接數(shù)學(xué)講義

第一講數(shù)系擴(kuò)張一有理數(shù)（一）有3個(gè)有理數(shù)a,b,c,兩兩不等，那么中有幾個(gè)負(fù)數(shù)？

一，【問(wèn)題引入及歸納】■尿設(shè)三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可表示為1,的形式式，又可表

1,正負(fù)數(shù)，數(shù)軸，相反數(shù)，有理數(shù)等概念。

示為0,力的形式，求/儂+戶(hù)07。

2,有理數(shù)的兩種分類(lèi)：a

3,有理數(shù)的本質(zhì)定義，能表成?互質(zhì)）。三個(gè)有理數(shù)a,h,c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且

n

4,性質(zhì)：①順序性（可比較大?。?；x"+_L+￡+叫四+國(guó)貝小加+5+|的值是多少？

|a|\b\|c|ahbeac

②四則運(yùn)算的封閉性（0不作除數(shù)）；

Mo7

③稠密性：隨意兩個(gè)有理數(shù)間都存在無(wú)數(shù)個(gè)有理數(shù)。若a,4c為整數(shù),且|a-br0+|c-a1=1,試求|c-a|+|a-Z）|+W-c|的值。

5,肯定值的意義及性質(zhì)：三，課堂備用練習(xí)題。

①②非負(fù)性（|止0,〃2±0）1,計(jì)算：1+2-3-4+5+6-7-8+-+2005+2006

2,計(jì)算：lX2+2X3+3X4+—+n（n+l）

③非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：i）非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)。3,計(jì)算：5+9+17+33+65+129_13

248163264

ii）幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則他們都為0。

4,已知a*為非負(fù)整數(shù)，且滿(mǎn)意la-〃+曲=1,求〃涉的全部可能值。

【典型例題解析】：

蕉）若加o,則回+回-她的值等于多少？5,若三個(gè)有理數(shù)“Ac滿(mǎn)意，求的值。

abab

假如，"是大于1的有理數(shù)，那么，”肯定小于它的（D）第二講數(shù)系擴(kuò)張一有理數(shù)（二）

A.相反數(shù)B.倒數(shù)C.肯定值D.平方

?已知兩數(shù)°,〃互為相反數(shù)，c,"互為倒數(shù)，*的肯定值是2,求一，【實(shí)力訓(xùn)練點(diǎn)】：

x2-（a+b+cd）x+（a+b產(chǎn)+（-cd產(chǎn)，的值。1,肯定值的幾何意義

■）假如在數(shù)軸上表示a,力兩上實(shí)數(shù)r------0-6--------*①"Ra-0|表示數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

點(diǎn)的位置，如下圖所示，那么|a-b|+|a+b|化簡(jiǎn)②|a-“表示數(shù)a,。對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離。

的結(jié)果等于（）2,利用肯定值的代數(shù)，幾何意義化簡(jiǎn)肯定值。

A.2aB.-2aC.0D.2b二，【典型例題解析］:

已知（a-3）2+2-2|=0,求/的值是（）(1)若-2WaVO,化簡(jiǎn)|a+2|+|a-2|

A.2B.3C.9D.6（2）若XYO,化簡(jiǎn)

解答：4,x是什么樣的有理數(shù)時(shí)，下列等式成立？

設(shè)OYO,且，化|x+11-1x-21(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|(2)|(7x+6)(3%-5)|=(7.r+6)(3%-5)

解答：5,化簡(jiǎn)下式：

?,。是有理數(shù)，下列各式對(duì)嗎？若不對(duì)，應(yīng)附加什么條件？

(1)|a+〃=|a|+|b|;(2)|必|=|0|勿;第三講數(shù)系擴(kuò)張一有理數(shù)(三)

(3)\a-b\=^b-a\;(4)若|a|=/：)則a=b

一，【實(shí)力訓(xùn)練點(diǎn)】：

(5)若|a|Y〃，則aYb(6)若a>b,則|aI*/?|

1,運(yùn)算的分級(jí)及運(yùn)算順序；

解答：

2,有理數(shù)的加，減，乘，除及乘方運(yùn)算的法則。

若|x+5|+|x-2|=7,求x的取值范圍。

(1)加法法則：同號(hào)相加取同號(hào)，并把肯定值相加；異號(hào)相加取肯定值

解答：

較大數(shù)的符號(hào)，并用較大肯定值減較小肯定值：一個(gè)數(shù)同零相加得原數(shù)。

不相等的有理數(shù)a*,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,假如

(2)減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

\a-b\+\b-c\^a-c\,那么B點(diǎn)在A,C的什么位置?

(3)乘法法則：幾個(gè)有理數(shù)相乘，奇負(fù)得負(fù)，偶負(fù)得正，并把肯定值相

解答：

乘。

設(shè)“YbYCY",求|x-a|+|x-〃|+|x-c|+|x-的最小值。

(4)除法法則：除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

解答：

3,精確運(yùn)用各種法則及運(yùn)算順序解題，養(yǎng)成良好思維習(xí)慣及解題習(xí)慣。

abcde是一個(gè)五位數(shù)，aYbYCYd,求|a-"+|6-c[+|c-d|+|d-e|的最大值。

二，【典型例題解析】：

解答：

計(jì)算：0.75+(省+(毋125)+卜吟卜(司

設(shè)％,外,aw都是有理數(shù)，令M=(q+%+%+…+a2m5)

解答：

(%+%+%■I---2---Fa2ml6)(%+/+%H200s)，試比較M,N的大

計(jì)算：(1),56+(-0,9)4-4.4+(-8,1)4-1

小。

解答：(2),(-18.75)+(+6.25)+(-3.25)+18.25

三，【課堂備用練習(xí)題】：(3),(-41)+閶+(詞+圜

1,已知f(x)=|x-l|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2002|求/出的最小值。

解答：

2,若]a+Z)+ll及(a-b+l)2互為相反數(shù)，求3a+&-l的值。

計(jì)算:①卜3.12積-甲-(+1.75)

3,假如ab"(),求的值。

①湊整（湊0）；②巧用安排律

③去，添括號(hào)法則；④裂項(xiàng)法

4,綜合運(yùn)用有理數(shù)的知識(shí)解有關(guān)問(wèn)題。

二，【典型例題解析】：

1計(jì)算0.7x16.6x--2.2-i—F0.7x—+3.3-；—

1173118

解答：

計(jì)算：（1—------）-（1-1-1..........................—）

2319962341997231997

解答：解答：

計(jì)算：①-22+（-2）2-|3.14-T|-備T-3.14I

計(jì)算：（1）（-2），+3x（-iy-（-I）4

解答：

（2）-lIW8-（l-0.5）xlx[3-（-3）2]

化簡(jiǎn)：（x+y）+（2x+，^y）+（3x+2＞）+…（9x+焉力并求當(dāng)x=2,

（3）自（21梟卜弓卜“24

y=9時(shí)的值。

解答：

解答：

計(jì)算：[1+專(zhuān)一㈢x（-2,*（-10-5-0.5）

?計(jì)算…斜導(dǎo)導(dǎo)…碧

解答：

解答：

■）計(jì)算：

比較S”=；+；+（+尚+…+提及2的大小。

解答：

解答：

第四講數(shù)系擴(kuò)張一有理數(shù)（四）計(jì)算：

一，【實(shí)力訓(xùn)練點(diǎn)】：解答：

1,運(yùn)算的分級(jí)及運(yùn)算順序；■）已知a,B是有理數(shù)，且“Y〃，含，，，請(qǐng)將a,Ac,x”按從小到大的順序排

2,有理數(shù)的加，減，乘，除及乘方運(yùn)算的法則。列。

3,巧算的一般性技巧：

解答:(9)能被5整除的數(shù)。

(10)隨意一個(gè)三位數(shù)。

三，【備用練習(xí)題】：

:。代數(shù)式的求值：

1,計(jì)算(1)—+—+—4--!—+—!—(2)-^-+—?—+??.+——-——

428701302081x33x599x101(1)已知，求代數(shù)式的值。

2,計(jì)算：2007--2006-+2005--2004-+.

232323(2)已知x+2.y2+5的值是7,求代數(shù)式3x+6f+4的值。

3,計(jì)算：(-J)x(Tg)x(T()x…(3)已知a=2Z?;c=5a,求的值(c工0)

4,假如-1)2+16+21=0,求代數(shù)式的值。(4)已知，求的值。

5,若明力互為相反數(shù)，c,4互為倒數(shù)，■的肯定值為2,(5)已知：當(dāng)x=l時(shí)，代數(shù)式外、爾+1的值為2007,求當(dāng)x=-l時(shí)，代

a2-b2+—+的值。數(shù)式Px3+辦+1的值。

cd

(6)已知等式(2人-7如+(34-8為=8工+10對(duì)一切工都成立，求A,B的值。

第五講代數(shù)式(一)

(7)已知(1+工尸。7)=々+以+以2+加，求4+b+C+d的值。

一，【實(shí)力訓(xùn)練點(diǎn)】：(8)當(dāng)多項(xiàng)式+〃l1=0時(shí)，求多項(xiàng)式n?+2nr+2006的值。

?找規(guī)律：

(1)列代數(shù)式；(2)代數(shù)式的意義；

(3)代數(shù)式的求值(整體代入法)I.(1)(1+2)2-12=4(1+1);(2)(2+2>-2：=4(2+1)

二，【典型例題解析】：(3)(3+2)2-3?=4(3+1)(4)(4+2)2-4?=4(4+1)

用代數(shù)式表示：第N個(gè)式子呢？

(1)比X與了的和的平方小X的數(shù)。II.已知；；

(2)比a與6的積的2倍大5的數(shù)。；若

(3)甲乙兩數(shù)平方的和(差)。

(明方為正整數(shù))，求"+方=?

(4)甲數(shù)及乙數(shù)的差的平方。

III.13=12;13+25=32;13+23+33=62;15+23+33+43=102;

(5)甲，乙兩數(shù)和的平方及甲乙兩數(shù)平方和的商。

想：

(6)甲，乙兩數(shù)和的2倍及甲乙兩數(shù)積的一半的差。

例4(如右圖)三個(gè)圓的面積為K,兩個(gè)陰影部分面

(7)比a的平方的2倍小1的數(shù)。

積相等，/以下的面積是9,三個(gè)圓覆蓋的面積是2K+2,求K

(8)隨意一個(gè)偶數(shù)(奇數(shù))

的值。/已知,+,"-1=0,求加+2己+2005的值o

假如a+19=b+9=c+8,則(a-")2+S-c)2+(c-a)2等于多少？解答：

兩個(gè)自然數(shù)的和及差的乘積是1996,求兩數(shù)的和？已知-""1=,求3,“2--2"?的值。

三，【備用練習(xí)題工解答：

1,若(,"+”)個(gè)人完成一項(xiàng)工程須要，“天，貝U”個(gè)人完成這項(xiàng)工程須要多少；?)已知。力均為正整數(shù)，且他=1,求的值。

天？

解答：

2,已知代數(shù)式3y2-2)，+6的值為8,求代數(shù)式的值。

求證!1[.黎22二2,等于兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積。

3,某同學(xué)到集貿(mào)市場(chǎng)買(mǎi)蘋(píng)果，買(mǎi)每千克3元的蘋(píng)果用去所帶錢(qián)數(shù)的一半，2006個(gè)I2006個(gè)2

解答：

而余下的錢(qián)都買(mǎi)了每千克2元的蘋(píng)果，則該同學(xué)所買(mǎi)的蘋(píng)果的平均價(jià)格是每千

；?已知/C=l,求」一+，—+的值。

克多少元？ab+a+1bc+b+\ac+c+1

解答：

4,已知(“=1,2,3,…,2006)求當(dāng)。[=1時(shí)，q%+。洶+…+0MoM0m=?

[.一堆蘋(píng)果，若干個(gè)人分，每人分4個(gè)，剩下9個(gè)，若每人分6個(gè)，最終

第六講代數(shù)式(二)

一，【實(shí)力訓(xùn)練點(diǎn)】：一個(gè)人分到的少于3個(gè)，問(wèn)多少人分蘋(píng)果？

(1)同類(lèi)項(xiàng)的合并法則；解答：

(2)代數(shù)式的整體代入求值。三，【備用練習(xí)題】：

二，【典型例題解析】：1,已知必=1,比較M,N的大小。

^已知多項(xiàng)式2>+5/-9*)3+3x+3,uy2-0iy+7經(jīng)合并后，不含有「的項(xiàng)，求2,已知求丁-2工+1的值。

2雨+"的值。3,已知上=上=二=/，求K的值。

y+zx+zx+y

解答：4,a=3",b=4",c=5,",比較a,b,c的大小。

當(dāng)50-(2a+3〃)2達(dá)到最大值時(shí)，求1+4〃2-9必的值。5,已知2/-3a-5=0,求4/-12/+9"-10的值。

解答：第七講發(fā)覺(jué)規(guī)律

已知多項(xiàng)式2"-/+a-5及多項(xiàng)式N的2倍之和是4a*-2a2+2a-4>求N?

一，【問(wèn)題引入及歸納】

解答：

我國(guó)聞名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來(lái)，再

,'.、?a若a,4c互異，且，求x+y+Z的值。

從理論上來(lái)證明這一規(guī)律的一般性，這是人們相識(shí)客觀法則的方法之一”。這種

解答：

以退為進(jìn)，找尋規(guī)律的方法，對(duì)我們解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題有重要指導(dǎo)作用，下面舉

例說(shuō)明。讀一讀:式子“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然

實(shí)力訓(xùn)練點(diǎn)：視察，分析，猜想，歸納，抽象，驗(yàn)證的思維實(shí)力。數(shù)的和，由于上述式子比較長(zhǎng)，書(shū)寫(xiě)也不便利，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們可將

100

二，【典型例題解析】“1+2+3+4+5+…+100”表示為￡“，這里“Z”是求和符號(hào)，例如“1+3+5+7+9+…

■＞）視察算式：?=1

+99”（即從1開(kāi)始的100以?xún)?nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為又如

1+3=劍③氾,1+3+5="21+3+5+7空至4+3+5+7+9="以,…，按規(guī)律KI5+23+33+4,+53+6,+75+8'+9'+10'"可表示為,同學(xué)們,通過(guò)以上材料的閱讀，

2222

填空:1+3+5+???+99=?,1+3+5+7+???+（2〃-1）=?請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）2+4+6+8+10+-+100（即從2開(kāi)始的100以?xún)?nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求

?;如圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子。視察圖形的變化規(guī)律，

和符號(hào)可表示為；

寫(xiě)出第"個(gè)小房子用了多少塊石.A

????（2）計(jì)算：=（填寫(xiě)最終的計(jì)算結(jié)果）。

子T？?????:????:?:?:?:?:■視察下列各式，你會(huì)發(fā)覺(jué)什么規(guī)律？

:?用黑，白兩種顏色的正::::::::::::::六

3X5=15,而15=4?-15X7=35,而35=6?T……

邊形地面磚（如圖所示）的規(guī)律，拼

11X13=143,而143=12-1.......

成若干個(gè)圖案：（1）第3個(gè)圖案中有白色地面磚多少塊？（2）第〃個(gè)圖案中有

將你猜想的規(guī)律用只含一個(gè)字母的式子表示出來(lái)。

白色地面磚多少塊？

；■）你從右表歸納出計(jì)算r+2，+33+…+/的分式,并算出「+2：'+3：'+…+100：'的

■）視察下列一組圖形，如圖，依據(jù)其變化規(guī)律，可得第10個(gè)圖形中三角

值。

形的個(gè)數(shù)為多少？第〃個(gè)圖形中三角A△

視察右圖，回答下列問(wèn)題：XX旨0②三，【跟蹤訓(xùn)練題】1所在學(xué)校姓名聯(lián)系

③④

1,有一列數(shù)4,%,%必…%,其中：a,=6X2+1,%=6X3+2,%=6X4+3,%=6

（1）圖中的點(diǎn)被線段隔開(kāi)分成四層，則第一層有1個(gè)Um

X5+4;…則第"個(gè)數(shù)a“=,當(dāng)%=2001時(shí)，，尸。

點(diǎn)，第二層有3個(gè)點(diǎn)，第三層有多少個(gè)點(diǎn)，第四層有多少

2,將正偶數(shù)按下表排成5列

個(gè)點(diǎn)?

第1列第2列第3列第4列第5列

（2）假如要你接著畫(huà)下去，那第五層應(yīng)當(dāng)畫(huà)多少個(gè)點(diǎn),

第一行2468

第n層有多少個(gè)點(diǎn)？

第：行16141210

（3）某一層上有77個(gè)點(diǎn)，這是第幾層？

第三行18202224

（4）第一層及第二層的和是多少？前三層的和呢？前4層的和呢？你有沒(méi)

..........2826

有發(fā)覺(jué)什么規(guī)律？依據(jù)你的推想，前12層的和是多少？

依據(jù)上面的規(guī)律，則2006應(yīng)在行列。

3,已知一個(gè)數(shù)列2,5,9,14,20,x,35…則x的值應(yīng)為：()時(shí)，n4n+41的值是什么？這位學(xué)者結(jié)論正確嗎？

4,在以下兩個(gè)數(shù)串中：10,計(jì)算2008層1-------L------

1,3,5,7,…，1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,???,

搐八千T1一綜合練習(xí)(一)

1990,1993,1996,1999,同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)數(shù)共有()個(gè)。

A.333B.334C.335D.3361,若,求的值。I—J13

5,學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌，假△△2,已知|x+y-9|及(2x-y+3)2互翔目反數(shù)，求

如多于4人，就把方桌拼成一行，2張方桌△△△

3,己知|x-2|+x-2=0,求x的范圍。

拼成一行能坐6人(如右圖所示)依據(jù)這△△

種規(guī)定填寫(xiě)下表的空格：4,推斷代數(shù)式的正負(fù)。

拼成一行的桌子數(shù)123???n

5,若，求的值。

人數(shù)46???

2

6,右'|ab-21+(b-I)=0,AR-—I----------4----------F?■■

6,給出下列算式:ab(a+1)3+1)(a+2)(b+2)

視察上面的算式，你能發(fā)覺(jué)什么規(guī)律，用代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律:7,已知-2YXY3,化簡(jiǎn)|X+2|-|X-3|

7,通過(guò)計(jì)算探究規(guī)律：8,已知ab互為相反數(shù)，c,4互為倒數(shù)，，"的肯定值等于2,P是數(shù)軸上的表

15，=225可寫(xiě)成100X1X(1+1)+25

示原點(diǎn)的數(shù)，求的值。

25^=625可寫(xiě)成100X2X(2+1)+25

9,問(wèn)口中應(yīng)填入什么數(shù)時(shí)，才能使|2006*口-2006|=2006

35?=1225可寫(xiě)成100X3X(3+1)+25

45三2025可寫(xiě)成100X4X(4+1)+2510,域也c在數(shù)軸上的位置如圖所一-----一-------_?示，

卜aQc1x

75-=5625可寫(xiě)成化簡(jiǎn)：

歸納，猜想得：(10n+5)J|a+/?|+|/?-l|-|a-c|-|l-c|-|2t-3|

依據(jù)猜想計(jì)算：1995!

11,若“(UYO,求使|x-a|+|x-b|=|a-〃|成立的x的取值范圍。

8,已知『+22+3?+…+1=1"("+1)(2"+1),計(jì)算:

6J

12計(jì)算，(2+1)(2?+1)(2+1)(2*+1)(2"+1)

112+122+132+—+192-；

9,從古到今，全部數(shù)學(xué)家總盼望找到一個(gè)能表示全部質(zhì)數(shù)的公式，有位學(xué)者]3已知2004x2004-2004fc_2005x2005-2005

'，0~~2003x2003+2003)2004x2004+2004,

提出：當(dāng)n是自然數(shù)時(shí)，代數(shù)式i?+n+41所表示的是質(zhì)數(shù)。請(qǐng)驗(yàn)證一下，當(dāng)n=40

2006x2006-20063，

c=---------------,本abco已知x=l是方程的解，求代數(shù)式("/-7,”+9嚴(yán)，的值。

2005x2005+2005

解答：

14,已知，求P,4的大小關(guān)系。

關(guān)于x的方程(2￡T)x=6的解是正整數(shù)，求整數(shù)K的值。

15,有理數(shù)a也c均不為0,且〃+"c=0。設(shè),yKL+曳+里求代數(shù)式

b+cc+aa+b解答：

/-99x+2008的值。

就若方程及方程2s-個(gè)=2-平同解，求，”的值。

期解答：4(，

第九講一元一次方程(一)

關(guān)于x的一兀―"次方程(nr-l"-Q"+l)x+8=0求代數(shù)式200("?+x)(x-2,")+,"的

知識(shí)點(diǎn)歸納：變形名具體做法變形依重點(diǎn)提值。

1,等式的性質(zhì)。解答:

稱(chēng)據(jù)示

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