大學(xué)微積分上冊等價無窮小量的比較與應(yīng)用課件

大學(xué)微積分上冊等價無窮小量的比較與應(yīng)用課件匯報人：AA2024-01-25等價無窮小量基本概念與性質(zhì)等價無窮小量比較方法等價無窮小量在極限計算中應(yīng)用等價無窮小量在連續(xù)性與可微性中應(yīng)用等價無窮小量在級數(shù)收斂性判斷中應(yīng)用總結(jié)回顧與拓展延伸contents目錄等價無窮小量基本概念與性質(zhì)01無窮小量性質(zhì)有限個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量。無窮小量與有極限的變量的乘積是無窮小量。有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量。無窮小量定義：如果函數(shù)$f(x)$在自變量的某個變化過程中極限為零，則稱$f(x)$為該變化過程中的無窮小量。無窮小量定義及性質(zhì)等價無窮小量定義當(dāng)$x\to0$時，常見的等價無窮小量有常見等價無窮小量匯總$sinxsimx$$arcsinxsimx$$tanxsimx$常見等價無窮小量匯總$arctanxsimx$$1-cosxsimfrac{1}{2}x^2$常見等價無窮小量匯總常見等價無窮小量匯總01$e^x-1simx$02$ln(1+x)simx$$(1+x)^a-1simax$（其中$a$為任意實數(shù)）03等價無窮小量比較方法02定義通過求兩個無窮小量之比的極限，來判斷它們是否為等價無窮小。定理若lim(β/α)=1，則稱α與β是等價無窮小，記為α~β。應(yīng)用在求極限或進(jìn)行近似計算時，可將復(fù)雜的無窮小量替換為簡單的等價無窮小量。極限比較法030201定理若lim[f(x)/g(x)]=lim[f'(x)/g'(x)]=A（A可為有限數(shù)或∞），且g'(x)≠0，則lim[f(x)/g(x)]=A。應(yīng)用當(dāng)兩個無窮小量之比的極限不易直接求出時，可嘗試使用洛必達(dá)法則進(jìn)行化簡。定義在一定條件下，通過求導(dǎo)來簡化兩個無窮小量之比的極限。洛必達(dá)法則應(yīng)用泰勒公式展開法將函數(shù)在某點(diǎn)附近展開成冪級數(shù)形式，以便進(jìn)行近似計算和比較。定理若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處n階可導(dǎo)，則存在x0的一個鄰域，對于該鄰域內(nèi)的任意x，有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+...+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。應(yīng)用通過泰勒公式展開，可將復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為簡單的多項式形式，從而便于進(jìn)行等價無窮小量的比較和計算。定義等價無窮小量在極限計算中應(yīng)用03極限求解思路梳理在求解極限時，可以將復(fù)雜的表達(dá)式替換為等價的簡單表達(dá)式，從而簡化計算過程。應(yīng)用等價無窮小量簡化計算等價無窮小量是指在某個特定點(diǎn)的鄰域內(nèi)，兩個函數(shù)的比值趨近于1，即它們是同階無窮小量。理解等價無窮小量的概念常見的等價無窮小量有$xsimsinx$，$xsimtanx$，$xsimln(1+x)$等，當(dāng)$xto0$時。識別等價無窮小量例題1求$lim_{{xto0}}frac{sinx}{x}$。由于$xsimsinx$當(dāng)$xto0$時，因此$lim_{{xto0}}frac{sinx}{x}=1$。求$lim_{{xto0}}frac{tanx-x}{x^3}$。首先，將$tanx$替換為$x+frac{1}{3}x^3$（這是$tanx$在$x=0$處的泰勒展開式的前幾項），然后化簡得到$lim_{{xto0}}frac{frac{1}{3}x^3}{x^3}=frac{1}{3}$。在求解極限時，注意觀察表達(dá)式中是否有可以替換為等價無窮小量的部分，從而簡化計算。同時，也要注意等價無窮小量的使用條件，避免誤用。解析解析技巧分享例題2典型例題解析與技巧分享誤區(qū)101忽視等價無窮小量的使用條件。等價無窮小量只能在特定的條件下使用，例如在$xto0$時。如果忽視這些條件，可能會導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。誤區(qū)202過度使用等價無窮小量。在某些情況下，使用等價無窮小量可能會引入額外的誤差或復(fù)雜性。因此，在使用等價無窮小量時，需要仔細(xì)評估其適用性。避免方法03在使用等價無窮小量時，首先要明確其使用條件，并確保滿足這些條件。其次，要仔細(xì)評估使用等價無窮小量是否合適，并考慮其他可能的求解方法。誤區(qū)提示及避免方法等價無窮小量在連續(xù)性與可微性中應(yīng)用04函數(shù)連續(xù)性與可微性關(guān)系探討010203連續(xù)但不可微、可微但不連續(xù)的函數(shù)舉例連續(xù)性與可微性之間的內(nèi)在聯(lián)系探討連續(xù)性與可微性的定義及性質(zhì)回顧010203等價無窮小量的定義及性質(zhì)介紹利用等價無窮小量判斷函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性和可微性利用等價無窮小量判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性和可微性利用等價無窮小量判斷函數(shù)連續(xù)性和可微性相關(guān)定理和推論介紹連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)定理可微函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)定理連續(xù)性與可微性的關(guān)系定理及推論等價無窮小量在級數(shù)收斂性判斷中應(yīng)用05絕對收斂與條件收斂若$sum_{n=1}^{infty}|a_n|$收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂；若原級數(shù)收斂但$sum_{n=1}^{infty}|a_n|$發(fā)散，則稱原級數(shù)條件收斂。級數(shù)的定義無窮序列的和，形如$sum_{n=1}^{infty}a_n$。收斂級數(shù)部分和序列${S_n}$收斂，即$lim_{ntoinfty}S_n=S$存在。發(fā)散級數(shù)部分和序列${S_n}$發(fā)散，即$lim_{ntoinfty}S_n$不存在。級數(shù)收斂性基本概念回顧等價無窮小量的定義若$lim_{xto0}frac{f(x)}{g(x)}=1$，則稱$f(x)$與$g(x)$是等價無窮小量。利用等價無窮小量替換判斷級數(shù)收斂性在級數(shù)中，若某一項可以表示為等價無窮小量的形式，則可以用該等價無窮小量替換該項，從而簡化級數(shù)的形式，便于判斷其收斂性。注意事項在替換過程中，需要注意替換的項是否滿足等價無窮小量的條件，以及替換后級數(shù)的形式是否便于判斷其收斂性。010203利用等價無窮小量判斷級數(shù)收斂性方法講解例題1例題2解析技巧分享技巧分享解析判斷級數(shù)$sum_{n=1}^{infty}frac{sinn}{n}$的收斂性。由于$sinn$與$n$在$ntoinfty$時是等價無窮小量，因此可以將原級數(shù)替換為$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$，這是一個發(fā)散的調(diào)和級數(shù)，因此原級數(shù)發(fā)散。在判斷含有三角函數(shù)的級數(shù)收斂性時，可以考慮利用三角函數(shù)的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為等價的無窮小量形式進(jìn)行判斷。判斷級數(shù)$sum_{n=1}^{infty}frac{ln(1+frac{1}{n})}{sqrt{n}}$的收斂性。由于$ln(1+frac{1}{n})$與$frac{1}{n}$在$ntoinfty$時是等價無窮小量，因此可以將原級數(shù)替換為$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{nsqrt{n}}$，這是一個收斂的$p$-級數(shù)（$p>1$），因此原級數(shù)收斂。在判斷含有對數(shù)函數(shù)的級數(shù)收斂性時，可以考慮利用對數(shù)的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為等價的無窮小量形式進(jìn)行判斷。同時，對于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}$的$p$-級數(shù)，當(dāng)$p>1$時收斂，當(dāng)$pleq1$時發(fā)散。典型例題解析與技巧分享總結(jié)回顧與拓展延伸0601詳細(xì)闡述了等價無窮小量的概念，包括其在極限運(yùn)算中的重要作用和性質(zhì)。等價無窮小量的定義與性質(zhì)02介紹了比較等價無窮小量的多種方法，如洛必達(dá)法則、泰勒公式等，并通過實例加以說明。等價無窮小量的比較方法03探討了等價無窮小量在求解極限、判斷函數(shù)性質(zhì)等方面的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了其在微積分學(xué)中的重要地位。等價無窮小量的應(yīng)用本次課程重點(diǎn)內(nèi)容回顧學(xué)員A通過本次課程，我深刻理解了等價無窮小量的概念和性質(zhì)，掌握了比較等價無窮小量的方法，對微積分學(xué)有了更深入的認(rèn)識。學(xué)員B本次課程讓我認(rèn)識到等價無窮小量在求解極限問題中的重要作用，同時也拓寬了我的解題思路和方法。學(xué)員C通過學(xué)習(xí)等價無窮小量的應(yīng)用，我不僅掌握了相關(guān)知識點(diǎn)，還提高了自己的分析和解決問題的能力。學(xué)員心得體會分享等價無窮小量與微分中值定理的聯(lián)系探討了等價無窮小量與微分