四川省廣安、眉山、內(nèi)江、遂寧2023學年高考仿真模擬數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/（x）=adx-2inx）（a>0）,D=pl若所有點（s,/。）），（sJe。）所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為

e?—1,則。=（）

1e

A.eB.-------C.1D.-------

e-2e-2

2.為了得到函數(shù)y=sin|2x-?J的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點（）

A.向左平移?個單位長度B.向右平移7個單位長度

OO

C.向左平移個單位長度D.向右平移3個單位長度

3.數(shù)列｛《,｝滿足：。“+2+。"=%+1，4=1，%=2,s”為其前”項和，則$2019=（）

A.（）B.1C.3D.4

22

4.設(shè)雙曲線C：=1（?！?/>0）的左右焦點分別為￡,工，點￡（0"）（，>0）.已知動點P在雙曲線C的右支

a'b~

上，且點RE,外不共線.若APE"的周長的最小值為48，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（）

5.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55

千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速1004%/兒現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查.畫

出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h

的頻率分別為（）

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

6.體育教師指導4個學生訓練轉(zhuǎn)身動作，預(yù)備時，4個學生全部面朝正南方向站成一排.訓練時，每次都讓3個學生“向

后轉(zhuǎn)”，若4個學生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知復數(shù)二滿足*與=2-,?（其中三為z的共物復數(shù)），則目的值為（）

1—1

A.1B.2C.73D.V5

8.函數(shù)〃力=1—4x+l）.e'的大致圖象是（）

A.{2,345}B.{2,3,4}C.{123,4}D.{0,123,4}

11.如圖，在四邊形ABC。中，43=1,BC=3,ZABC=nO°,NACD=90°,ZCZM=60°,則3。的長度

為（）

B.2G

D.逋

3

12.三棱柱ABC-4與G中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，ZBAA=ZCAA=60°,則異面直線AB】與所成角的

余弦值為()

A百?V6「6n73

A.B.C.D.

3646

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)〃力=5m(5+0)3>0,0<0<2%)滿足：①是偶函數(shù)；②/(x)的圖象關(guān)于點(三,01對稱.則

同時滿足①②的”,<P的一組值可以分別是.

14.在等比數(shù)列｛4｝中，a3a4a5=64,%=8,則%=.

15.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(e+x)=/(e-x),且“0)=0,當xe(0,e］時，/(X)=lnx.已知方程

“X)=；sin停x)在區(qū)間［-e,3e］上所有的實數(shù)根之和為3ea.將函數(shù)g(x)=3sin2(5)+1的圖象向右平移.個

單位長度，得到函數(shù)〃(x)的圖象，則。=，刈8)=.

16.某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1,2,3,4,5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；

隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金.若隨機變量卻和。分別

表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則。(6)=，E(藪)-E(5)=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

丫221

17.(12分)已知橢圓C：W+2r=1(。＞人＞0)與X軸負半軸交于4(-2,0),離心率

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/：y=丘+m與橢圓C交于〃(％,乂),"(％2，%)兩點，連接AMAN并延長交直線x=4于

￡(內(nèi),%),戶(居，必)兩點，若一+一=一+一，直線MN是否恒過定點，如果是，請求出定點坐標，如果不是,

y%為丫4

請說明理由.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=alnx+2的圖象在％=1處的切線方程是y=(i-2)x+3一1.

exee

(1)求的值；

(2)若函數(shù)g(x)=j^(x),討論g(x)的單調(diào)性與極值；

(3)證明：/(x)＞二.

e

19.(12分)某工廠的機器上有一種易損元件A,這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修.工廠規(guī)定

當日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每

個工人獨立維修A元件需要時間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：

日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日

元件A個數(shù)91512181218992412

日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日

元件4個數(shù)12241515151215151524

從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù).

(I)求X的分布列與數(shù)學期望;

(II)若a,b&N*,且仇a=6,求尸(a<X最大值;

(UD目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學期望不超過4個，至少

需要增加幾名維修工人？(只需寫出結(jié)論)

2x白口

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx-21nx+3%—5,^(x)=lnx+—~~-+

xr

(1)求證：/(X)在區(qū)間(1,40。)上有且僅有一個零點飛,且

(2)若當xNl時，不等式g(x)N0恒成立，求證：a<—,

4

x--+cosa

2

21.(12分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(a為參數(shù)).以原點。為極點，x軸

y=——+sin?

2

的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系.

(1)設(shè)直線/的極坐標方程為夕=冬7F，若直線/與曲線C交于兩點A.B,求A3的長;

7F

(2)設(shè)M、N是曲線C上的兩點，若NM0N=—,求AOMN面積的最大值.

2

22.(10分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1:4,且成

績分布在［0,60］的范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在50以上(含50)的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取

40()人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中Ac構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

(1)求",b,C的值;

(2)填寫下面2x2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關(guān)?

文科生理科生合計

獲獎6

不獲獎

合計400

(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學生人數(shù)為X,

求X的分布列及數(shù)學期望.

n(ad-bc)2

其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

依題意，可得/'(x)>0,/(x)在上單調(diào)遞增，于是可得f(x)在上的值域為[次+2)]〃],繼而可得

a(e2-e-2)=解之即可.

【詳解】

(2、a(e2x—2)「1

解：fr(x)=a/—=—--------,因為，a>0>

<X)xLe.

所以/'(x)>0,f(x)在-,1上單調(diào)遞增，

e_

則/(X)在1,1上的值域為[a(e+2),e2q],

因為所有點Gv,/(O)(s,teD)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為e2-l,

所以。-e-2)=

解得a——)

e-2

故選：D.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解題意，得到“(02-0-2)(1-3=62-1是關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題.

e

2.D

【解析】

通過變形/(x)=sin(2x-V)=sin2*-自，通過“左加右減唧可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意f(x)=sin(2x-?j=sin2(x--^),故只需把函數(shù)y=sin2x的圖象

上所有的點向右平移展個單位長度可得到函數(shù)y=sin的圖象，故答案為D.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.

3.D

【解析】

用〃+1去換4+2+q=4用中的n,得4+3+?！?|=4+2，相加即可找到數(shù)列｛4｝的周期，再利用

$2019=336s6+q+。2+。3計算.

【詳解】

由已知，%+2+a,=an+l①，所以an+3+an+l=an+2②，①+②，得an+3=-an,

從而?！?6=?！埃瑪?shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以$6=0,

S，oi9=336(。]+<2,++。6)+01+。,+。3=。+1+2+1=4.

故選：D.

【點睛】

本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用，在求$2019時，先算出一個周期的和即S6,再將$2019表示成336s6+4+4+%即可，本題

是一道中檔題.

4.A

【解析】

依題意可得CAPEF,=PE+PF]+EF2-PE+PF2+EFt>2PFt-2a=4b

即可得到2。+4。>2(a+c),從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；

【詳解】

解：依題意可得如下圖象，CAPEF2=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EFi

=PE+PFx+EFx-2a

N2尸耳—2a=4b

2PR=2a+48>2(a+c)

所以28>c

2

貝！14c之一4/>c

所以3c2>4/

所以/==>g

a23

、

所以e＞友，即ew

3

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

5.B

【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90)的頻率即可得到車輛數(shù)，同時利用頻率分布直方圖能

求行駛速度超過9()切?/〃的頻率.

【詳解】

由頻率分布直方圖得：

在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90)的頻率為0.06x5=0.3,

...在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90)的車輛數(shù)為：0.3xl(XX)=3(X),

行駛速度超過90km/h的頻率為：(0.05+0.02)x5=0.35.

故選：B.

【點睛】

本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

通過列舉法，列舉出同學的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).

【詳解】

“正面朝南”“正面朝北”分別用“八V”表示,

利用列舉法，可得下表，

原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次數(shù)為4次.

故選：B.

【點睛】

本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

按照復數(shù)的運算法則先求出三,再寫出］，進而求出忖.

【詳解】

1+z(1+022Z.

口—(l-z)(l+z)-5-乙

-|,?c.

---z=2—z=>z'-^z=2—z=>z==—z(2—z)=—1—2z,

1-zi

r.z=-l+2in|z|=J(-1>+22=#>.

故選：D

【點睛】

本題考查復數(shù)的四則運算、共扼復數(shù)及復數(shù)的模，考查基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

用x<0排除8,C；用x=2排除可得正確答案.

【詳解】

解：當x<0時，X2-4jr+l>0,e*>0,

所以〃x)>0,故可排除5,C；

當x=2時，/(2)=-3e2<0,故可排除O.

故選：A.

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.

【詳解】

1_V11

函數(shù)〃x)=ln[Q的定義域為{x|xr±l},當x=5時，/(-)=-ln3<0,排除B和C；

當％=-2時，/(-2)=ln3>0,排除A.

故選：D.

【點睛】

本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.

10.B

【解析】

解對數(shù)不等式可得集合A,由交集運算即可求解.

【詳解】

集合A={x|log2(x-1)<2},解得A={x[l<x<5},

B=N,

由集合交集運算可得Ac8={x[l<x<5}cN={2,3,4},

故選：B.

【點睛】

本題考查了集合交集的簡單運算，對數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

設(shè)NACB=a,在AABC中，由余弦定理得AC?=1()-6cosl20。=13,從而求得CO,再由由正弦定理得

--=.二。，求得sina，然后在ABC。中，用余弦定理求解?

sinasin120

【詳解】

設(shè)NACB=a,在AABC中，由余弦定理得4^=]()_6cosl20°=13,

則AC=JW，從而CD=

由正弦定理得曲-=A。，即sina='g,

sinasin120°2J13

從而85/8?！辏?85（90。+1）=-5由1=―=,

'72V13

1349

在ABCD中，由余弦定理得：BD2=9+—+2x3x

3T

則80=拽.

3

故選：D

【點睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.

12.B

【解析】

設(shè)例=c,AB=a，AC=b，根據(jù)向量線性運算法則可表示出4線和BQ；分別求解出做?BG和卜丹|,忸(不，

根據(jù)向量夾角的求解方法求得cos<A4,8G>,即可得所求角的余弦值.

【詳解】

設(shè)棱長為1,A4j—c9AB-ci，AC-h

由題意得：a-b=—b-c=-a-c=—

29292

AB、=a+c,BC、=BC+BB1=b—a+c

AB1,BC、=(a+c)?(Z?—a+cj=Q,Z7—ci^+a，c+b?c—ci,c+c"—~—1H---F1=1

又M=JQ+C1=y]a2+26F-C+C2=△

|BC、|=J(1-a+c)~=J/+/+c2-2〃力+227?c-2a?c=>/2

”AB^BC.1V6

/.cos<AB.,BC>=i——y-j■―4=—j==——

|A聞.國|V66

即異面直線AB,與BC｝所成角的余弦值為：逅

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查異面直線所成角的求解，關(guān)鍵是能夠通過向量的線性運算、數(shù)量積運算將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的求解問題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

371

13.—,一

22

【解析】

根據(jù)/(x)是偶函數(shù)和/(%)的圖象關(guān)于點0〕對稱，即可求出滿足條件的0和9.

【詳解】

由/(X)是偶函數(shù)及048<2兀，可取。=5，

貝U/(x)=sin(du+]]=coscwx,

由/(x)的圖象關(guān)于點[W，o]對稱，得/=A兀+],keZ,

33

即69=3kH--9Z￡Z,可取CO=—.

22

371

故外，。的一組值可以分別是一，一.

22

故答案為：：，—.

【點睛】

本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.1

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進而利用等比數(shù)列項之間的關(guān)系得4=3=*=1即

可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4.由44%=64，得(包曠=64,解得q=4.又由%=8，得4="=2.則

=￡1=±=1

（72221

故答案為：1

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.

15.2

【解析】

根據(jù)函數(shù)"同為偶函數(shù)且/(e+x)=/(e-x),所以“X)的周期為2e,〃x)=；sin土龍的實數(shù)根是函數(shù)

/(x)和函數(shù))='1$足/x的圖象的交點的橫坐標，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的對稱性可得所

有實數(shù)根的和為6e,從而可得參數(shù)"的值，最后求出函數(shù)〃(x)的解析式，代入求值即可.

【詳解】

解:因為/(X)為偶函數(shù)且〃e+x)=〃e-x),所以“X)的周期為2e.因為xe(O,e］時，〃x)=lnx,所以可作

出“X)在區(qū)間［-e,3e］上的圖象，而方程/(x)=1sin的實數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)N=；sin^x\的圖象

的交點的橫坐標，結(jié)合函數(shù)/(X)和函數(shù)y=gsin

在區(qū)間［-e,3e］上的簡圖，可知兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間

［-e,3e］上有六個交點.由圖象的對稱性可知，此六個交點的橫坐標之和為6e,所以6e=3ea,故。=2.

371X5

因為g（x）=3sii?%+1——cos——+—,

222

35371工+1■?故6（8）=3cos（44）+』=4.

所以〃（X）=_]cos和-2)+—=—cos

22222

故答案為：2；8

【點睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的應(yīng)用，函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

16.20.2

【解析】

分別求出隨機變量酊和6的分布列，根據(jù)期望和方差公式計算得解.

【詳解】

設(shè)a,be[l,2,1,4,5},則p=-.其部分布列為：

12145

212j_

P

55555

E(卻)=|x(1+2+1+4+5)=1.

D(卻)=1x[(1-1)2+(2-1)2+(1-1)2+(4-1)2+(5-1)2]=2.

。=1.4心-〃的可能取值分別為：1.4,2.3,4.2,5.6,

42332211

P(^2=1.4)=1=§，尸(&=2.3)=￡=歷，尸($=4.2)=￡=歷，p(6=5.6)=￡=歷，可得分布列.

h1.42.34.25.6

2321

pToToTo

…2321

E(。2)=L4x—I-2.3x---F4.2x---1-5.6x—2.3.

5101010

：.E(卻)-E(&)=0.2.

故答案為：2,0.2.

【點睛】

此題考查隨機變量及其分布，關(guān)鍵在于準確求出隨機變量取值的概率，根據(jù)公式準確計算期望和方差.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(1)3+]=1(2)直線MN恒過定點(1,0),詳見解析

【解析】

(1)依題意由橢圓的簡單性質(zhì)可求出。力，即得橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線AM的方程為：x=t,y-2,聯(lián)立直線AM的方程與橢圓方程可求得點M的坐標，同理可求出點N的坐

標，根據(jù)M,N的坐標可求出直線MN的方程，將其化簡成點斜式，即可求出定點坐標.

【詳解】

「1丫2^.2

(1)由題有。=2,e=-=K；.c=l,.?.〃=/一。2=3..?.橢圓方程為土+21=1.

a243

'x=tAy-l

(2)設(shè)直線AM的方程為：x=4〉—2,則/y2=>(3^+4)/-12^=0

---=1

[4----3

Ci_⑵c12%c6r,2-86A-8_⑵，

2=°或"即'.'?％='陰—2=4而-2=訴'同理當=詆，%=可

“6(6、(6)1111

當項=4時，由芻=4%-2有為=廠.工￡4,一,同理尸4,—,又一+—=一+一

;(幻(q”

...3彳+4?3片+4/J,J+4)(3秘2+4)/+-

⑵112f266'⑵"26

當乙+/2。0時,柩2=-4直線MN的方程為y-y=2二&（%-為）

J_2r,12Z2

以3^―玄4(苗-8]

-3彳+46f-86K-813^2+4)廣島=4卜-舒J

3彳+431+4

4_46彳81244X4簫+4)

4(1)

2A+/2

4+，26+1?3t；+43彳+44+^2(3r,+4)(z,+r2)

...直線MN恒過定點（1,0）,當：+J=0時，此時也過定點（1,0）“

綜上:直線MN恒過定點（1,0）.

【點睛】

本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)求橢圓的標準方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用，定點問題的求法等，意在考

查學生的邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，屬于難題.

18.（1）a=l,b=2；（2）g（x）單調(diào)遞減區(qū)間為卜,/],單調(diào)遞增區(qū)間為g，+8）,g（x）的極小值為:，無極大值;

（3）見解析.

【解析】

（1）切點既在切線上又在曲線上得一方程，再根據(jù)斜率等于該點的導數(shù)再列一方程，解方程組即可;

(2)先對g(x)=4\x)求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)判斷和求解即可.

217x2x

(3)把證明Inx+—>丁(x>0)轉(zhuǎn)化為證明xlnx+—〉二(尤>0),然后證明xlnx+—極小值大于—(x>0)極大

exeeeee

值即可.

【詳解】

解：(1)函數(shù)/(X)的定義域為(0,+8)

,|/(1)=2=2

/7npp

由已知得/'(幻=一一一7,貝U:解得"=13=2.

xex'，"八b2

Iee

2

(2)由題意得g(x)=x-/(x)=xlnx+-(x>0),則g'(x)=lnx+l.

e

當xe(0,L時，g'(x)<0,所以g(x)單調(diào)遞減，

e

當xe(L+℃)時，g'(x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增，

e

所以，g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0」)，單調(diào)遞增區(qū)間為(L”)，

ee

g(x)的極小值為g(3=無極大值.

ee

21

(3)要證InxH---->—(x>0)成立，

exe

RF、一i2x.八、q4

只需證xlnx+—>—(x>0)成立.

eex

令〃(x)=5，則，(x)=L^,

當xe(0,1)時，/(x)>O,/z(x)單調(diào)遞增，

當xe(l,+o。)時，〃'(x)<0,/?(x)單調(diào)遞減，

所以〃(x)的極大值為〃⑴，即〃*),,〃⑴=1

e

由(2)知，xe(0,+。。)時，g(x)..gd)=1,且g(x)的最小值點與〃(X)的最大值點不同，所以xlnx+2>三，

eeee

21

BnPnlnx+一>—.

exex

所以，

e

【點睛】

知識方面，考查建立方程組求未知數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值以及不等式的證明；能力方面，考查推理論

證能力、分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力；試題難度大.

3

19.(I)分布列見解析，E(X)=15；(II)-；(III)至少增加2人.

【解析】

(I)求出X的所有可能取值為9,12,15,18,24,求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可.

(H)當尸(aSX劭)取到最大值時，求出a,b的可能值，然后求解尸(aSX劭)的最大值即可.

(口1)利用前兩問的結(jié)果，判斷至少增加2人.

【詳解】

（I）X的取值為：9,12,15,18,24；

357

P（X=9）=mP（X=12）=/P（X=15）=萬

23

P（X=18）=-,P（X=24）=->

X的分布列為：

X912151824

35723

P

2020202020

35723

故X的數(shù)學期望E(x)=9x—+12x—+15x—+18x—+24x—=15；

2020202020

(II)當P(aWX2)取到最大值由r,

a=9a=12fa=18

〃力的值可能為：，或J或4

/?=15b=18'[b=24.

經(jīng)計算P(9<X<15)=K，P(12<XK18)=K，P(18WX<24)=^,

153

所以P(aSX@)的最大值為一=：.

204

(ID)至少增加2人.

【點睛】

本題考查離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差，屬于中等題.

20.(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】

(1)利用求導數(shù)，判斷了(X)在區(qū)間(1,+8)上的單調(diào)性，然后再證/(|)"(1)異號，即可證明結(jié)論；

(2)當XN1時，不等式g(x)20恒成立，分離參數(shù)只需X>1時，a?：(lnx+2)恒成立,

X-1

設(shè)〃(x)=￡l!”坦(%>1),需?！幢靥幎?竺，根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出〃(幻而…再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導數(shù)法,

x-\4

49

證明〃(X)min<W即可?

【詳解】

22

(1)/r(x)=l+lnx——+3=lnx——+4,

xx

1?

令f(x)=m(x),則加(幻=一+-7>0,

xx~

所以m(x)=f\x)在區(qū)間(1,+8)上是增函數(shù),

則尸(x)>.1(1)=2,所以/(x)在區(qū)間(l,4w)上是增函數(shù).

又因為/［巧］=

\乙J乙乙乙

1171If,,7A

f\—=——In—+—=—1-ln—>n0,

UJ4444(4J

所以/(元)在區(qū)間(1,+w)上有且僅有一個零點與，且/e(j

(2)由題意，g(x)=lnx+±~^?+=20在區(qū)間［l,+oo)上恒成立,

即(x-1)。4/(mx+2)在區(qū)間［1,欣)上恒成立,

當X=1時，<7GR;

W,x2(lnx+2)*一4一

當x>l時，a<-------^恒成立，

x-\

設(shè)心)二旦宇

(x>l),

x［(x-2)In%+3%—5］》/(幻

所以"(X)

dp(工一1)2

由(1)可知，于〃€(!■,()使/(加)=0,

所以，當xe(l,附時，h'(x)<0,當xe(〃2,+oo)時，h'(x)>0,

由此〃(x)在區(qū)間(1,〃?)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(利,+8)上單調(diào)遞增,

所以h(x)min=h(m)=少(皿〃+2).

m-\

又因為f(m)—(m-2)Inm+37?7—5=0,

5—3/727772

所以In機=....-，從而%(x)min=h(tn)=-：—

m-22-m

所以心盤.令〃(g￡r'TI3

-m~+4/7?

則h'(m)=>0,

(2-m)2

f37]

所以〃(附在區(qū)間不了上是增函數(shù),

124；

⑺4949

所以/2(〃?)<川f=丁，ttca<h(m)<一.

<4；44

【點睛】

本題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點、極值最值、不等式的證明，分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵,

意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于較難題.

21.(1)叵；(2)1.

【解析】

(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；

(2)”(月,。)，N(/72,6+￡)，由(1)通過計算得到S=；月夕2sin]=sin(2e+?,即最大值為1.

【詳解】

(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為[x-g]=1'

即J+y2_元_6y=0；

再將Y+y2=p2,x=pcos01y=psin。代入上式,

得p2-pcos^->/3/7sin^=0,

故曲線c的極坐標方程為夕=2sin[e+1],