天津市紅橋區(qū)2023-2024學年高一上學期期末考試數(shù)學試卷（含答案解析）

高一數(shù)學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時90分鐘.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答題時，務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.祝各位考生考試順利！參考公式：第Ⅰ卷注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.2．本卷共9題，每小題4分，共36分.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由交集的概念即可得解.【詳解】由題意，，則.故選：C2.設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】題干條件去絕對值后即可解題.【詳解】……①由①式可以看出.由充要條件的定義可知“”是“”的充要條件.故選：C3.下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出選項中各函數(shù)的定義域，并判斷其單調(diào)性，從而可得結(jié)論.【詳解】對于，，是上的減函數(shù)，不合題意；對于，是定義域是且為增函數(shù)，符合題意；對于，，定義域是，不合題意；對于，，定義域是，但在上不是單調(diào)函數(shù)，不合題，故選B.【點睛】本題主要考查函數(shù)的定義域與單調(diào)性，意在考查對基礎知識的掌握與靈活運用，屬于基礎題.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由題意可得.故選：B.5.已知函數(shù)為奇函數(shù),且當時,,則A-2 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，故選A.6.函數(shù)（且）的圖像過定點，則定點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，令，即可求解.【詳解】由函數(shù)（且）令，即，可得，所以函數(shù)圖象恒過定點.故選：A.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用，化簡求出值.【詳解】由，則.故選：C8.設，，若，則的最小值為（）A.6 B.9 C. D.18【答案】B【解析】【分析】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得；【詳解】解：，，且，且，，當且僅當，即且時取等號，故的最小值為9；故選：B9.設，且，則（）A. B.10 C.20 D.100【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)的互化和對數(shù)的換底公式，求得，，進而結(jié)合對數(shù)的運算公式，即可求解.【詳解】由，可得，，由換底公式得，，所以，又因為，可得．故選：A.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．10.__________．【答案】-【解析】【詳解】.故答案為.11.___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則計算可得；【詳解】解：；故答案為：12.已知，且，則的值是_________.【答案】##【解析】【分析】先利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求出，再根據(jù)二倍角的正切公式即可得解.【詳解】因為，且，所以，則，所以.故答案為：.13.已知冪函數(shù)的圖象過點，則______．【答案】##【解析】【分析】由題意將點代入即可求得冪函數(shù)表達式，然后代入即可得解.【詳解】不妨設冪函數(shù)表達式為，由題意有，解得，所以冪函數(shù)表達式為，所以.故答案為：.14.______．【答案】##【解析】【分析】因為，所以對進行和差公式展開，即可求解【詳解】.15.已知函數(shù)，當方程有兩解時，的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，觀察直線與函數(shù)的圖象的交點，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，當或時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，因此，所求的的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：本大題共4個小題，共40分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.已知，a∈.（1）求sin2a；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用平方關(guān)系求得，再利用二倍角的正弦公式即可得出答案；（2）直接利用兩角差的余弦公式即可得解.【詳解】解：（1）因為a∈，所以，；（2）.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對稱軸；（2）若，求函數(shù)的最值．【答案】17.答案見解析18.函數(shù)的最大，小值分別為【解析】【分析】（1）由周期公式代入求值即可，由整體代入法解不等式或方程即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱軸.（2）由題意得當時，，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性即可得它的最值.【小問1詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期為，令，解得，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的對稱軸方程為.【小問2詳解】當時，，所以當，即時，函數(shù)取最大值，當，即時，函數(shù)取最大值.18.已知函數(shù)，（1）判斷函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）是否存在，使得為奇函數(shù)，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）單調(diào)遞減，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義證明；（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義求．【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，當取任意實數(shù)時，在內(nèi)單調(diào)遞減．證明如下：在內(nèi)任取，，使得，則由，可知，所以，，，所以，即，所以當取任何實數(shù)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；【小問2詳解】假設存在實數(shù)使得奇函數(shù)因為的定義域為，所以由，可得，解得，因此存在，使得為奇函數(shù)．19.已知函數(shù)f(x)＝log(x2－2ax＋3)．(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)在(－∞，2)上為增函數(shù)？若存在，求出a的范圍；若不存在，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，設，由求出的范圍，再由復合函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；（2）要使在上單調(diào)遞增，只需在上單調(diào)遞減且在上恒成立，可得的不等式組，解不等式即可判斷存在性．【詳解】(1)由f(－1)＝－3，得log(4＋2a)＝－3.所以4＋2a＝8，所以a＝2.這時f(x)＝log(x2－4x＋3)，由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1.故函數(shù)定義域為(－∞，1)∪(3，＋∞)．令u＝x2－4x＋3，對稱軸為x＝2，則u在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增．又y＝logu在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1)，單調(diào)遞減區(qū)