安徽省安慶一中2024屆數學高二下期末達標測試試題含解析

安徽省安慶一中2024屆數學高二下期末達標測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則（）①若，，且∥，則∥；②若，∥，且∥，則；③若∥，，且，則∥；④若，，且，則.其中真命題的個數是（）A． B． C． D．2．設是函數的定義域，若存在，使，則稱是的一個“次不動點”，也稱在區(qū)間I上存在“次不動點”.若函數在上存在三個“次不動點”，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．3．袋中有大小和形狀都相同的個白球、個黑球，現從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是（）A． B． C． D．4．函數在點處的切線方程為()A． B． C． D．5．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為（）A． B． C．1 D．6．現有小麥、大豆、玉米、高粱種不同農作物供選擇，在如圖所示的四塊土地上行種植，要求有公共邊界的兩塊地不能種同一種農作物，則不同的種植方法共有（）A．36種 B．48種 C．24種 D．30種7．函數的部分圖象可能是（）A． B．C． D．8．將函數的圖象向右平移個單位長度得到圖象，則函數的解析式是（）A． B．C． D．9．已知，則（）附：若，則，A．0.3174 B．0.1587 C．0.0456 D．0.022810．某地區(qū)一次聯考的數學成績近似地服從正態(tài)分布，已知，現隨機從這次考試的成績中抽取個樣本，則成績小于分的樣本個數大約為（）A． B． C． D．11．“”是“方程所表示的曲線是橢圓”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．雙曲線的焦點坐標是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數滿足，則的最小值為__________．14．已知圓x2+y2-6x-7=0與拋物線15．在復數范圍內，方程的根為________.16．將參數方程（為參數）化成普通方程為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）山西省2021年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分。根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為共8個等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到八個分數區(qū)間，得到考生的等級成績。舉例說明1：甲同學化學學科原始分為65分，化學學科等級的原始分分布區(qū)間為，則該同學化學學科的原始成績屬等級，而等級的轉換分區(qū)間為那么，甲同學化學學科的轉換分為：設甲同學化學科的轉換等級分為，求得.四舍五入后甲同學化學學科賦分成績?yōu)?6分。舉例說明2：乙同學化學學科原始分為69分，化學學科等級的原始分分布區(qū)間為則該同學化學學科的原始成績屬等級.而等級的轉換分區(qū)間為這時不用公式，乙同學化學學科賦分成績直接取下端點70分?，F有復興中學高一年級共3000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布。且等級為所在原始分分布區(qū)間為，且等級為所在原始分分布區(qū)間為，且等級為所在原始分分布區(qū)間為（1）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學科賦分成績；（精確到整數）.（2）若以復興中學此次考試頻率為依據，在學校隨機抽取4人，記這4人中物理原始成績在區(qū)間的人數，求的數學期望和方差.（精確到小數點后三位數）.附：若隨機變量滿足正態(tài)分布，給出以下數據，18．（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的100人的得分（滿分：100分）數據，統(tǒng)計結果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關注者”，請完成答題卡中的列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否為“環(huán)保關注者”與性別有關？(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”．視頻率為概率．①在我市所有“環(huán)保達人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率；②為了鼓勵市民關注環(huán)保，針對此次的調查制定了如下獎勵方案：“環(huán)保達人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現某市民要參加此次問卷調查，記（單位：元）為該市民參加間卷調查獲得的紅包金額，求的分布列及數學期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數，為的導數．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）證明：在區(qū)間上存在唯一零點；（Ⅲ）設，若對任意，均存在，使得，求實數的取值范圍.20．（12分）已知函數為自然對數的底數）．（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）若，證明：關于的不等式在上恒成立．21．（12分）為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下：性別

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）請根據上面的數據分析該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關嗎22．（10分）給出下列不等式：，，，，（1）根據給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結論；（2）用數學歸納法證明你的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據空間直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直的判定定理和性質定理，逐項判斷，即可得出結論.【題目詳解】由且，可得，而垂直同一個平面的兩條直線相互平行，故①正確；由于，，所以，則，故②正確；若與平面的交線平行，則，故不一定有，故③錯誤；設，在平面內作直線，，則，又，所以，，所以，從而有，故④正確.因此，真命題的個數是.故選：B【題目點撥】本題考查了空間線面位置關系的判定和證明，其中熟記空間線面位置中的平行與垂直的判定定理與性質定理是解題的關鍵，考查直觀想象能力，屬于基礎題.2、A【解題分析】

由已知得在上有三個解。即函數有三個零點，求出，利用導函數性質求解?！绢}目詳解】因為函數在上存在三個“次不動點”，所以在上有三個解，即在上有三個解，設，則，由已知，令得，即或當時，，；，，要使有三個零點，則即，解得；當時，，；，，要使有三個零點，則即，解得；所以實數的取值范圍是故選A.【題目點撥】本題考查方程的根與函數的零點，以及利用導函數研究函數的單調性，屬于綜合體。3、D【解題分析】

分別計算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根據條件概率公式求得結果.【題目詳解】記“第一次取到白球”為事件，則記“第一次取到白球且第二次取到白球”為事件，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率：本題正確選項：【題目點撥】本題考查條件概率的求解問題，易錯點是忽略抽取方式為不放回的抽取，錯誤的認為每次抽到白球均為等可能事件.4、A【解題分析】

先求出f（x），再利用導數求出在x＝1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率即可．【題目詳解】∵f（x）＝sinx+cosx，∴f（x）＝cosx﹣sinx，∴f（1）＝1，所以函數f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為1；又f（1）＝1，∴函數f（x）＝sinx+cosx在點（1，f（1））處的切線方程為：y﹣1＝x﹣1．即x﹣y+1＝1．故選A．【題目點撥】本題考查利用導數求曲線上在某點切線方程的斜率，考查直線的斜率、導數的幾何意義等基礎知識，屬于基礎題．5、B【解題分析】拋物線的焦點為：，雙曲線的漸近線為：.點到漸近線的距離為：.故選B.6、B【解題分析】

需要先給右邊的一塊地種植，有種結果，再給中間上面的一塊地種植，有種結果，再給中間下面的一塊地種植，有種結果，最后給左邊的一塊地種植，有種結果，相乘即可得到結果【題目詳解】由題意可知，本題是一個分步計數的問題先給右邊的一塊地種植，有種結果再給中間上面的一塊地種植，有種結果再給中間下面的一塊地種植，有種結果最后給左邊的一塊地種植，有種結果根據分步計數原理可知共有種結果故選【題目點撥】本題主要考查的知識點是分步計數原理，這種問題解題的關鍵是看清題目中出現的結果，幾個環(huán)節(jié)所包含的事件數在計算時要做到不重不漏。7、A【解題分析】

考查函數的定義域、在上的函數值符號，可得出正確選項.【題目詳解】對于函數，，解得且，該函數的定義域為，排除B、D選項.當時，，，則，此時，，故選：A.【題目點撥】本題考查函數圖象的識別，一般從函數的定義域、奇偶性、單調性、零點、函數值符號進行判斷，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、C【解題分析】

由題意利用三角函數的圖象變換原則，即可得出結論．【題目詳解】由題意，將函數的圖象向右平移個單位長度，可得.故選C．【題目點撥】本題主要考查三角函數的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.9、D【解題分析】

由隨機變量，所以正態(tài)分布曲線關于對稱，再利用原則，結合圖象得到.【題目詳解】因為，所以，所以，即，所以.選D．【題目點撥】本題主要考查正態(tài)分布曲線及原則，考查正態(tài)分布曲線圖象的對稱性.10、A【解題分析】分析：根據正態(tài)分布的意義可得即可得出結論.詳解：由題可得：又對稱軸為85，故，故成績小于分的樣本個數大約為100x0.04=4故選A.點睛：本題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題，解題關鍵是要知道.11、B【解題分析】分析：根據橢圓的方程以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．詳解：若方程表示的曲線為橢圓，則，且，反之，“”不能得到方程所表示的曲線是橢圓”，如故“”是“方程所表示的曲線是橢圓”的必要不充分條件.選B.點睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬基礎題.．12、C【解題分析】分析：由題意求出，則，可得焦點坐標詳解：由雙曲線，可得，故雙曲線的焦點坐標是選C.點睛：本題考查雙曲線的焦點坐標的求法，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】實數滿足，可得，分別令，轉化為兩個函數與的點之間的距離的最小值，，設與直線平行且與曲線相切的切點為，則，解得，可得切點，切點到直線的距離.的最小值為，故答案為.【方法點睛】本題主要考查及數學的轉化與劃歸思想.屬于難題.轉化與劃歸思想解決高中數學問題的一種重要思想方法，是中學數學四種重要的數學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉化為我們所熟悉的知識領域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中.本題巧妙地將最值問題轉化為兩點間的距離，再根據幾何性質轉化為點到直線的距離公式求解.14、2【解題分析】試題分析：x2+y2-6x-7=0∴(x-3)考點：直線和拋物線的性質15、【解題分析】

根據復數范圍求根公式求解【題目詳解】因為，所以方程的根為故答案為：【題目點撥】本題考查復數范圍解實系數一元二次方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.16、.【解題分析】

在參數方程中利用加減消元法或代入消元法消去參數，可將參數方程化為普通方程.【題目詳解】由得，兩式相加得，即，因此，將參數方程（為參數）化成普通方程為，故答案為.【題目點撥】本題考查參數方程與普通方程的互化，將直線的參數方程化普通方程，常見的有代入消元法和加減消元法，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)小明82分，小紅70分；(2)1.504，0.938【解題分析】

（1）根據題意列式求解（2）先確定區(qū)間，再根據正態(tài)分布求特定區(qū)間概率，最后根據二項分布求期望與方差.【題目詳解】解（1）小明同學且等級為,設小明轉換后的物理等級分為，求得．小明轉換后的物理成績?yōu)?2小紅同學且等級為，且等級為所在原始分分布區(qū)間為，小紅為本等級最低分72,則轉換后的物理成績?yōu)?0分。（2）物理考試原始成績等級為所在原始分分布區(qū)間為，人數所占比例為24%，又因為物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布，當原始分時，人數所占比例為則隨機抽取一個物理原始成績在區(qū)間的概率為由題可得【題目點撥】本題考查新定義理解、利用正態(tài)分布求特定區(qū)間概率以后利用二項分布求期望與方差，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、(1)不能；(2)①；②分布列見解析，.【解題分析】

（1）根據題目所給的數據可求2×2列聯表即可；計算K的觀測值K2，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結論．（2）由相互獨立事件的概率可得男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及數學期望E（X）即可；【題目詳解】(1)由圖中表格可得列聯表如下:非“環(huán)保關注者”是“環(huán)保關注者”合計男104555女153045合計2575100將列聯表中的數據代入公式計算得K”的觀測值，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認為是否為“環(huán)保關注者”與性別有關.(2)視頻率為概率,用戶為男“環(huán)保達人”的概率為.為女“環(huán)保達人”的概率為，①抽取的3名用戶中既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率為；②的取值為10，20，30，40.,,,,所以的分布列為10203040.【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，考查了概率分布列和期望，計算能力的應用問題，是中檔題目．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解題分析】

（Ⅰ）將代入求出切點坐標，由題可得，將代入求出切線斜率，進而求出切線方程．（Ⅱ）設，則，由導函數研究的單調性進，而得出答案．（Ⅲ）題目等價于，易求得，利用單調性求出的最小值，列不等式求解．【題目詳解】（Ⅰ），所以，即切線的斜率，且，從而曲線在點處的切線方程為.（Ⅱ）設，則.當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.又，故在存在唯一零點.所以在存在唯一零點.（Ⅲ）由已知，轉化為，且的對稱軸所以.由(Ⅱ)知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.又，所以當時，.所以，即，因此，的取值范圍是.【題目點撥】導數是高考的重要考點，本題考查導數的幾何意義，利用單調性解決函數的恒成立問題，存在性問題等，屬于一般題．20、（Ⅰ）的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據導數求解函數單調區(qū)間的步驟，確定定義域，求導，解導數不等式或，中間涉及到解含參的一元二次不等式的解法，注意分類討論；（Ⅱ）構造函數，再利用題目條件進行放縮，得到，轉化為求函數的最小值，即可證出?！绢}目詳解】定義域為R，,令，則，則結合二次函數圖像可知，當時，；當時，