2024屆北京市房山區(qū)房山實驗中學高二數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

2024屆北京市房山區(qū)房山實驗中學高二數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將甲，乙等5位同學分別保送到北京大學，清華大學，浙江大學等三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為（）A．150種 B．180種 C．240種 D．540種2．若為兩條異面直線外的任意一點，則（）A．過點有且僅有一條直線與都平行B．過點有且僅有一條直線與都垂直C．過點有且僅有一條直線與都相交D．過點有且僅有一條直線與都異面3．已知，，均為正實數(shù)，則，，的值（）A．都大于1 B．都小于1C．至多有一個不小于1 D．至少有一個不小于14．已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知，則的最小值是A． B． C． D．6．已知自然數(shù)，則等于（）A． B． C． D．7．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．8．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．9．下面是列聯(lián)表：合計2163223557合計56120則表中的值分別為（）A．84，60 B．42，64 C．42,74 D．74,4210．已知變量之間的線性回歸方程為，且變量之間的一組相關數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯誤的是（）A．變量之間呈現(xiàn)負相關關系B．的值等于5C．變量之間的相關系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點11．若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則此雙曲線的離心率為()A． B． C． D．12．《高中數(shù)學課程標準》(2017版)規(guī)定了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據(jù)測驗結果繪制了雷達圖(如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu))，則下面敘述正確的是（）(注:雷達圖(RadarChart)，又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖(SpiderChart)，可用于對研究對象的多維分析)A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設隨機變量服從正態(tài)分布，如果，則________.14．有5條線段，其長度分別為3,4,5,7,9,現(xiàn)從中任取3條，則能構成三角形的概率是_____.15．已知，則的展開式中常數(shù)項為____16．設等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，（1）求．（2）在復平面內(nèi)，為坐標原點，向量，對應的復數(shù)分別是，，若是直角，求實數(shù)的值．18．（12分）某校高二理科1班共有50名學生參加學業(yè)水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優(yōu)秀，其中語文成績近似服從正態(tài)分布，數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖.（1）這50名學生中本次考試語文、數(shù)學成績優(yōu)秀的大約各有多少人？（2）如果語文和數(shù)學兩科成績都優(yōu)秀的共有4人，從語文優(yōu)秀或數(shù)學優(yōu)秀的這些同學中隨機抽取3人，設3人中兩科都優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）根據(jù)（1）（2）的數(shù)據(jù)，是否有99%以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數(shù)學成績也優(yōu)秀？語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀數(shù)學不優(yōu)秀合計附：①若，則，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.(1)若，求證:;(2)若，異面直線與所成的角為30°，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）設曲線．（Ⅰ）若曲線表示圓，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當時，若直線與曲線交于兩點，且，求實數(shù)的值．21．（12分）已知二項式的展開式的第項為常數(shù)項（1）求的值；（2）求的值22．（10分）過橢圓：右焦點的直線交于，兩點，且橢圓的長軸長為短軸長的倍.（1）求的方程；（2），為上的兩點，若四邊形的對角線分別為，，且，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】先將個人分成三組,或,分組方法有中,再將三組全排列有種,故總的方法數(shù)有種.選A.2、B【解題分析】解：因為若點是兩條異面直線外的任意一點，則過點有且僅有一條直線與都垂直，選B3、D【解題分析】分析:對每一個選項逐一判斷得解.詳解：對于選項A,如果a=1,b=2,則，所以選項A是錯誤的.對于選項B,如果a=2,b=1,則，所以選項B是錯誤的.對于選項C,如果a=4,b=2,c=1,則，所以選項C是錯誤的.對于選項D,假設，則，顯然二者矛盾，所以假設不成立，所以選項D是正確的.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)三個數(shù)至少有一個不小于1的否定是4、A【解題分析】

先將復數(shù)化為代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念確定對應點，最后根據(jù)對應點坐標確定象限.【題目詳解】解：∵，∴，∴復數(shù)z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（），所在的象限為第一象限．故選：A．點睛：首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為5、B【解題分析】

將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開后利用基本不等式求出代數(shù)式的最小值，然后在不等式兩邊同時除以可得出答案．【題目詳解】因為，又，所以，當且僅當時取，故選B．【題目點撥】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，在利用基本不等式求最值時，要注意配湊“定值”的條件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的應用．6、D【解題分析】分析：直接利用排列數(shù)計算公式即可得到答案.詳解：.故選：D.點睛：合理利用排列數(shù)計算公式是解題的關鍵.7、A【解題分析】分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．詳解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，∴A（1，0，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），B1（1，1，2），=（﹣1，0，2），=（1，1，2），設異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ=∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．故答案為：A．點睛：（1）本題主要考查異面直線所成的角的向量求法，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析轉化能力.(2)異面直線所成的角的常見求法有兩種，方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.8、D【解題分析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．9、B【解題分析】因，故,又，則，應選答案B。10、C【解題分析】分析：根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)依次判斷各選項即可．詳解：對于A：根據(jù)b的正負即可判斷正負相關關系．線性回歸方程為，b=﹣0.7＜0，負相關．對于B：根據(jù)表中數(shù)據(jù)：=1．可得=2．即，解得：m=3．對于C：相關系數(shù)和斜率不是一回事，只有當樣本點都落在直線上是才滿足兩者相等，這個題目顯然不滿足，故不正確.對于D：由線性回歸方程一定過（，），即（1，2）．故選：C．點睛：本題考查了線性回歸方程的求法及應用，屬于基礎題，對于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿足回歸方程，再者計算精準，正確理解題意，應用回歸方程對總體進行估計.11、D【解題分析】因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（3，-4），故選D.考點：雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點睛】漸近線是雙曲線獨特的性質(zhì)，在解決有關雙曲線問題時，需結合漸近線從數(shù)形結合上找突破口.與漸近線有關的結論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設為；（2）若漸近線方程為，則可設為；（3）雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大小．另外解決不等式恒成立問題關鍵是等價轉化，其實質(zhì)是確定極端或極限位置.12、D【解題分析】

根據(jù)雷達圖，依次判斷每個選項的正誤得到答案.【題目詳解】根據(jù)雷達圖得甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)低于乙，所以A錯誤根據(jù)雷達圖得甲的數(shù)學建模素養(yǎng)等于數(shù)學抽象素養(yǎng)，所以B錯誤根據(jù)雷達圖得乙的六大素養(yǎng)中數(shù)學建模和數(shù)學抽象最差，所以C錯誤根據(jù)雷達圖得乙整體為27分，甲整體為22分，乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲，所以D正確故答案選D【題目點撥】本題考查了雷達圖，意在考查學生解決問題的能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)隨機變量符合正態(tài)分布和正態(tài)分布的曲線關于對稱，得到一對對稱區(qū)間的概率之間的關系，即可求得結果【題目詳解】隨機變量服從正態(tài)分布曲線關于直線對稱故答案為【題目點撥】本題主要考查的知識點是正態(tài)分布，解題的關鍵是正態(tài)分布和正態(tài)分布的曲線關于對稱，屬于基礎題。14、【解題分析】

從5條線段中任取3條共有10種情況,將能構成三角形的情況數(shù)列出,即可得概率.【題目詳解】從5條線段中任取3條,共有種情況,其中,能構成三角形的有：3,4,5;3,5,7;3,7,9;4,5,7;4,7,9;5,7,9.共6種情況；即能構成三角形的概率是,故答案為：【題目點撥】本題考查了古典概型的概率公式,注意統(tǒng)計出滿足條件的情況數(shù),再除以總情況數(shù)即可,屬于基礎題.15、-32【解題分析】n＝，二項式的展開式的通項為，令＝0，則r＝3，展開式中常數(shù)項為(－2)3＝－8×4＝－32.故答案為-32.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).16、【解題分析】由題意得，因此三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）z＝3+4i；（2）c＝8【解題分析】

（1）設，由，進行計算化簡，得到關于的方程組，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由∠AOB是直角，得到，得到關于的方程，求出的值.【題目詳解】（1）設，由，得，∴，解得．∴；（2）由題意，的坐標分別為∴，，∵是直角，∴，即．【題目點撥】本題考查復數(shù)的運算，復數(shù)模長的表示，向量垂直的坐標表示，屬于簡單題.18、（1）語文成績優(yōu)秀的同學有人，數(shù)學成績優(yōu)秀的同學有人.（2）分布列見解析，；（3）沒有以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數(shù)學成績也優(yōu)秀.【解題分析】

（1）語文成績服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的原則可得語文成績優(yōu)秀的概型及人數(shù)，根據(jù)數(shù)學成績的頻率分布直方圖可以計算數(shù)學成績優(yōu)秀的概率及人數(shù)；（2）語文和數(shù)學兩科都優(yōu)秀的有4人，則可算出單科優(yōu)秀的學生人數(shù)，從中隨機抽取3人，則3人中兩科都優(yōu)秀的可能為0、1、2、3四種情況，服從超幾何分布，利用概率公式分別求出概率，即可寫出分布列及數(shù)學期望；（3）先完成列聯(lián)表，利用公式求出卡方的值比較參考數(shù)據(jù)即可得出結論；【題目詳解】解：（1）因為語文成績服從正態(tài)分布所以語文成績優(yōu)秀的概率數(shù)學成績優(yōu)秀的概率所以語文成績優(yōu)秀的同學有人，數(shù)學成績優(yōu)秀的同學有人.（2）語文數(shù)學兩科都優(yōu)秀的有4人，單科優(yōu)秀的有10人，的所有可能取值為0、1、2、3，，，，所以的分布列為：（3）列聯(lián)表：語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀數(shù)學不優(yōu)秀合計所以沒有以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數(shù)學成績也優(yōu)秀.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布的概率計算，頻率分布直方圖的應用，離散型隨機變量的分布列及期望的計算，獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.19、(1)證明見解析(2)【解題分析】

（1）取中點，連接，，易知要證，先證平面；（2）如圖以為坐標原點，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量及直線的方向向量，即可得到結果.【題目詳解】(1)證明:取中點，連接，，有，因為，所以，又因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以又因為，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以.(2)設，如圖以為坐標原點，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，由(1)可知，，所以，故，，，，，對平面，，，所以其法向量為.又，所以直線與平面成角的正弦值.【題目點撥】本題主要考查線面垂直的證明、中位線定理以及利用空間向量求線面角的正弦值，考查了學生空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．20、(1)或.(2).【解題分析】分析：（Ⅰ）根據(jù)圓的一般方程的條件列不等式求出的范圍；

（Ⅱ）利用垂徑定理得出圓的半徑，從而得出的值．詳解：(Ⅰ)曲線C變形可得：，由可得或(Ⅱ)因為a=3，所以C的方程為即，所以圓心C（3,0），半徑,因為所以C到直線AB的距離,解得..點睛：本題考查了圓的標準方程，考查圓的弦長的求法，