2024屆玉溪市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆玉溪市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是曲線上的一個動點，記此曲線在點點處的切線的傾斜角為，則可能是（）A． B． C． D．2．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A． B． C． D．3．函數(shù)的定義域是R，，對任意的，都有成立，則不等式的解集為()A． B． C． D．4．已知，，，若,則（）A．2 B． C． D．55．兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98 B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50 D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.256．(3x-13xA．7 B．-7 C．21 D．-217．已知拋物線，過其焦點的直線交拋物線于兩點，若，則的面積（為坐標(biāo)原點）為（）A． B． C． D．8．六位同學(xué)排成一排，其中甲和乙兩位同學(xué)相鄰的排法有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種9．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（）A．34 B．55 C．78 D．8911．在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為（）A．30 B．36 C．60 D．7212．若函數(shù)＝sinxcosx,x∈R,則函數(shù)的最小值為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知展開式中的系數(shù)是__________．14．在中，，，，點在線段上，若，則________.15．向量，，在正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中的位置如圖所示，若向量與共線，則________．16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，數(shù)列的前項和為.若，則數(shù)列的通項公式為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知一次函數(shù)f(x)滿足：f(1)=2,f(2x)=2f(x)-1.(1)求f(x)的解析式;(2)設(shè),若|g(x)|－af(x)＋a≥0，求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）如圖，在棱長為1的正方體中，點在上移動，點在上移動，，連接.（1）證明：對任意，總有∥平面；（2）當(dāng)?shù)拈L度最小時，求二面角的平面角的余弦值．19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點的個數(shù)；（2）若函數(shù)存在最小值，證明：的最小值不大于1．20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于在定義域內(nèi)的任意，都有，求的取值范圍．21．（12分））已知.（I）試猜想與的大小關(guān)系；（II）證明（I）中你的結(jié)論.22．（10分）已知在中，角，，的對邊分別為，，，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的值域，結(jié)合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解．詳解：由，得

當(dāng)且僅當(dāng)時上式“=”成立．，即曲線在點點處的切線的斜率小于等于-1．

則，

又，故選：B．點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．2、C【解題分析】

求得拋物線的焦點，雙曲線的漸近線，再由點到直線的距離公式求出結(jié)果.【題目詳解】依題意，拋物線的焦點為，雙曲線的漸近線為，其中一條為，由點到直線的距離公式得.故選C.【題目點撥】本小題主要考查拋物線的焦點坐標(biāo)，考查雙曲線的漸近線方程，考查點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

結(jié)合已知條件分析,需要構(gòu)造函數(shù),通過條件可得到,在R上為增函數(shù),利用單調(diào)性比較,即可得出答案．【題目詳解】∵任意的,都有,即,又要解,∴設(shè)則∴在R上為增函數(shù),而,即,.故選：A.【題目點撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.4、A【解題分析】

先求出的坐標(biāo)，再利用共線向量的坐標(biāo)關(guān)系式可求的值.【題目詳解】，因，故，故.故選A.【題目點撥】如果，那么：（1）若，則；（2）若，則；5、A【解題分析】解：因為回歸模型中擬合效果的好不好，就看相關(guān)指數(shù)是否是越接近于1，月接近于1，則效果越好．選A6、C【解題分析】

直接利用二項展開式的通項公式，求出x-3對應(yīng)的r值，再代入通項求系數(shù)【題目詳解】∵T當(dāng)7-5r3=-3時，即r=6∴x-3的系數(shù)是【題目點撥】二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)要注意區(qū)別.7、B【解題分析】

首先過作，過作（為準(zhǔn)線），，易得，.根據(jù)直線：與拋物線聯(lián)立得到，根據(jù)焦點弦性質(zhì)得到，結(jié)合已知即可得到，再計算即可.【題目詳解】如圖所示：過作，過作（為準(zhǔn)線），.因為，設(shè)，則，.所以.在中，，所以.則.，直線為.，.所以，.在中，.所以.故選：B【題目點撥】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，同時考查焦點弦的性質(zhì)，屬于中檔題.8、C【解題分析】分析：直接利用捆綁法求解.詳解：把甲和乙捆綁在一起，有種方法，再把六個同學(xué)看成5個整體進(jìn)行排列，有種方法，由乘法分步原理得甲和乙兩位同學(xué)相鄰的排法有種.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查排列組合的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相鄰問題，常用捆綁法，先把相鄰元素捆綁在一起，再進(jìn)行排列.9、D【解題分析】

直接把給出的復(fù)數(shù)寫出代數(shù)形式，得到對應(yīng)的點的坐標(biāo)，則答案可求．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為位于第一象限，故選A．【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，以及復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】試題分析：由題意，①②③④⑤⑥⑦⑧，從而輸出，故選B.考點：1.程序框圖的應(yīng)用.11、C【解題分析】

記事件位男生連著出場，事件女生甲排在第一個，利用容斥原理可知所求出場順序的排法種數(shù)為，再利用排列組合可求出答案?！绢}目詳解】記事件位男生連著出場，即將位男生捆綁，與其他位女生形成個元素，所以，事件的排法種數(shù)為，記事件女生甲排在第一個，即將甲排在第一個，其他四個任意排列，所以，事件的排法種數(shù)為，事件女生甲排在第一位，且位男生連著，那么只需考慮其他四個人，將位男生與其他個女生形成三個元素，所以，事件的排法種數(shù)為種，因此，出場順序的排法種數(shù)種，故選：C。【題目點撥】本題考查排列組合綜合問題，題中兩個事件出現(xiàn)了重疊，可以利用容斥原理來等價處理，考查計算能力與分析問題的能力，屬于中等題。12、B【解題分析】∵函數(shù)，∴函數(shù)的最小值為故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用二項展開式的通項公式,求得,從而可得答案.【題目詳解】因為展開式的通項公式為,,所以令,解得,所以展開式中的系數(shù)是.故答案為:36.【題目點撥】本題考查了二項展開式的通項公式,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)題意，由于題目中給出了較多的邊和角，根據(jù)題目列出對應(yīng)的正余弦定理的關(guān)系式，能較快解出BD的長度.【題目詳解】根據(jù)題意，以點A為原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。過點B作垂直AC交AC于點E，則,又因為在中，,所以,,故.【題目點撥】本題主要考查學(xué)生對于正余弦定理的掌握，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系下的問題是解決本題的關(guān)鍵.15、【解題分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，從而得到的坐標(biāo)，這樣即可得出的坐標(biāo)，根據(jù)與共線，可求出，從而求出的坐標(biāo)，即得解.【題目詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：；與共線故答案為：【題目點撥】本題考查了平面向量線性運算和共線的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.16、【解題分析】

先設(shè)數(shù)列的前項和為，先令，得出求出的值，再令，得出，結(jié)合的值和的通項的結(jié)構(gòu)得出數(shù)列的通項公式?！绢}目詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，則.當(dāng)時，，，；當(dāng)時，.也適合上式，.由于數(shù)列是等差數(shù)列，則是關(guān)于的一次函數(shù)，且數(shù)列是等比數(shù)列，，可設(shè)，則，，因此，。故答案為：?！绢}目點撥】本題考查利用前項和公式求數(shù)列的通項，一般利用作差法求解，即，在計算時要對是否滿足通項進(jìn)行檢驗，考查計算能力，屬于中等題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)f(x)=x+1.(2)a≤0.【解題分析】分析：（1）待定系數(shù)法即可求得f(x)的解析式；（2）分類討論、分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合都可以解決.詳解：(1)設(shè)f(x)=kx+b，則解得：k=b=1,故f(x)=x+1.(2)由(1)得:g(x)＝|g(x)|－af(x)＋a≥0可化為|g(x)|≥ax.∵|g(x)|＝∴由|g(x)|≥ax可分兩種情況：(I)恒成立若x＝0，不等式顯然成立；若x<0時，不等式等價于x－2≤a.∵x－2<－2，∴a≥－2.(II)恒成立方法一[分離參數(shù)]：可化為a≤在(0,＋∞)上恒成立。令h(x)=,則h′(x)==令t(x)=x－(x+1)ln(x+1),則由t′(x)=-ln(x+1)<0知t(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,故t(x)<t(0)=0，于是h′(x)<0從而h(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減又當(dāng)x>0時,恒有h(x)=>0于是a≤0.方法二[分類討論]：ln(x+1)≥axln(x+1)－ax≥0令φ(x)=ln(x+1)－ax，則φ′(x)=－a=當(dāng)a≤0時,φ(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故有φ(x)>φ(0)=0成立;當(dāng)0<a<1時,φ(x)在(0,－1)上單調(diào)遞增,在(－1＋∞)是遞減.取x=－1,易知φ(－1)=-2lna+a－<0，故不合題意；當(dāng)a≥1時,φ(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減，顯然不合題意。所以a≤0.方法三[數(shù)形結(jié)合]：根據(jù)函數(shù)圖象可知a≤0.綜合(1)(2)得－2≤a≤0.點睛：本題主要考查不等式恒成立問題，一般常用方法是構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)、分離參數(shù)、分類討論是解決這種問題常用的方法.18、（1）見解析；（2）【解題分析】

作∥，交于點，作∥，交于點，連接.通過證明四邊形為平行四邊形,可得∥,再根據(jù)直線與平面平行的判斷定理可證.(2)根據(jù)題意計算得,再配方可得取最小值時分別為的中點,再取為,連接，，,可得是二面角的平面角,再計算可得.【題目詳解】（1）證明：如圖，作∥，交于點，作∥，交于點，連接.由題意得∥，且，則四邊形為平行四邊形.∴∥.又∵，，∴∥.（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，∴.∵，∴.∵，∴，.即，故當(dāng)時，的長度有最小值．分別取，的中點、，連接，，．易知，，故是二面角的平面角在中，．所以.【題目點撥】本題考查了直線與平面平行的判定定理,以及二面角,屬中檔題.19、（1）見解析；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)條件求出f'（x），然后通過構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x2ex（x＞1），進(jìn)一步得到f'（x）的零點個數(shù)；（2）由題意可知a≥1時，函數(shù)f（x）無最小值，則只需討論當(dāng)a＜1時，f（x）是否存在最小值即可．【題目詳解】(1),令,故在上單調(diào)遞增,且.當(dāng)時,導(dǎo)函數(shù)沒有零點,當(dāng)時,導(dǎo)函數(shù)只有一個零點.(2)證明:當(dāng)時..則函數(shù)無最小值.故時,則必存在正數(shù)使得.函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，,令.則令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以,即.所以的最小值不大于1.【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點個數(shù)的判斷和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了函數(shù)思想和分類討論思想，屬中檔題．20、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解題分析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)分別解出不等式和，可得出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間和增區(qū)間；（2）由，利用參變量分離得，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可得出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由，得，構(gòu)造函數(shù)，則.，令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即.，因此，實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，常用分類討論法與參變量分離法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.21、(1).(2)證明見解析.【解題分析】分析：（I）由題意，可取，則，，即可猜想；（II）令，則，得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可證明猜想.詳解：（I）取，則，，則有；再取，則，，則有.故猜想.（II）令，則，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為，所以，即，