山東省青島市58中2024屆數(shù)學高二第二學期期末調(diào)研模擬試題含解析

山東省青島市58中2024屆數(shù)學高二第二學期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點且斜率為的直線與拋物線：交于，兩點，若的焦點為，則（）A． B． C． D．2．若兩個正實數(shù)滿足,且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．某中學高二年級的一個研究性學習小組擬完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)430戶高收入家庭，980戶中等收入家庭，290戶低收入家庭中任意選出170戶調(diào)查社會購買力的某項指標；②從本年級12名體育特長生中隨機選出5人調(diào)查其學習負擔情況；則該研究性學習小組宜采用的抽樣方法分別是（）A．①用系統(tǒng)抽樣，②用簡單隨機抽樣 B．①用系統(tǒng)抽樣，②用分層抽樣C．①用分層抽樣，②用系統(tǒng)抽樣 D．①用分層抽樣，②用簡單隨機抽樣4．如圖，，分別是邊長為4的等邊的中線，圓是的內(nèi)切圓，線段與圓交于點.在中隨機取一點，則此點取自圖中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．5．設是定義在上的奇函數(shù)，且,當時，有恒成立，則不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪6．若直線（t為參數(shù)）與直線垂直，則常數(shù)k=（）A． B．6 C．6 D．7．現(xiàn)有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動，則不同選法的種數(shù)為（）A．15 B．14 C．13 D．128．二面角為，、是棱上的兩點，、分別在半平面、內(nèi)，，且，，則的長為A．1 B． C． D．9．設為方程的解.若，則n的值為（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知,為的導函數(shù)，則的圖象是（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則y＝f（x）的圖象大致為（）A． B．C． D．12．已知f(x)=2x2-xA．0,12 B．12,1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．120，168的最大公約數(shù)是__________．14．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點的直線交雙曲線右支于兩點，若是以為直角頂點的等腰三角形，則的面積為__________．15．已知函數(shù)，，當時，這兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)為____個．（參考數(shù)值：）16．公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在前人的基礎上寫了一部劃時代的著作《圓錐曲線論》，該書給出了當時數(shù)學家們所研究的六大軌跡問題，其中之一便是“到兩個定點的距離之比等于不為1的常數(shù)的軌跡是圓”，簡稱“阿氏圓”．用解析幾何方法解決“到兩個定點，的距離之比為的動點軌跡方程是：”，則該“阿氏圓”的圓心坐標是______，半徑是_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)，，(其中).（1）時,求函數(shù)的極值;（2）證：存在，使得在內(nèi)恒成立，且方程在內(nèi)有唯一解.18．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；（Ⅱ）已知，求證．19．（12分）已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）.(1線與曲線的普通方程；(2)，若直線與曲線相交于兩點（點在點的上方），求的值.20．（12分）在平面真角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若曲線與曲線交于M，N兩點，直線OM和ON的斜率分別為和，求的值．21．（12分）已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的極值；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”，設橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.（1）求橢圓及其“準圓"的方程；（2）若過點的直線與橢圓交于、兩點，當時，試求直線交“準圓”所得的弦長；（3）射線與橢圓的“準圓”交于點，若過點的直線，與橢圓都只有一個公共點，且與橢圓的“準圓”分別交于，兩點，試問弦是否為”準圓”的直徑?若是，請給出證明：若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，由點斜式求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標，利用數(shù)量積的坐標表示可得結果.詳解：拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線為，聯(lián)立直線與拋物線，消去可得，，解得，不仿，，則，故選D.點睛：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應用，平面向量的數(shù)量積的應用，意在考查綜合運用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.2、D【解題分析】

將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式，可得出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】由基本不等式得，當且僅當，由于，，即當時，等號成立，所以，的最小值為，由題意可得，即，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是，故選D.【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題，考查利用基本不等式求最值，對于不等式成立的問題，需要結合量詞來決定所選擇的最值，考查計算能力，屬于中等題．3、D【解題分析】

①總體由差異明顯的幾部分構成時，應選用分層抽樣；②總體個體數(shù)有限、逐個抽取、不放回、每個個體被抽到的可能性均等，應選用簡單隨機抽樣；∴選D4、A【解題分析】

利用等邊三角形中心的性質(zhì)，求得內(nèi)切圓的半徑和陰影部分面積，再根據(jù)幾何概型計算公式計算出所求的概率.【題目詳解】在中，，，因為，所以，即圓的半徑為，由此可得圖中陰影部分的面積等于，的面積為，故所求概率.故選A.【題目點撥】本題考查幾何概型問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識.屬于中檔題.5、B【解題分析】試題分析：因為當時，有恒成立，所以恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．因為,所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有．又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有．又因為不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集為∪，故應選．考點：1、函數(shù)的基本性質(zhì)；2、導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應用．【思路點睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應用，屬中檔題．其解題的一般思路為：首先根據(jù)商函數(shù)求導法則可知化為；然后利用導數(shù)的正負性可判斷函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性；再由可得函數(shù)在內(nèi)的正負性；最后結合奇函數(shù)的圖像特征可得，函數(shù)在內(nèi)的正負性，即可得出所求的解集．6、B【解題分析】

由參數(shù)方程直接求出斜率，表示出另一直線的斜率，利用垂直的直線斜率互為負倒數(shù)即可求出參數(shù)k.【題目詳解】由參數(shù)方程可求得直線斜率為：，另一直線斜率為：，由直線垂直可得：，解得：.故選B.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程求斜率與直線的位置關系，垂直問題一般有兩個方法：一是利用斜率相乘為-1，另一種是利用向量相乘得0.7、A【解題分析】分析：直接利用組合數(shù)求解即可．詳解：現(xiàn)有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動，則不同選法的種數(shù)為故選A點睛：本題考查組合的應用，屬基礎題..8、C【解題分析】試題分析：考點：點、線、面間的距離計算9、B【解題分析】

由題意可得，令，由，可得，再根據(jù)，即可求解的值.【題目詳解】有題意可知是方程的解，所以，令，由，所以，再根據(jù)，可得，故選B.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的零點與方程的根的關系，以及函數(shù)的零點的判定定理的應用，其中解答中合理吧方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，利用零點的判定定理是解答的關鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.10、A【解題分析】

先求得函數(shù)的導函數(shù)，再對導函數(shù)求導，然后利用特殊點對選項進行排除，由此得出正確選項.【題目詳解】依題意，令，則.由于，故排除C選項.由于，故在處導數(shù)大于零，故排除B,D選項.故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查導數(shù)的運算，考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎題.11、A【解題分析】

利用特殊值判斷函數(shù)的圖象即可．【題目詳解】令，則，再取，則，顯然，故排除選項B、C；再取時，，又當時，，故排除選項D.故選：A.【題目點撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，特殊值法比利用函數(shù)的導函數(shù)判斷單調(diào)性與極值方法簡潔，屬于基礎題.12、B【解題分析】

求出函數(shù)y=fx的定義域，并對該函數(shù)求導，解不等式f'x【題目詳解】函數(shù)y=fx的定義域為0,+∞f'令f'x<0，得12<x<1，因此，函數(shù)y=f【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，除了解導數(shù)不等式之外，還要注意將解集與定義域取交集，考查計算能力，屬于中等題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解題分析】∵，∴120，168的最大公約數(shù)是24.答案：2414、【解題分析】設，根據(jù)雙曲線的定義，有，即.，，故三角形面積為.點睛：本題主要考查雙曲線的定義，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.解答直線與圓錐曲線位置關系題目時，首先根據(jù)題意畫出曲線的圖像，然后結合圓錐曲線的定義和題目所給已知條件來求解.利用題目所給等腰直角三角形，結合定義可求得直角三角形的邊長，由此求得面積.15、1．【解題分析】

原問題等價于函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx與函數(shù)y＝m，m∈（7，8）的交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象觀察即可得出答案．【題目詳解】函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的交點個數(shù)，即為﹣x2+8x＝6lnx+m的解的個數(shù)，亦即函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx與函數(shù)y＝m，m∈（7，8）的交點個數(shù)，，令y′＝0，解得x＝1或x＝1，故當x∈（0，1）時，y′＜0，此時函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx單調(diào)遞減，當x∈（1，1）時，y′＞0，此時函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx單調(diào)遞增，當x∈（1，+∞）時，y′＜0，此時函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx單調(diào)遞減，且y|x＝1＝7，y|x＝1＝15﹣6ln1＞8，作出函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx的草圖如下，由圖可知，函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx與函數(shù)y＝m，m∈（7，8）有1個交點．故答案為：1．【題目點撥】本題考查函數(shù)圖象的運用，考查函數(shù)交點個數(shù)的判斷，考查了運算能力及數(shù)形結合思想，屬于中檔題．16、2【解題分析】

將圓化為標準方程即可求得結果.【題目詳解】由得：圓心坐標為：，半徑為：本題正確結果：；【題目點撥】本題考查根據(jù)圓的方程求解圓心和半徑的問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；;(2)見解析.【解題分析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，通過討論m的范圍，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出滿足條件的m的范圍，從而證出結論即可．【題目詳解】解：（I）當時,,令,得,,當變化時,的變化如下表:極大值極小值由表可知,；；（II）設，，，若要有解，需有單減區(qū)間，則要有解，由，，記為函數(shù)的導數(shù)則，當時單增，令，由，得，需考察與區(qū)間的關系：①當時，，，在上，單增，故單增，，無解；②當，時，，，因為單增，在上，在上當時，（i）若，即時，，單增，，無解；（ii）若，即，，在上，，單減；，，在區(qū)間上有唯一解，記為；在上，單增，，當時，故在區(qū)間上有唯一解，記為，則在上，在上，在上，當時，取得最小值，此時若要恒成立且有唯一解，當且僅當，即，由有聯(lián)立兩式解得.綜上，當時，【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想、函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．18、(1).(2)證明見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）先求導，再利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的最大值.（Ⅱ）利用分析法證明，先轉(zhuǎn)化成證明再構造函數(shù)，再求證函數(shù).詳解：（I）因為，所以當時；當時，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以的最大值為.（II）由得，，則，又因為，有，構造函數(shù)則，當時，，可得在單調(diào)遞增，有，所以有．點睛：（1）本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查利用導數(shù)證明不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)解答本題的關鍵有兩點，其一是先轉(zhuǎn)化成證明其二構造函數(shù)，再求證函數(shù).19、(1),;(2).【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)加減消元法得直線的普通方程；根據(jù)三角函數(shù)平方關系得曲線的普通方程（2）由橢圓的定義知：，根據(jù)直線參數(shù)方程幾何意義得，將直線參數(shù)方程代入曲線的普通方程，根據(jù)韋達定理可得結果試題解析：解：（1）由直線已知直線（為參數(shù)），消去參數(shù)得：曲線（為參數(shù)）消去參數(shù)得：.（2）設將直線的參數(shù)方程代入得：由韋達定理可得：結合圖像可知，由橢圓的定義知：.20、（1），（2）1【解題分析】

（1）消去t即可得的普通方程，通過移項和可得的普通方程；（2）由可得的幾何意義是斜率，將的參數(shù)方程代入的普通方程，得到關于t的方程且，由韋達定理可得．【題目詳解】解：（1）．由，（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，得，即的普通方程為，由，得，即，將代入，得，即的直角坐標方程為．（2）．由（t為參數(shù)），得，則的幾何意義是拋物線上的點（原點除外）與原點連線的斜率．由題意知，將，（t為參數(shù)）代入，得．由，且得，且．設M，N對應的參數(shù)分別為、，則，，所以．【題目點撥】本題考查參數(shù)方程，極坐標方程化為普通方程和參數(shù)方程在幾何問題中的應用．21、（1）極大值為，函數(shù)無極小值；（2）【解題分析】分析：（1）由函數(shù)在點處的切線與直線垂直，利用導數(shù)的幾何意義求得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值；（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，令，利用導數(shù)可得當時，在上是增函數(shù)，，故當時，，再證明當時不合題意即可.詳解：（1）函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)在點處的切線的斜率.∵該切線與直線垂直，所以，解得.∴，，令，解得.顯然當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.∴函數(shù)的極大值為，函數(shù)無極小值.（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，令，則，令，則在上為增函數(shù)，即，①當時，，即，則在上是增函數(shù)，∴，故當時，在上恒成立.②當時，令，得，當時，，則