安徽省巢湖市匯文實驗學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省巢湖市匯文實驗學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題，命題，則（）A．命題是假命題 B．命題是真命題C．命題是真命題 D．命題是假命題2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且以2為周期，當(dāng)時，，則的值為（）A． B． C． D．3．中，，且，點滿足，則A． B． C． D．4．已知集合，則等于（）A． B． C． D．5．關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個零點④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③6．已知，，，則（）．A． B． C． D．7．已知的分布列為：設(shè)則的值為（）A． B． C． D．58．若，則直線被圓所截得的弦長為（）A． B． C． D．9．參數(shù)方程（為參數(shù)）對應(yīng)的普通方程為（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，且對任意的，都有恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．11．在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨立思考完成，然后一起討論.甲說：“我做錯了！”乙對甲說：“你做對了！”丙說：“我也做錯了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧α?，有且只有一人說對了.”請問下列說法正確的是（）A．乙做對了 B．甲說對了 C．乙說對了 D．甲做對了12．用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，不等式左邊需添加的項是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若正實數(shù)滿足，則的最小值是__________．14．若,則在的展開式中,項的系數(shù)為_________15．在的展開式中常數(shù)項是__________．16．現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍的小球各三個，相同顏色的小球依次編號、、，從中任取個小球，顏色編號均不相同的情況有___________種．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖在直三棱柱中，，為中點．（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ）若，且，求二面角的余弦值．18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）求三棱柱的體積；（2）若點M是棱AC的中點，求直線與平面ABC所成的角的大小.19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性：（Ⅱ）若函數(shù)的兩個零點為，且，求證：.20．（12分）已知橢圓：的離心率，該橢圓中心到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點的直線，使直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過定點？若存在，求出所有符合條件的直線方程；若不存在，請說明理由.21．（12分）某種證件的獲取規(guī)則是：參加科目A和科目B的考試，每個科目考試的成績分為合格與不合格，每個科目最多只有2次考試機會，且參加科目A考試的成績?yōu)楹细窈?，才能參加科目B的考試；參加某科目考試的成績?yōu)楹细窈螅辉賲⒓釉摽颇康目荚?，參加兩個科目考試的成績均為合格才能獲得該證件．現(xiàn)有一人想獲取該證件，已知此人每次參加科目A考試的成績?yōu)楹细竦母怕适?，每次參加科目B考試的成績?yōu)楹细竦母怕适牵腋鞔慰荚嚨某煽優(yōu)楹细衽c不合格均互不影響．假設(shè)此人不放棄按規(guī)則所給的所有考試機會，記他參加考試的次數(shù)為X.（1）求X的所有可能取的值；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在區(qū)間與上均有零點；（提示）（2）若關(guān)于的方程存在非負實數(shù)解，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：先判斷出命題p與q的真假，再由復(fù)合命題真假性的判斷法則，即可得到正確結(jié)論．解：由于x=10時，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命題p為真命題，令x=0，則x2=0，故命題q為假命題，依據(jù)復(fù)合命題真假性的判斷法則，得到命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題，￢q是真命題，進而得到命題p∧（￢q）是真命題，命題p∨（￢q）是真命題．故答案為C．考點：全稱命題；復(fù)合命題的真假．2、A【解題分析】

根據(jù)題意可得：，代入中計算即可得到答案?！绢}目詳解】由于；因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且以2為周期；所以又因為，所以；故答案選A【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，奇偶性、周期性，以及對數(shù)的有關(guān)運算，屬于基礎(chǔ)題。3、D【解題分析】分析：以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算即可求解．詳解：由題意，以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點，則，又由，所以，即，所以，所以，故選D．點睛：本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示與向量的坐標(biāo)運算問題，其中恰當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺?biāo)系，求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的運算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力．4、C【解題分析】

由不等式性質(zhì)求出集合A、B，由交集的定義求出可得答案.【題目詳解】解：可得；，可得=故選C.【題目點撥】本題考查了交集及其運算，求出集合A、B并熟練掌握交集的定義是解題的關(guān)鍵.5、C【解題分析】

化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案．【題目詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯誤．當(dāng)時，，它有兩個零點：；當(dāng)時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當(dāng)時，；當(dāng)時，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．【題目點撥】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．6、C【解題分析】試題分析：因為所以選C．考點：比較大小7、A【解題分析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【題目詳解】由題意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故選A．【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)期望的運算性質(zhì)，也可根據(jù)兩個變量之間的關(guān)系寫出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．8、B【解題分析】因為，所以圓心到直線的距離，所以，應(yīng)選答案B。9、C【解題分析】

將參數(shù)方程消參后，可得普通方程，結(jié)合三角函數(shù)值域即可判斷定義域.【題目詳解】參數(shù)方程（為參數(shù)），消參后可得，因為所以即故選：C.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，注意自變量取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

先求出導(dǎo)函數(shù)，再分別討論，，的情況，從而得出的最大值【題目詳解】由題可得：；（1）當(dāng)時，則，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）當(dāng)時，則在恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故不可能恒有；（3）當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，對任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，則在上所以單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；所以的最大值為；綜述所述，的最大值為；故答案選B【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，屬于中檔題。11、B【解題分析】

分三種情況討論：甲說法對、乙說法對、丙說法對，通過題意進行推理，可得出正確選項.【題目詳解】分以下三種情況討論：①甲的說法正確，則甲做錯了，乙的說法錯誤，則甲做錯了，丙的說法錯誤，則丙做對了，那么乙做錯了，合乎題意；②乙的說法正確，則甲的說法錯誤，則甲做對了，丙的說法錯誤，則丙做對了，矛盾；③丙的說法正確，則丙做錯了，甲的說法錯誤，則甲做對了，乙的說法錯誤，則甲做錯了，自相矛盾.故選：B.【題目點撥】本題考查簡單的合情推理，解題時可以采用分類討論法進行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.12、B【解題分析】分析：分析，時，左邊起始項與終止項，比較差距，得結(jié)果.詳解：時，左邊為,時，左邊為,所以左邊需添加的項是，選B.點睛：研究到項的變化，實質(zhì)是研究式子變化的規(guī)律，起始項與終止項是什么，中間項是如何變化的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】因為，所以函數(shù)為單調(diào)遞增奇函數(shù)，因此由，得因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.14、【解題分析】分析：由定積分求得，寫出二項展開式的通項為，進而可求解的系數(shù).詳解：由，所以二項式為，則二項式的展開式的通項為，當(dāng)時，，即的系數(shù)為.點睛：本題主要考查了定積分的計算和二項式定理的應(yīng)用，其中熟記微積分基本定理和二項展開式的通項的合理運用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理和運算能力.15、14【解題分析】，令，則展開式中得常數(shù)項為.【題目點撥】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項.根據(jù)通項公式,根據(jù)所求項的要求，解出，再給出所求答案.16、【解題分析】

設(shè)紅色的三個球分別為、、，黃色的三個球分別為、、，藍色的三個球分別為、、，列出所有符合條件的選法組合，可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)紅色的三個球分別為、、，黃色的三個球分別為、、，藍色的三個球分別為、、，現(xiàn)從中任取個小球，顏色編號均不相同的情況有：、、、、、，因此，從中任取個小球，顏色編號均不相同的情況有種，故答案為.【題目點撥】本題考查分類計數(shù)原理的應(yīng)用，在求解排列組合問題時，若符合條件的基本事件數(shù)較少時，可采用列舉法求解，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（I）連結(jié)，由題意可證得，從而得為中點，所以，又由題意得得，所以得．（也可通過面面垂直證線面垂直）（II）由題意可得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量分別為，，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值．試題解析：（I）證明：連結(jié)，∵平面平面，平面，∴，∵為中點，∴為中點，∵，∴①，法一：由平面，平面，得，②，由①②及，所以平面．法二：由平面，平面，∴平面平面，又平面平面,所以平面．（II）解：由，得，由（I）知，又，得，∵，∴，∴兩兩垂直，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，得，，設(shè)是平面的一個法向量，由，得,令，得，設(shè)為平面的一個法向量，由，得.令，得，∴根據(jù)題意知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．點睛：向量法求二面角大小的兩種方法（1）分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，解題時要注意結(jié)合實際圖形判斷所求二面角為銳角還是鈍角．（2）分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大?。?8、（1）（2）【解題分析】

（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝1，BC＝1．能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．（2）點M是棱AC的中點，B1M在平面ABC的射影為直線MB，則∠B1MB就是直線B1M與平面ABC所成的角的大小，由此能求出直線B1M與平面ABC所成的角的大?。绢}目詳解】（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝1，BC＝1．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積：V12．（2）點M是棱AC的中點，B1M在平面ABC的射影為直線MB，則∠B1MB就是直線B1M與平面ABC所成的角的大小，tan∠B1MB，∴∠B1MB＝arctan．∴直線B1M與平面ABC所成的角的大小為arctan．【題目點撥】本題考查三棱錐的體積的求法，考查線面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．19、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解題分析】試題分析：（Ⅰ）由,可得在上單調(diào)增；在上單調(diào)增；在上單調(diào)減；（Ⅱ）根據(jù)有,由此可得,令,可以確定根據(jù)在上單調(diào)增,所以試題解析：（Ⅰ）函數(shù),的定義域為,在上單調(diào)增；在上單調(diào)增；在上單調(diào)減.（Ⅱ）令,令,則令,令,則在上單調(diào)增,考點：函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.20、(1).(2)存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過點.【解題分析】分析：由，該橢圓中心到直線的距離為，求出橢圓方程；（2）先假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)出直線方程（注意考慮斜率），與橢圓聯(lián)立，考慮然后設(shè)，，利用韋達定理，利用為直徑的圓過定點，轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化坐標(biāo)構(gòu)造方程進行求解．詳解：（1）直線的一般方程為，依題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線即為軸，此時，為橢圓的短軸端點，以為直徑的圓經(jīng)過點.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為，由，得.所以，得.設(shè)，，則，①而.因為以為直徑的圓過定點，所以，則，即.所以.②將①式代入②式整理解得.綜上可知，存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過點.點晴：本題考查直線與橢圓