2024屆廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學數(shù)學高二下期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學數(shù)學高二下期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，，則（）A． B． C． D．2．已知，，，若,則（）A．2 B． C． D．53．的展開式中只有第5項二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)是（）A． B． C． D．4．已知球是棱長為1的正方體的外接球，則平面截球所得的截面面積為()A． B． C． D．5．在的展開式中，的系數(shù)等于A．280 B．300 C．210 D．1206．從A，B，C，D，E5名學生中選出4名分別參加數(shù)學、物理、化學、外語競賽，其中A不參加物理、化學競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為()A．24 B．48C．72 D．1207．在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．8．焦點為且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是A． B． C． D．9．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機采訪了9位代表，將數(shù)據(jù)制成莖葉圖如圖，若用樣本估計總體，年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是（精確到）（）A． B． C． D．10．下列關(guān)于“頻率”和“概率”的說法中正確的是（）（1）在大量隨機試驗中，事件出現(xiàn)的頻率與其概率很接近；（2）概率可以作為當實驗次數(shù)無限增大時頻率的極限；（3）計算頻率通常是為了估計概率．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）11．已知直線、經(jīng)過圓的圓心，則的最小值是A．9 B．8 C．4 D．212．展開式中項的系數(shù)是A．4 B．5C．8 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于________________．14．拋物線上的點到準線的距離為__________．15．甲、乙兩位同學進行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每人分別進行三次投籃.乙恰好比甲多投進2次的概率是______.16．已知三棱錐的底面是等腰三角形，，底面，，則這個三棱錐內(nèi)切球的半徑為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列，求的前項和．18．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；（2）若函數(shù)在處取得極值，且對任意,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，求證：．19．（12分）已知在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是（t是參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）判斷直線與曲線C的位置關(guān)系；（2）設(shè)點為曲線C上任意一點，求的取值范圍．20．（12分）在中，已知的平分線交于點，.（1）求與的面積之比；（2）若，，求和.21．（12分）為紀念“五四運動”100周年，某校團委舉辦了中國共產(chǎn)主義青年團知識宣講活動活動結(jié)束后，校團委對甲、乙兩組各10名團員進行志愿服務(wù)次數(shù)調(diào)查，次數(shù)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以表示．（1）若甲組服務(wù)次數(shù)的平均值不小于乙組服務(wù)次數(shù)的平均值，求圖中所有可能的取值；（2）團委決定對甲、乙兩組中服務(wù)次數(shù)超過15次的團員授予“優(yōu)秀志愿者”稱號設(shè)，現(xiàn)從所有“優(yōu)秀志愿者”里任取3人，求其中乙組的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望．22．（10分）已知函數(shù)f（x）＝xlnxx2﹣ax+1．（1）設(shè)g（x）＝f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，求證：x1+x2＞2．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由，得，故選B.2、A【解題分析】

先求出的坐標，再利用共線向量的坐標關(guān)系式可求的值.【題目詳解】，因，故，故.故選A.【題目點撥】如果，那么：（1）若，則；（2）若，則；3、C【解題分析】

根據(jù)只有第5項系數(shù)最大計算出，再計算展開式中含項的系數(shù)【題目詳解】只有第5項系數(shù)最大,展開式中含項的系數(shù),系數(shù)為故答案選C【題目點撥】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.4、D【解題分析】

根據(jù)正方體的特征，求出球的直徑和球心O到平面的距離，求出截面圓的半徑，即可得到面積.【題目詳解】球是棱長為1的正方體的外接球，其體對角線就是球的直徑，所以球的半徑為，根據(jù)正方體的性質(zhì)O到平面的距離為，所以平面截球所得的截面圓的半徑為，所以其面積為.故選：D【題目點撥】此題考查求幾何體外接球問題，根據(jù)幾何特征求出外接球的半徑，根據(jù)圓心到截面的距離求截面圓的半徑，進而求解面積.5、D【解題分析】

根據(jù)二項式定理，把每一項里的系數(shù)單獨寫下來，然后相加，再根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，化簡求值．【題目詳解】解：在的展開式中，項的系數(shù)為．故選D．【題目點撥】本題主要考查二項式定理展開以及利用組合數(shù)性質(zhì)進行化簡求值．6、C【解題分析】

根據(jù)題意,分2種情況討論:①不參加任何競賽,此時只需要將四個人全排列，對應(yīng)參加四科競賽即可；②參加競賽,依次分析與其他四人的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理可得此時參加方案的種數(shù)，進而由分類計數(shù)原理計算可得結(jié)論.【題目詳解】參加時參賽方案有(種)，不參加時參賽方案有(種)，所以不同的參賽方案共72種，故選C.【題目點撥】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.7、A【解題分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.點睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.8、A【解題分析】

根據(jù)題目要求解的雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且焦點在y軸上可知，設(shè)雙曲線的方程為，將方程化成標準形式，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，求解出的值，即可求出答案．【題目詳解】由題意知，設(shè)雙曲線的方程為，化簡得．解得．所以雙曲線的方程為，故答案選A．【題目點撥】本題主要考查了共漸近線的雙曲線方程求解問題,共漸近線的雙曲線系方程與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，若，則雙曲線的焦點在x軸上，若，則雙曲線的焦點在y軸上．9、A【解題分析】

求出樣本平均值與方差，可得年齡在內(nèi)的人數(shù)有5人，利用古典概型概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】,,年齡在內(nèi)，即內(nèi)的人數(shù)有5人，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是等于，故選A.【題目點撥】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)公式．樣本方差公式，標準差.10、D【解題分析】

利用頻率和概率的定義分析判斷得解.【題目詳解】（1）在大量隨機試驗中，事件出現(xiàn)的頻率與其他概率很接近，所以該命題是真命題；（2）概率可以作為當實驗次數(shù)無限增大時頻率的極限，所以該命題是真命題；（3）計算頻率通常是為了估計概率，所以該命題是真命題.故選D【題目點撥】本題主要考查頻率和概率的關(guān)系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.11、A【解題分析】

由圓的一般方程得圓的標準方程為，所以圓心坐標為，由直線過圓心，將圓心坐標代入得，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以最小值為1【題目詳解】圓化成標準方程，得，圓的圓心為，半徑．直線經(jīng)過圓心C，，即，因此，，、，，當且僅當時等號成立．由此可得當，即且時，的最小值為1．故選A．【題目點撥】若圓的一般方程為，則圓心坐標為，半徑12、B【解題分析】

把（1+x）5按照二項式定理展開，可得（1﹣x）（1+x）5展開式中x2項的系數(shù)．【題目詳解】（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出現(xiàn)的有1*10x2和﹣x*5x，其它的項相乘不能出現(xiàn)平方項，故展開式中x2項的系數(shù)是10﹣5=5，故選B．【題目點撥】這個題目考查的是二項式中的特定項的系數(shù)問題，在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】以AD,DC,DD1建立空間直角坐標系，則：得直線和所成角的余弦值等于14、2【解題分析】

先求出拋物線的準線方程，再求點(2,-1)到準線的距離得解.【題目詳解】由題得拋物線的準線方程為，所以點到準線的距離為.故答案為：2【題目點撥】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.15、；【解題分析】

將事件拆分為乙投進3次，甲投進1次和乙投進2次，甲投進0次，再根據(jù)二項分布的概率計算公式和獨立事件的概率計算即可求得.【題目詳解】根據(jù)題意，甲和乙投進的次數(shù)均滿足二項分布，且甲投進和乙投進相互獨立；根據(jù)題意：乙恰好比甲多投進2次，包括乙投進3次，甲投進1次和乙投進2次，甲投進0次.則乙投進3次，甲投進1次的概率為；乙投進2次，甲投進0次的概率為.故乙恰好比甲多投進2次的概率為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布的概率計算，屬綜合基礎(chǔ)題.16、【解題分析】分析：利用等體積法，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA?S△ABC，解得求出r，再根據(jù)球的體積公式即可求出．詳解：∵AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，∴∴S△ABC=×AC×BC=×1×1=，S△PAC=×AC×PA=S△PAB=×AB×PA=，S△PCB==，∴VP﹣ABC=×PA?S△ABC=，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA?S△ABC，解得r=．故答案為．點睛：（1）本題主要考查幾何體的內(nèi)切球問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象能力分析推理能力.(2)求幾何體的內(nèi)切球的半徑一般是利用割補法和等體積法.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項和公差表示，通過解方程組可得到基本量的值，從而求得通項公式；（2）借助于（1）可求得的通項公式，結(jié)合特點利用列項求和法求和試題解析：（1）由已知有，則（2），則考點：數(shù)列求通項公式就和18、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解題分析】試題分析：（1）由題意可得，分類討論有：當時，函數(shù)沒有極值點，當時，函數(shù)有一個極值點．（2）由題意可得，原問題等價于恒成立，討論函數(shù)的性質(zhì)可得實數(shù)的取值范圍是；（3）原問題等價于，繼而證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增即可.試題解析：（1），當時，在上恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點；當時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點．（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴，∴，令，，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．（3）證明：，令，則只要證明在上單調(diào)遞增，又∵，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．∴，即，∴在上單調(diào)遞增，即，∴當時，有．點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19、（1）相離；（2）.【解題分析】試題分析：本題考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，圓的參數(shù)方程的應(yīng)用以及直線和圓的位置關(guān)系的判斷．（1）把直線、曲線方程化為直角坐標方程后根據(jù)圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系判斷即可．（2）利用圓的參數(shù)方程，根據(jù)點到直線的距離公式和三角函數(shù)的知識求解．試題解析：（1）由，消去得直線的普通方程為：由，得.∴，即.化為標準方程得：.∴圓心坐標為，半徑為1，∵圓心到直線的距離，∴直線與曲線相離.（2）由為曲線上任意一點，可設(shè)，則，∵,∴∴的取值范圍是.20、（1）（2），【解題分析】

由三角形面積公式解出即可．利用余弦定理解出，再根據(jù)比值求出和．【題目詳解】（1）設(shè)與的面積分別為，，則，，因為平分，所以，又因為，所以，∴.（2）在中，由余弦定理得，，∴，由（1）得，∴，.【題目點撥】本題考查三角形的面積公式、余弦定理．屬于基礎(chǔ)題．21、（1）的取值為0或1或1．（1）見解析，【解題分析】

（1）根據(jù)甲組服務(wù)次數(shù)的平均值不小于乙組服務(wù)次數(shù)的平均值列不等式，由此求得的可能取值.（1）根據(jù)超幾何分布的分布列計算公式，計算出分布列并求得數(shù)學期望.【題目詳解】（1）甲組10名團員服務(wù)次數(shù)的平均值為，乙組10名團員服務(wù)次數(shù)的平均值為．由題意得，即．故圖中的取值為0或1或1．（1）由圖知，甲組“優(yōu)秀志愿者”有1人，乙組“優(yōu)秀志愿者”有3人．由題意，隨機變量的所有可能取值為1，1，3，則．所以的分布列為113故．【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)莖葉圖計算平均數(shù)，考查超幾何分布分布列和期望的計算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；（