上海市長寧、青浦、寶山、嘉定2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

上海市長寧、青浦、寶山、嘉定2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合，那么（）A． B． C． D．2．如圖，表示三個開關(guān)，設(shè)在某段時間內(nèi)它們正常工作的概率分別是0.9、0.8、0.7，那么該系統(tǒng)正常工作的概率是（）．A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.4963．已知，則（）A．16 B．17 C．32 D．334．若函數(shù)f（x）=有最大值，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．5．下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．“”是“對任意恒成立”的A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A． B． C． D．8．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，這名射手進(jìn)行了10次射擊，設(shè)為擊中目標(biāo)的次數(shù)，，，則=A． B． C． D．9．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是()A．1 B．2 C． D．10．“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件11．小明同學(xué)喜歡籃球，假設(shè)他每一次投籃投中的概率為，則小明投籃四次，恰好兩次投中的概率是（）A． B． C． D．12．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(4,π3)14．下列說法中錯誤的是__________（填序號）①命題“，有”的否定是“”，有”；②已知，，，則的最小值為；③設(shè)，命題“若，則”的否命題是真命題；④已知，，若命題為真命題，則的取值范圍是.15．關(guān)于x的方程的解為_________.16．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵中，.（1）求證：四棱錐為陽馬；并判斷四面體是否為鱉臑，若是，請寫出各個面的直角（要求寫出結(jié)論）.（2）若，當(dāng)陽馬體積最大時，求二面角的余弦值.18．（12分）某IT從業(yè)者繪制了他在26歲～35歲(2009年～2018年)之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點(diǎn)圖：（1）由散點(diǎn)圖知，可用回歸模型擬合與的關(guān)系，試根據(jù)附注提供的有關(guān)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程（2）若把月收入不低于2萬元稱為“高收入者”.試?yán)茫?）的結(jié)果，估計他36歲時能否稱為“高收入者”？能否有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系？附注：①.參考數(shù)據(jù)：，，,，，,，其中，取，②.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為:，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828③.．19．（12分）如圖，矩形和等邊三角形中，，平面平面．（1）在上找一點(diǎn)，使，并說明理由；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與圓相切，求的值.21．（12分）“微信運(yùn)動”是手機(jī)推出的多款健康運(yùn)動軟件中的一款，某學(xué)校140名老師均在微信好友群中參與了“微信運(yùn)動”，對運(yùn)動10000步或以上的老師授予“運(yùn)動達(dá)人”稱號，低于10000步稱為“參與者”，為了解老師們運(yùn)動情況，選取了老師們在4月28日的運(yùn)動數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，統(tǒng)計結(jié)果如下：運(yùn)動達(dá)人參與者合計男教師602080女教師402060合計10040140（Ⅰ）根據(jù)上表說明，能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下認(rèn)為獲得“運(yùn)動達(dá)人”稱號與性別有關(guān)？（Ⅱ）從具有“運(yùn)動達(dá)人”稱號的教師中，采用按性別分層抽樣的方法選取10人參加全國第四屆“萬步有約”全國健走激勵大賽某賽區(qū)的活動，若從選取的10人中隨機(jī)抽取3人作為代表參加開幕式，設(shè)抽取的3人中女教師人數(shù)為，寫出的分布列并求出數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）已知,命題:對,不等式恒成立；命題，使得成立.（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，若假，為真，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

把兩個集合的解集表示在數(shù)軸上，可得集合A與B的并集．【題目詳解】把集合A和集合B中的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則A∪B={x|-2＜x＜3}故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生理解并集的定義掌握并集的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題，屬基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

由題中意思可知，當(dāng)、元件至少有一個在工作，且元件在工作時，該系統(tǒng)正常公式，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率．【題目詳解】由題意可知，該系統(tǒng)正常工作時，、元件至少有一個在工作，且元件在元件，當(dāng)、元件至少有一個在工作時，其概率為，由獨(dú)立事件的概率乘法公式可知，該系統(tǒng)正常工作的概率為，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式，解題時要弄清楚各事件之間的關(guān)系，在處理至少等問題時，可利用對立事件的概率來計算，考查計算能力，屬于中等題．3、B【解題分析】

令，求出系數(shù)和，再令，可求得奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和，令，求出即可求解.【題目詳解】令，得，令，得，所以，令，得，所以，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了賦值法求多項(xiàng)式展開式的系數(shù)和，考查了學(xué)生的靈活解題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

分析函數(shù)每段的單調(diào)性確定其最值，列a的不等式即可求解.【題目詳解】由題,單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故,因?yàn)楹瘮?shù)存在最大值，所以解.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)性，確定每段函數(shù)單調(diào)性及最值是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義，逐項(xiàng)分析即可.【題目詳解】A：中指數(shù)是，所以不是指數(shù)函數(shù)，故錯誤；B：是冪函數(shù)，故錯誤；C：中底數(shù)前系數(shù)是，所以不是指數(shù)函數(shù)，故錯誤；D：屬于指數(shù)函數(shù)，故正確.故選D.【題目點(diǎn)撥】指數(shù)函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)：形如（且）的是指數(shù)函數(shù)，形如（且且且）的是指數(shù)型函數(shù).6、C【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合判別式的解法進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】解：對任意恒成立，推不出，，“”是“對任意恒成立”的必要不充分條件．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)判別式的解法是解決本題的關(guān)鍵．7、D【解題分析】

通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得．【題目詳解】詳解：，將代入得，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到方程關(guān)系．8、A【解題分析】

利用次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率計算公式以及方差的計算公式，即可得到結(jié)果?！绢}目詳解】由題可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；由，可得：，解得：故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布概率和方差的計算公式，屬于基礎(chǔ)題。9、C【解題分析】

試題分析：由于垂直，不妨設(shè)，，，則，，表示到原點(diǎn)的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．10、B【解題分析】，，，∴“”是“”的充分不必要條件．故選：．11、D【解題分析】分析：利用二項(xiàng)分布的概率計算公式：概率即可得出．詳解：：∵每次投籃命中的概率是，

∴在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率．

故在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率是．故選D.點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)分布的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】

算出，即可得.【題目詳解】由得，，所以.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，考查了學(xué)生基本運(yùn)算能力和對基本概念的理解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】曲線ρcos(θ-π3)＝2化為直角坐標(biāo)方程為x+3y=4，點(diǎn)M(414、①④【解題分析】①命題“，有”的否定是“?x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”，故不正確；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，則=（）（a+b）=5+≥5+2即的最小值為，正確；③設(shè)x，y∈R，命題“若xy=0，則x2+y2=0”的否命題是“若xy≠0，則x2+y2≠0”，是真命題，正確；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命題（￢q）∧p為真命題，則￢q與p為真命題，即，則x的取值范圍是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正確．故答案為①④．15、0或2或4【解題分析】

因?yàn)椋裕夯?，解方程可得．【題目詳解】解：因?yàn)?，所以：或，解得：，，，（舍）故答案為?或2或4【題目點(diǎn)撥】本題考查了組合及組合數(shù)公式．屬于基礎(chǔ)題．16、2【解題分析】

根據(jù)約束條件得到可行域，令，則取最大值時，在軸截距最大；通過平移可知過時即可，代入求得最大值.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：令，則取最大值時，在軸截距最大通過平移可知當(dāng)過時，在軸截距最大本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃求解最值的問題，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為截距最值的求解問題，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；是，，，，；（2）.【解題分析】

（1）由塹堵的性質(zhì)得：四邊形是矩形，推導(dǎo)出，，從而BC⊥平面，由此能證明四棱錐為陽馬，四面體是否為鱉臑;（2）陽馬B﹣A1ACC1的體積：陽馬的體積：，當(dāng)且僅當(dāng)時，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)陽馬體積最大時，二面角的余弦值．【題目詳解】證明：（1）由塹堵的性質(zhì)得：四邊形是矩形，底面，平面，，又，，平面，面，四棱錐為陽馬，四面體為鱉臑，四個面的直角分別是，，，.（2），由（1）知陽馬的體積：，當(dāng)且僅當(dāng)時，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)當(dāng)陽馬體積最大時，二面角的平面角為，則，當(dāng)陽馬體積最大時，二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征的運(yùn)用，直線與平面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，二面角的向量求法，關(guān)鍵在于熟練掌握空間的線面、面面關(guān)系，二面角的向量求解方法，屬于中檔題.18、（1）（2）他36歲時能稱為“高收入者”,有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系【解題分析】

（1）分別計算出，，帶入即可．（2）將2代入比較即可，計算觀測值，與臨界值比較可得結(jié)論．【題目詳解】（1）令，則∴∴(2)把帶入（千元）≥2（萬元）∴他36歲時能稱為“高收入者”.故有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸直線、獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）證明過程見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【解題分析】試題分析：(1)分別取的中點(diǎn)，利用三角形的中位線的性質(zhì)，即可證明面，進(jìn)而得到；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面法向量成的角去求解.試題解析：（1）為線段的中點(diǎn)，理由如下：分別取的中點(diǎn)，連接，在等邊三角形中，，又為矩形的中位線，，而，所以面，所以；（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，三角形為等邊三角形，．于是，設(shè)面的法向量，所以，得，則面的一個法向量，又是線段的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，于是，且，又設(shè)面的法向量，由，得，取，則，平面的一個法向量，所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20、（1）,；（2）．【解題分析】

（1）根據(jù)參數(shù)方程化普通方程、極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程的方法可直接得到結(jié)果；（2）利用直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，從而構(gòu)造方程求得.【題目詳解】（1）由題意得：直線的普通方程為：圓的極坐標(biāo)方程可化為：圓的直角坐標(biāo)方程為：，即：（2）由（1）知，圓圓心坐標(biāo)為；半徑為與相切，解得：【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程化普通方程、極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程、根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解參數(shù)值的問題；關(guān)鍵是能夠明確直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，從而在直角坐標(biāo)系中來求解問題.21、（1）不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為獲得“運(yùn)動達(dá)人”稱號與性別有關(guān)；（2）見解析.【解題分析】

（1）計算比較3.841即可得到答案；（2）計算出男教師和女教師人數(shù)，的所有可能取值有，分別計算概率可得分布列，于是可求出數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得：不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為獲得“運(yùn)動達(dá)人”稱號與性別有關(guān)（2）根據(jù)分層抽樣方法得：男教師有人，女教師有人由題意可知，的所有可能取值有則；；；的分布列為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計思想，超幾何分布的分布列與數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的分析能力，計算能力