北京市北師大附中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

北京師大附中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)班級(jí)：___________姓名：___________學(xué)號(hào)：___________考生須知1．本試卷有三道大題，共6頁?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘，滿分150分。2．考生務(wù)必將答案填寫在答題紙上，在試卷上作答無效。3．考試結(jié)束后，考生應(yīng)將答題紙交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．（1）已知集合，，則（A） （B） （C） （D）（2）某市準(zhǔn)備建一個(gè)體育文化公園，針對(duì)公園中的體育設(shè)施，某社區(qū)采用分層隨機(jī)抽樣的方法對(duì)成年居民進(jìn)行了調(diào)查．已知該社區(qū)青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若從中年居民中隨機(jī)抽取了100人，則這次抽樣調(diào)查抽取的總?cè)藬?shù)是（A）200 （B）250 （C）280 （D）300（3）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（A） （B） （C） （D）（4）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（A） （B） （C） （D）（5）如下圖所示，四點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)處.若，則實(shí)數(shù)（A） （B） （C） （D）（6）設(shè)為非零向量，則“”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）已知，從四個(gè)不等式=1\*GB3①，=2\*GB3②，=3\*GB3③，=4\*GB3④中任選2個(gè)，事件“所選2個(gè)不等式都不成立”的概率是（A） （B） （C） （D）（8）2019年10月20日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)發(fā)布了15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，分別為華為“高性能服務(wù)器芯片鯤鵬920”、清華大學(xué)“面向通用人工智能的異構(gòu)融合天機(jī)芯片”、特斯拉“全自動(dòng)駕駛芯片”、“思元270”、賽靈思“Versal自適應(yīng)計(jì)算加速平臺(tái)”．現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響，則至少有1名學(xué)生選擇的成果屬于芯片領(lǐng)域的概率為（A） （B） （C） （D）（9）已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） （B）（C） （D）（10）在一定通風(fēng)條件下，某會(huì)議室內(nèi)的二氧化碳濃度c隨時(shí)間t（單位：min）的變化規(guī)律可以用函數(shù)模型近似表達(dá)．在該通風(fēng)條件下測(cè)得當(dāng)時(shí)會(huì)議室內(nèi)的二氧化碳濃度，如下表所示，用該模型推算當(dāng)時(shí)c的值約為t0510c0.15%0.09%0.07%（A）0.07% （B）0.06% （C）0.05% （D）0.04%第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域是_____________．（12）計(jì)算：_____________．（13）已知向量和不共線，四個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D，滿足，，．若點(diǎn)A，C，D共線，請(qǐng)寫出一組滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)：_____________．（14）某校團(tuán)委為弘揚(yáng)民族精神，深化愛國(guó)主義教育，激發(fā)青年一代的歷史使命感和時(shí)代責(zé)任感，在高一年級(jí)舉辦“一二·九”合唱比賽．甲、乙兩位評(píng)委分別給參賽的13個(gè)團(tuán)支部的最終評(píng)分（百分制）如下莖葉圖所示，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的下列說法中，正確的是_____________．①甲的極差比乙的極差大； ②甲的眾數(shù)比乙的眾數(shù)大；③甲的80％分位數(shù)比乙的80％分位數(shù)相等； ④甲的方差比乙的方差?。?5）對(duì)于函數(shù)﹐若集合中恰有個(gè)元素，則稱函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”．已知函數(shù)（Ⅰ）若，則函數(shù)是“_______階準(zhǔn)偶函數(shù)”；（Ⅱ）若函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則的取值范圍是_____________．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（16）（本小題13分）已知向量，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若向量，試用表示；（Ⅲ）若，求實(shí)數(shù)的值．（17）（本小題13分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）直接寫出函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（Ⅲ）求函數(shù)在上的值域．（18）（本小題14分）一高校承辦了某屆世乒賽志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為，第一組和第五組的頻率相同．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）（?。┲苯訉懗鲞@100名候選者面試成績(jī)的中位數(shù)所在的分組區(qū)間；（ⅱ）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅲ）在第四、第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來自不同組的概率．（19）（本小題15分）設(shè)函數(shù)，關(guān)于x的不等式的解集為．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求解集S；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．（Ⅲ）求函數(shù)的零點(diǎn)．（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）若對(duì)于，恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．

（21）（本小題15分）對(duì)任意正整數(shù)n，記集合均為非負(fù)整數(shù)，且，集合均為非負(fù)整數(shù)，且．設(shè)，，若對(duì)任意都有，則記．（Ⅰ）寫出集合和；（Ⅱ）證明：對(duì)任意，存在，使得；（Ⅲ）設(shè)集合，求證：中的元素個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．（1）D （2）D （3）A （4）A （5）C（6）C （7）B （8）D （9）B （10）B二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．（11） （12）（13）（滿足，且即可） （14）②④（15）2；三、解答題共6小題，共85分．（16）（本小題13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，，所以，所以．（Ⅱ）由題可知與不共線，故設(shè)()，即，所以，解得，．因此．（Ⅲ）由題意得．因?yàn)?，所以，解得．?7）（本小題13分）解：（Ⅰ）是奇函數(shù)．（Ⅱ）在上單調(diào)遞減，證明如下：由題意得．任取，且，則．因?yàn)椋?，，，所以，即．因此在上單調(diào)遞減．（Ⅲ）由題可知的定義域?yàn)椋驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，即．所以在上的值域?yàn)椋?8）（本小題14分）解：（Ⅰ）因?yàn)榈谌⑺?、五組的頻率之和為，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以．（Ⅱ）（?。?；（ⅱ）平均數(shù)為．（Ⅲ）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為a，b，c，d，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為e．考慮從這5人中選出2人的試驗(yàn)，其樣本空間可記為，共包含10個(gè)樣本點(diǎn)．記事件為“選出的兩人來自不同組”，則，共包含4個(gè)樣本點(diǎn)，所以．（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)．解不等式，得．所以．（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則且，是方程的兩個(gè)根，所以，解得．因此存在，使得．（Ⅲ）令，得到關(guān)于的方程．①當(dāng)時(shí)，則，解得．②當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程的判別式為．（?。┊?dāng)，即時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解；（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，解方程得；（ⅲ）當(dāng)，即且時(shí)，解方程得．綜上所述：當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)為；當(dāng)且時(shí)，的零點(diǎn)為和．（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）函數(shù)，定義域?yàn)椋?，則，函數(shù)轉(zhuǎn)化為．由于為開口向上的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因此當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，．（Ⅱ）由得．令，，則．由題意可知，對(duì)于，恒成立，即恒成立．令，則，．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時(shí)，．因此，即．（Ⅲ）．（21）（本小題15分）解：（Ⅰ），