2024屆江蘇省南京市數(shù)學高二第二學期期末檢測模擬試題含解析

2024屆江蘇省南京市數(shù)學高二第二學期期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列有關命題的說法正確的是()A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件C．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題D．命題“?x0∈R使得”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”2．《數(shù)學統(tǒng)綜》有如下記載：“有凹錢，取三數(shù)，小小大，存三角”.意思是說“在凹（或凸）函數(shù)（函數(shù)值為正）圖象上取三個點，如果在這三點的縱坐標中兩個較小數(shù)之和最大的數(shù)，則存在將這三點的縱坐標值作為三邊長的三角形”.現(xiàn)已知凹函數(shù)，在上取三個不同的點，均存在為三邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．設函數(shù)，若實數(shù)分別是的零點，則（）A． B． C． D．4．點P的直角坐標為(-3,3)，則點A．(23,C．(-23,5．“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．觀察下列各式：則（）A．28B．76C．123D．1997．某學校有2200名學生,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取44人,將2200人按1,2,…,2200隨機編號,則抽取的44人中,編號落在[101,500]的人數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．108．等差數(shù)列中，，為等差數(shù)列的前n項和，則()A．9 B．18 C．27 D．549．二項式的展開式中項的系數(shù)為，則（）A．4 B．5 C．6 D．710．函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．11．復數(shù)在復平面內對應的點在（）A．實軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限12．已知函數(shù)，為的導函數(shù)，則的值為（）A．0 B．1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項式的展開式中的系數(shù)為，則________.14．若復數(shù)()為純虛數(shù)，則____.15．是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)____________.16．將圓心角為，面積為的扇形作為圓錐的側面，則圓錐的體積等于_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間；（3）若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．18．（12分）某企業(yè)有甲、乙兩套設備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測兩套設備的生產(chǎn)質量情況，隨機從兩套設備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各隨機抽取了100件產(chǎn)品作為樣本來檢測一項質量指標值，若產(chǎn)品的該項質量指標值落在內，則為合格品，否則為不合格品．表1是甲套設備的樣本的頻數(shù)分布表，圖是乙套設備的樣本的頻率分布直方圖．表甲套設備的樣本的頻數(shù)分布表質量指標值頻數(shù)2103638122（1）將頻率視為概率．若乙套設備生產(chǎn)了10000件產(chǎn)品，則其中的合格品約有多少件？（2）填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關．甲套設備乙套設備合計合格品不合格品合計附表及公式：，其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如圖，在空間幾何體中，四邊形是邊長為2的正方形，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為線段的中點，為線段上的一點.（1）證明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上.（1）求的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點，試問：在軸上是否在點，當變化時，總有？若存在求出點的坐標，若不存在，請說明理由.22．（10分）已知命題關于的方程的解集至多有兩個子集，命題，,若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，A不正確；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要條件，B不正確；命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”為真命題，其逆否命題為真命題，C正確；命題“?x0∈R使得＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，D不正確．綜上可得只有C正確．2、A【解題分析】

由題意，三點的縱坐標中兩個較小數(shù)之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出結論．【題目詳解】易知，所以，在上的最小值為.由題意可知，當，∴或，，故選A.【題目點撥】本題考查新定義，考查學生轉化問題的能力，正確轉化是關鍵．3、A【解題分析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實數(shù)分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關鍵．4、D【解題分析】

先判斷點P的位置，然后根據(jù)公式：ρ2ρ，根據(jù)點P的位置，求出θ.【題目詳解】因為點P的直角坐標為(-3,3)，所以點Pρ=(-3)2+所以θ=2kπ+56【題目點撥】本題考查了點的直角坐標化為極坐標，關鍵是要知道點的具體位置.5、A【解題分析】試題分析：本題主要是命題關系的理解，結合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要條件的概念與集合的關系即可判斷．解：∵a＞0?|a|＞0，|a|＞0?a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要條件故選A考點：必要條件．6、C【解題分析】試題分析：觀察可得各式的值構成數(shù)列1，3，4，7，11，…，其規(guī)律為從第三項起，每項等于其前相鄰兩項的和，所求值為數(shù)列中的第十項．繼續(xù)寫出此數(shù)列為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十項為123，即考點：歸納推理7、B【解題分析】

先求出每一個小組的人數(shù)，再求編號落在[101,500]的人數(shù).【題目詳解】每一個小組的人數(shù)為220044所以編號落在[101,500]的人數(shù)為500-10050故選：B【題目點撥】本題主要考查系統(tǒng)抽樣，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.8、A【解題分析】

由已知結合等差數(shù)列的性質求得a5，再由考查等差數(shù)列的前n項和公式求S2．【題目詳解】在等差數(shù)列{an}中，由a2+a5+a8＝3，得3a5＝3，即a5＝2．∴S2．故選：A．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的性質，考查等差數(shù)列的前n項和，是基礎題．9、C【解題分析】二項式的展開式的通項是，令得的系數(shù)是，因為的系數(shù)為，所以，即，解得：或，因為，所以，故選C．【考點定位】二項式定理．10、D【解題分析】,由于恒成立,所以當時,,則增區(qū)間為.,故選擇D.11、B【解題分析】

利用復數(shù)的乘法法則將復數(shù)表示為一般形式，即可得出復數(shù)在復平面內對應的點的位置．【題目詳解】，對應的點的坐標為，所對應的點在虛軸上，故選B．【題目點撥】本題考查復數(shù)對應的點，考查復數(shù)的乘法法則，關于復數(shù)問題，一般要利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)表示為一般形式進行解答，考查計算能力，屬于基礎題．12、D【解題分析】

根據(jù)題意，由導數(shù)的計算公式求出函數(shù)的導數(shù)，將代入導數(shù)的解析式，計算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，，則，則；故選：．【題目點撥】本題考查導數(shù)的計算，關鍵是掌握導數(shù)的計算公式，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據(jù)二項展開式的通項求得的系數(shù)，進而得到的值，然后再根據(jù)微積分基本定理求解即可．詳解：二項式的展開式的通項為，令，可得的系數(shù)為，由題意得，解得．∴．點睛：解答有關二項式問題的關鍵是正確得到展開式的通項，然后根據(jù)題目要求求解．定積分計算的關鍵是確定被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)微積分基本定理求解．14、0【解題分析】試題分析：由題意得，復數(shù)為純虛數(shù)，則，解得或，當時，（舍去），所以.考點：復數(shù)的概念.15、2【解題分析】

化簡復數(shù)，實部為0，計算得到答案.【題目詳解】為純虛數(shù)故答案為2【題目點撥】本題考查了復數(shù)的計算，屬于簡單題.16、【解題分析】設圓錐的母線為，底面半徑為，，又圓錐的高是圓錐的表面積是，圓錐的體積是，故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）切線方程為.（2）當時，的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間是；當時，的單調增區(qū)間是；當時，的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間是.（1）.【解題分析】試題分析：（1）求出a=1時的導數(shù)即此時切線的斜率，然后由點斜式求出切線方程即可；（2）對于含參數(shù)的單調性問題的關鍵時如何分類討論，常以導數(shù)等于零時的根與區(qū)間端點的位置關系作為分類的標準，然后分別求每一種情況時的單調性；（1）恒成立問題常轉化為最值計算問題，結合本題實際并由第二問可知，函數(shù)在區(qū)間[1，e]上只可能有極小值點，所以只需令區(qū)間端點對應的函數(shù)值小于等于零求解即可．試題解析：（1）∵a＝1，∴f（x）＝x2－4x＋2lnx，∴f′（x）＝（x>0），f（1）＝－1，f′（1）＝0，所以切線方程為y＝－1．（2）f′（x）＝（x>0），令f′（x）＝0得x1＝a，x2＝1，當0<a<1時，在x∈（0，a）或x∈（1，＋∞）時，f′（x）>0，在x∈（a，1）時，f′（x）<0，∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，a）和（1，＋∞），單調遞減區(qū)間為（a，1）；當a＝1時，f′（x）＝≥0，∴f（x）的單調增區(qū)間為（0，＋∞）；當a>1時，在x∈（0，1）或x∈（a，＋∞）時，f′（x）>0，在x∈（1，a）時，f′（x）<0，∴f（x）的單調增區(qū)間為（0，1）和（a，＋∞），單調遞減區(qū)間為（1，a）．（1）由（2）可知，f（x）在區(qū)間[1，e]上只可能有極小值點，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值必在區(qū)間端點取到，∴f（1）＝1－2（a＋1）≤0且f（e）＝e2－2（a＋1）e＋2a≤0，解得a≥．考點：?導數(shù)法求切線方程；?求含參數(shù)的函數(shù)的單調性問題；?恒成立問題求參數(shù)范圍．【方法點睛】恒成立問題求參數(shù)范圍常常將參數(shù)移到一邊轉化為函數(shù)最值問題即恒成立，即等價于．該解法的優(yōu)點是不用討論，但是當參數(shù)不易移到一邊，或移到一邊后另一邊的函數(shù)值域不易求時，就不要移，而是將不等式的一邊化為零即，由于此時函數(shù)含有參數(shù)，所以應討論并求最值，從而求解．18、（1）8600件；（2）列聯(lián)表見解析，不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下可以認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關．【解題分析】

（1）計算出不合格品率，和不合格品件數(shù)，由此求得合格品件數(shù).（2）根據(jù)題目所給表格和圖像數(shù)據(jù)，填寫好聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出“不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下可以認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關．”【題目詳解】解：（1）由題圖1知，乙套設備生產(chǎn)的不合格品的概率約為，∴乙套設備生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格品約為（件），故合格品的件數(shù)為（件）．（2）由題中的表1和圖1得到2×2列聯(lián)表如下：甲套設備乙套設備合計合格品9686182不合格品41418合計100100200將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得的觀測值，因為6.105<6.635，所以不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下可以認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關．【題目點撥】本小題主要考查用頻率估計總體，考查聯(lián)表獨立性檢驗，考查運算求解能力，屬于中檔題.19、(1)證明見解析.(2).【解題分析】試題分析：（1）先根據(jù)平幾知識計算得，再根據(jù)線面垂直判定定理得結論，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據(jù)方程組解得平面法向量，利用向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關系求結果.試題解析：（1）證明：等腰梯形中，故在中，，所以平面（2）作于，以為軸建立如圖的空間直角坐標系，則求得平面的法向量為又，所以即與平面所成角的正弦值等于20、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由得平面PAE，進而可得證；（2）先證得平面，設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面的法向量為和，設與平面所成角為，則，代入計算即可得解.【題目詳解】（1）證明：連接，因為，為線段的中點，所以.又，，所以為等邊三角形，.因為，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：設，則，因為，所以，同理可證，所以平面.如圖，設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.易知為二面角的平面角，所以，從而.由，得.又由，，知，.設平面的法向量為，由，，得，不妨設，得.又，，所以.設與平面所成角為，則.所以與平面所成