2024屆甘肅省武山一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆甘肅省武山一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，，，則（）A． B．C． D．2．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表.非一線城市一線城市總計(jì)愿生452065不愿生132235總計(jì)5842100附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828由算得，，參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無關(guān)”C．有以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”D．有以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無關(guān)”3．隨機(jī)變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則（）A． B． C． D．4．某研究機(jī)構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如表數(shù)據(jù)．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線下方的概率為（）468101212356A． B． C． D．5．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．6．“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是A．第10項(xiàng) B．第9項(xiàng) C．第8項(xiàng) D．第7項(xiàng)8．設(shè)數(shù)列，()都是等差數(shù)列，若，則等于（）A．60 B．62 C．63 D．669．已知恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B．2 C． D．11．甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問題，甲解決這個(gè)問題的概率是，乙解決這個(gè)問題的概率是，那么恰好有1人解決這個(gè)問題的概率是（）A． B．C． D．12．定義在上的函數(shù)，單調(diào)遞增，，若對任意，存在，使得成立，則稱是在上的“追逐函數(shù)”.若，則下列四個(gè)命題：①是在上的“追逐函數(shù)”；②若是在上的“追逐函數(shù)”，則；③是在上的“追逐函數(shù)”；④當(dāng)時(shí)，存在，使得是在上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是__________．14．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為________．15．設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=2sinx+cosx取得最小值，則cos（）=______．16．在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線的一條漸近線方程為,則實(shí)數(shù)的值為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).18．（12分）長時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取6名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)時(shí)長作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字）.如果學(xué)生平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長大于21小時(shí)，則稱為“過度用網(wǎng)”（1）請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計(jì)A，B兩班的學(xué)生平均每周上網(wǎng)時(shí)長的平均值；（2）從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，求恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率；（3）從A班、B班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù)，記“過度用網(wǎng)”的學(xué)生人數(shù)為，寫出的分布列和數(shù)學(xué)期望E.19．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為．（1）若，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求．20．（12分）已知橢圓的離心率為，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使線段AB的中點(diǎn)在圓上，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．21．（12分）為迎接月日的“全民健身日”，某大學(xué)學(xué)生會(huì)從全體男生中隨機(jī)抽取名男生參加米中長跑測試，經(jīng)測試得到每個(gè)男生的跑步所用時(shí)間的莖葉圖（小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)的后一位數(shù)字為葉），如圖，若跑步時(shí)間不高于秒，則稱為“好體能”.（Ⅰ）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（Ⅱ）要從這人中隨機(jī)選取人，求至少有人是“好體能”的概率；（Ⅲ）以這人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)學(xué)校男生的總體數(shù)據(jù)，若從該校男生（人數(shù)眾多）任取人，記表示抽到“好體能”學(xué)生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

直接由微積分基本定理計(jì)算出可得．【題目詳解】因?yàn)椋?，，所以，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查微積分基本定理，掌握基本初等函數(shù)的積分公式是解題關(guān)鍵．2、C【解題分析】K2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”，本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對某個(gè)問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋．3、B【解題分析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.詳解：因?yàn)殡S機(jī)變量的概率分布為，故得，故E（X）=,又，而,故=，選B點(diǎn)睛：考查分布列的性質(zhì)和期望、方差的計(jì)算，熟悉公式即可，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】分析：求出樣本點(diǎn)的中心，求出的值，得到回歸方程得到5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有（，共2個(gè)，求出概率即可．詳解：故，解得：，

則

故5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有，共2個(gè)，

故所求概率是，

故選A．點(diǎn)睛：本題考查了回歸方程問題，考查概率的計(jì)算以及樣本點(diǎn)的中心，是一道基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

直接求交集得到答案.【題目詳解】集合，集合，則.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了交集的運(yùn)算，屬于簡單題.6、A【解題分析】

若方程表示雙曲線，則有，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.【題目詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線等價(jià)于，所以“”，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查充分條件與必要條件以及雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】展開式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝，令＝0，得r＝8.展開式中常數(shù)項(xiàng)是第9項(xiàng).選B.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).8、A【解題分析】

設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意可得，求得的值，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解得值，得到答案.【題目詳解】由題意，數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的公差為，則有，即，解得，所以，，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】分析：先設(shè)，再求導(dǎo)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最小值，再數(shù)形結(jié)合分析得到a的取值范圍.詳解：設(shè)所以當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.,當(dāng)a<0時(shí)，y=a(2x-1)單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾.當(dāng)a=0時(shí)，，與矛盾.當(dāng)a>0時(shí)，.直線y=a(2x-1)過點(diǎn)（）.設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線的切線方程為.又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)（），所以，解得故切線的斜率k=或k=.所以即a∈，故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是求出過點(diǎn)（）的切線的斜率k=或k.10、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部.【題目詳解】，因此，該復(fù)數(shù)的虛部為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)虛部的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】分析：先分成兩個(gè)互斥事件：甲解決問題乙未解決問題和甲解決問題乙未解決問題，再分別求概率，最后用加法計(jì)算.詳解：因?yàn)榧捉鉀Q問題乙未解決問題的概率為p1(1－p2)，甲未解決問題乙解決問題的概率為p2(1－p1)，則恰有一人解決問題的概率為p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故選B.點(diǎn)睛：本題考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.12、B【解題分析】

由題意，分析每一個(gè)選項(xiàng)，首先判斷單調(diào)性，以及，再假設(shè)是“追逐函數(shù)”，利用題目已知的性質(zhì)，看是否滿足，然后確定答案.【題目詳解】對于①，可得，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，此時(shí)當(dāng)k=100時(shí)，不存在，故①錯(cuò)誤；對于②，若是在上的“追逐函數(shù)”，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，在是遞增函數(shù)，若是“追逐函數(shù)”則，即，設(shè)函數(shù)即，則存在，所以②正確；對于③，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，當(dāng)k=4時(shí)，就不存在，故③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)t=m=1時(shí)，就成立，驗(yàn)證如下：，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即此時(shí)取即，故存在存在，所以④正確；故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對新定義的理解、應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)等，易錯(cuò)點(diǎn)是對新定義的理解不到位而不能將其轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的關(guān)系，實(shí)際上對新定義問題的求解通常是將其與已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)相結(jié)合或?qū)⑵浔硎鲞M(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，從而更加直觀，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，則．又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即．【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與解析式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為．14、2【解題分析】試題分析：，又在點(diǎn)處的切線方程是，．考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡求值．15、【解題分析】

利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出輔助角，再利用兩角和的余弦公式求出的值．【題目詳解】對于函數(shù)f（x）=2sinx+cosx=sin（x+α），其中，cosα=，sinα=，α為銳角．當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)取得最小值，∴sin（θ+α）=-，即sin（θ+α）=-1，∴cos（θ+α）=1．故可令θ+α=-，即θ=--α，故故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值，兩角和的余弦公式，屬于中檔題．16、【解題分析】分析：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以其漸近線方程為，根據(jù)條件，所以的值為詳解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以其漸近線方程為，又因?yàn)樵撾p曲線一條漸近線方程為,即所以的值為點(diǎn)睛：雙曲線漸近線方程：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解題分析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得，又，所以，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得極值；（2）由，得．因此分和兩種情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．試題解析：（1）∵，∴，因?yàn)椋?，?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：100遞增極大值遞減極小值遞增由表可得當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為.（2）由（1）得．∵，∴.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減又因?yàn)樗栽冢?,1）和（1,2）上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以上有兩個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增，又因?yàn)樗栽谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)，所以在上有且只有只有一個(gè)零點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的方法研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．18、（1）19小時(shí)；22小時(shí).（2）（3）分布列見詳解；.【解題分析】

（1）根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式，分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可求得；（3）根據(jù)題意寫出的取值范圍，再根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得對應(yīng)概率，寫出分布列，根據(jù)分布列求得期望.【題目詳解】（1）A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間19小時(shí)；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間22小時(shí).（2）因?yàn)閺腁班的6個(gè)樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取1個(gè)的數(shù)據(jù)，為“過度用網(wǎng)”的概率是，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式：從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回的抽取2個(gè)的數(shù)據(jù)，恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率：.（3）的可能取值為0,1,2,3,4.，，，，.的分布列是：01234P.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)莖葉圖計(jì)算數(shù)據(jù)的平均值，離散型隨機(jī)變量的分布列求解以及根據(jù)分布列求解數(shù)學(xué)期望，屬綜合中檔題.19、（1），；（2）或．【解題分析】試題分析：（1）直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用橢圓參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)到直線距離公式求參數(shù)．試題解析：（1）曲線的普通方程為.當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為.由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）直線的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為.當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以；當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以.綜上，或.點(diǎn)睛:本題為選修內(nèi)容，先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的參數(shù)方程，求橢圓上一點(diǎn)到一條直線的距離的最大值，直接利用點(diǎn)到直線的距離公式，表示出橢圓上的點(diǎn)到直線的距離，利用三角有界性確認(rèn)最值，進(jìn)而求得參數(shù)的值．20、（1）；（2）實(shí)數(shù)不存在，理由見解析．【解題分析】試題分析：（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和的關(guān)系，解方程可得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)，，線段的中點(diǎn)為．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得的坐標(biāo)，代入圓的方程，解方程可得，進(jìn)而判斷不存在．試題解析：（1）由題意得，解得故橢圓的方程為；（2）設(shè)，，線段的中點(diǎn)為聯(lián)立直線與橢圓的方程得，即，即，，所以，即．又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，可得，解得與矛盾．故實(shí)數(shù)不存在．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．21、(1)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是.(2).(3)分布列見解析；.【