湖南省桃花源一中2024屆數(shù)學高二第二學期期末檢測模擬試題含解析

湖南省桃花源一中2024屆數(shù)學高二第二學期期末檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．2．設函數(shù)，則（）A．3 B．4 C．5 D．63．對于橢圓，若點滿足，則稱該點在橢圓內，在平面直角坐標系中，若點A在過點的任意橢圓內或橢圓上，則滿足條件的點A構成的圖形為（）A．三角形及其內部 B．矩形及其內部 C．圓及其內部 D．橢圓及其內部4．對任意的實數(shù)x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的圖象關于x＝1對稱，且f(0)＝2，則f(2015)＋f(2016)＝()A．0B．2C．3D．45．把函數(shù)的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（）.A． B．C． D．6．已知函數(shù)f(x)=2x3+ax+a.過點M(-1,0)引曲線C:y=f(x)的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點，若|MA|=|MB|，則f(x)A．-324 B．-37．設復數(shù)，則復數(shù)的共軛復數(shù)是()A． B． C． D．8．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的最小正周期為（）A． B． C． D．10．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽車的準時到站的概率為，則他在3天乘車中，此班車恰有2天準時到站的概率為（）A． B． C． D．11．已知冪函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且在上是減函數(shù)，則（）A．- B．1或2 C．1 D．212．下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點在直徑為的球面上，過作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長是另一條弦長的倍，則這三條弦長之和的最大值是_________.14．如圖，已知正方體，,E為棱的中點，則與平面所成角為_____________.（結果用反三角表示）15．過雙曲線的右焦點F作一條垂直于x軸的垂線交雙曲線C的兩條漸近線于A、B兩點，O為坐標原點，則的面積的最小值為________.16．設向量，且，則實數(shù)的值是_______；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，為右焦點，圓，為橢圓上一點，且位于第一象限，過點作與圓相切于點，使得點，在的兩側.（Ⅰ）求橢圓的焦距及離心率；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.18．（12分）為了響應黨的十九大所提出的教育教學改革，某校啟動了數(shù)學教學方法的探索,學校將髙一年級部分生源情況基本相同的學生分成甲、乙兩個班，每班40人，甲班按原有傳統(tǒng)模式教學，乙班實施自主學習模式.經(jīng)過一年的教學實驗，將甲、乙兩個班學生一年來的數(shù)學成績取平均數(shù)，兩個班學生的平均成績均在[50，100]，按照區(qū)間[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]進行分組,繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分(百分制）為優(yōu)秀，，(I)完成表格,并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與教學改革有關”〔Ⅱ）從乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分數(shù)段中,按分層抽樣隨機抽取7名學生座談，從中選三位同學發(fā)言,記來自[80，90)發(fā)言的人數(shù)為隨機變量x，求x的分布列和期望.19．（12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：（I）求這500件產(chǎn)品質量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（II）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質量指標服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用（i）的結果，求.附：若則，．20．（12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求的單調區(qū)間；（2）是否存在正實數(shù)使得，若存在求出，否則說明理由；21．（12分）已知二次函數(shù)，設方程有兩個實根（Ⅰ）如果，設函數(shù)的圖象的對稱軸為，求證：；（Ⅱ）如果，且的兩實根相差為2，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在其定義域內單調遞增，求實數(shù)的最大值；（2）若存在正實數(shù)對，使得當時，能成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】,如圖所示可知,,因此最小值為2,故選C.點睛:解決本題的關鍵是根據(jù)零點分段去掉絕對值,將函數(shù)表達式寫成分段函數(shù)的形式,并畫出圖像求出最小值.恒成立問題的解決方法(1)f(x)<m恒成立，須有[f(x)]max<m；(2)f(x)>m恒成立，須有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集為R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集為?，即不等式無解．2、C【解題分析】

根據(jù)的取值計算的值即可.【題目詳解】解：，故，故選：C.【題目點撥】本題考查了函數(shù)求值問題，考查對數(shù)以及指數(shù)的運算，是一道基礎題.3、B【解題分析】

由在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性，則關于坐標軸和原點的對稱點都在橢圓上，即可得結論．【題目詳解】設在過的任意橢圓內或橢圓上，則，，即，由橢圓對稱性知，都在任意橢圓上，∴滿足條件的點在矩形上及其內部，故選：B．【題目點撥】本題考查點到橢圓的位置關系．考查橢圓的對稱性．由點在橢圓上，則也在橢圓上，這樣過點的所有橢圓的公共部分就是矩形及其內部．4、B【解題分析】

根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，結合條件關系求出函數(shù)的周期，進行轉化計算即可．【題目詳解】y=f（x﹣1）的圖象關于x=1對稱，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于x=0對稱，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，令x=﹣1，則f（﹣1+2）﹣f（﹣1）=2f（1），即f（1）﹣f（1）=2f（1）=0，即f（1）=0，則f（x+2）﹣f（x）=2f（1）=0，即f（x+2）=f（x），則函數(shù)的周期是2，又f（0）=2，則f（2015）+f（2016）=f（1）+f（0）=0+2=2，故選：B．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)抽象函數(shù)關系判斷函數(shù)的周期性和奇偶性是解決本題的關鍵．5、A【解題分析】

先根據(jù)左加右減的性質進行平移，再根據(jù)橫坐標伸長到原來的2倍時的值變?yōu)樵瓉淼谋?，得到答案．【題目詳解】解：向左平移個單位，即以代，得到函數(shù)，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即以代，得到函數(shù)：．故選：A．【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的變換，屬于基礎題．6、A【解題分析】

設切點的橫坐標為t，利用切點與點M連線的斜率等于曲線C在切點處切線的斜率，利用導數(shù)建立有關t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出兩切線的斜率之和為零，于此得出a的值，再利用導數(shù)求出函數(shù)【題目詳解】設切點坐標為(t,2t3+at+a)，∵y'=6解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|，∴y'則a=-274，f'(x)=6x2-274.當x<-324或x>【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點，在處理過點作函數(shù)的切線時，一般要設切點坐標，利用切線與點連線的斜率等于切線的斜率，考查計算能力，屬于中等題。7、B【解題分析】分析：根據(jù)復數(shù)模的定義化簡復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)概念求結果.詳解：因為，所以,所以復數(shù)的共軛復數(shù)是,選B.點睛：首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為8、C【解題分析】

由，得出，計算出基本事件的總數(shù)以及事件所包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【題目詳解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，所有的基本事件數(shù)為，因此，事件“”的概率為.故選：C.【題目點撥】本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關鍵就是求出總的基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.9、B【解題分析】

先利用二倍角的余弦公式化簡函數(shù)解析式，然后利用周期公式可求答案．【題目詳解】函數(shù)的最小正周期為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，屬基礎題．10、B【解題分析】由題意，恰有2天準時到站的概率為，故選擇B。11、C【解題分析】分析：由為偶數(shù)，且，即可得結果.詳解：冪函數(shù)的圖象關于軸對稱，且在上是減函數(shù)，為偶數(shù)，且，解得，故選C.點睛：本題考查冪函數(shù)的定義、冪函數(shù)性質及其應用，意在考查綜合利用所學知識解決問題的能力.12、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，代入-x檢驗即可判斷是奇函數(shù)或偶函數(shù)；根據(jù)基本初等函數(shù)的圖像即可判斷函數(shù)是否為增函數(shù)．【題目詳解】A．在定義域上既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)；B．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；C．在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；D．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，故選C．【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性及單調性的簡單應用，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設三條弦長分別為x,2x,y,由題意得到關于x,y的等量關系，然后三角換元即可確定弦長之和的最大值.【題目詳解】設三條弦長分別為x,2x,y,則：,即：5x2+y2=6,設,則這3條弦長之和為：3x+y=,其中,所以它的最大值為：.故答案為．【題目點撥】本題主要考查長方體外接球模型的應用，三角換元求最值的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14、【解題分析】

作出輔助線，由題意首先找到AE與平面所成角，然后結合幾何關系求解線面角的大小即可.【題目詳解】如圖所示，連結BE,由題意可知：，∵AB⊥平面B1BCC1,∴∠AEB是AE與平面B1BCC1所成的角，，.故答案為：．【題目點撥】本題主要考查線面角的計算，空間幾何體中的線面關系等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.15、1【解題分析】

求得雙曲線的b，c，求得雙曲線的漸近線方程，將x＝c代入雙曲線的漸近線方程，可得A，B的坐標，求得△OAB的面積，運用基本不等式可得最小值．【題目詳解】解：雙曲線C：1的b＝2，c2＝a2+4，（a＞0），設F（c，0），雙曲線的漸近線方程為y＝±x，由x＝c代入可得交點A（c，），B（c，），即有△OAB的面積為Sc?＝2?2（a）≥41，當且僅當a＝2時，△OAB的面積取得最小值1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程的運用，考查三角形的面積的最值求法，注意運用基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．16、2【解題分析】

由條件利用兩個向量共線的性質求得x的值．【題目詳解】解：∵，，且，∴2x＝，即x＝2故答案為2【題目點撥】本題主要考查兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）,；（Ⅱ）.【解題分析】分析：（Ⅰ）利用橢圓的幾何性質求橢圓的焦距及離心率.（Ⅱ）設（，），先求出四邊形面積的表達式，再利用基本不等式求它的最大值.（Ⅰ）在橢圓：中，，，所以，故橢圓的焦距為，離心率．（Ⅱ）設（，），則，故．所以，所以，．又，，故．因此．由，得，即，所以，當且僅當，即，時等號成立.點睛：本題的關鍵在于求此的表達式和化簡，由于四邊形是不規(guī)則的圖形，所以用割補法求其面積，其面積求出來之后，又要利用已知條件將其化簡為，再利用基本不等式求其最小值.18、(1)列聯(lián)表見解析，有90%以上的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與教學改革有關”.(2)分布列見解析，【解題分析】分析：（1）先根據(jù)數(shù)據(jù)填表，再代入卡方公式求，最后與參考數(shù)據(jù)作比較得結論，（2）先根據(jù)分層抽樣得抽取人數(shù)，再確定隨機變量取法，利用組合數(shù)確定對應概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求期望.詳解：（1)依題意得有90%以上的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與教學改革有關”.（2）從乙班分數(shù)段中抽人數(shù)分別為2、3、2.依題意隨機變量的所有可能取值為點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值.19、（I）；（II）（i）；（ii）．【解題分析】試題分析：（I）由頻率分布直方圖可估計樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差．若同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則眾數(shù)為最高矩形中點橫坐標．中位數(shù)為面積等分為的點．均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，相當于100次獨立重復試驗，則這100件產(chǎn)品中質量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，故期望．試題分析：（I）抽取產(chǎn)品的質量指標值的樣本平均值和樣本方差分別為，．（II）（i）由（I）知，服從正態(tài)分布，從而．（ii）由（i）可知，一件產(chǎn)品的質量指標值位于區(qū)間的概率為，依題意知，所以．【考點定位】1、頻率分布直方圖；2、正態(tài)分布的原則；3、二項分布的期望．20、（1）單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間為；（2）不存在，證明見解析．【解題分析】分析：（1）先求一階導函數(shù)的根，求解或的解集，寫出單調區(qū)間．（2）函數(shù)在上的單調性，和函數(shù)的對稱性說明不存在詳解：（1）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間為．（2）不存在正實數(shù)使得成立，事實上，由（1）知函數(shù)在上遞增，而當，有，在上遞減，有，因此，若存在正實