吉林省長春實驗中學2024屆數(shù)學高二下期末經典模擬試題含解析

吉林省長春實驗中學2024屆數(shù)學高二下期末經典模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，函數(shù)的定義域為集合B，則A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）2．若函數(shù)f(x)=x-2+A．-3≤a<32 B．-3≤a<1 C．a≥3．“”是“復數(shù)在復平面內對應的點在第一象限”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．某班級有6名同學去報名參加校學生會的4項社團活動。若甲，乙兩位同學不參加同一社團，每個社團都有人參加，每個人只參加一個社團，則不同的報名方案數(shù)為A．2160 B．1320 C．2400 D．43205．、、、、、六名同學站成一排照相，其中、兩人相鄰的不同排法數(shù)是（）A．720種 B．360種 C．240種 D．120種6．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．47．已知滿足約束條件，若的最大值為（）A．6 B． C．5 D．8．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A．10 B．12 C．16 D．209．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部等于（）A．1 B．-1 C．2 D．-210．若隨機變量X的分布列：X01P0.2m已知隨機變量且，，則a與b的值為(

)A． B． C． D．11．有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：1、2、6號選手中的一位獲得第一名；觀眾乙猜測：4、5、6號選手都不可能獲得第一名；觀眾丙猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾丁猜測：3號選手不可能得第一名.比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結果，此人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，若,則的面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則________．14．雙曲線H的漸近線為x+2y＝1與x﹣2y＝1．若H經過點P（2，1），則雙曲線H的方程為_____．15．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的最小值為______.16．已知命題p：?x∈R，ex－mx＝0，q：?x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(q)為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值及函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）當時，求函數(shù)的最大值.18．（12分）證明下列不等式.（1）當時，求證：；（2）設，，若，求證：.19．（12分）設橢圓經過點，其離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于、兩點，且的面積為，求的值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點（點均在第一象限），且直線的斜率成等比數(shù)列，證明：直線的斜率為定值.21．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，點是的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，求的極值；（2）是否存在實數(shù)，使得與的單調區(qū)間相同，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若，求證：在上恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：，，所以?？键c：1.函數(shù)的定義域；2.集合的運算。2、A【解題分析】

將問題轉化為曲線gx=x-2+2x-1與直線y=ax沒有交點，并將函數(shù)y=gx表示為分段函數(shù)的形式，并作出該函數(shù)的圖象，分析直線【題目詳解】因為函數(shù)f(x)=x-所以方程x-2即函數(shù)g(x)=x-2+如圖所示，則h(x)的斜率a應滿足-3≤a<32，故選：【題目點撥】本題考查絕對值函數(shù)的零點個數(shù)問題，解本題需注意：（1）零點個數(shù)問題轉化為兩個函數(shù)的公共點的個數(shù)問題；（2）含絕對值的函數(shù)一般利用零點分段法表示為分段函數(shù)。3、C【解題分析】

根據充分必要條件的定義結合復數(shù)與復平面內點的對應關系，從而得到答案．【題目詳解】若復數(shù)在復平面內對應的點在第一象限，則解得，故“”是“復數(shù)在復平面內對應的點在第一象限”的充要條件.故選C.【題目點撥】本題考查了充分必要條件，考查了復數(shù)的與復平面內點的對應關系，是一道基礎題．4、B【解題分析】

依題意，分和兩組，先分組，后排列，最后求和即可.【題目詳解】依題意，6名同學可分為兩組，第一組為，利用間接法，有種，第二組為，利用間接法，有,所以分類計數(shù)原理，可得種，故選B.【題目點撥】本題主要考查了排列、組合及簡單的計數(shù)原理，著重考查了分類討論思想和轉化思想的應用，以及推理與運算能力，其中解答中合理分類，做到先分組后排列的方式是解答的關鍵.5、C【解題分析】

先把、兩人捆綁在一起，然后再與其余四人全排列即可求出、兩人相鄰的不同排法數(shù).【題目詳解】首先把把、兩人捆綁在一起，有種不同的排法，最后與其余四人全排列有種不同的排法，根據分步計算原理，、兩人相鄰的不同排法數(shù)是，故本題選C.【題目點撥】本題考查了全排列和分步計算原理，運用捆綁法是解題的關鍵.6、D【解題分析】

由橢圓方程得出即可【題目詳解】由可得，即所以長軸長為故選：D【題目點撥】本題考查的是由橢圓的方程得長軸長，較簡單7、A【解題分析】分析：首先繪制不等式組表示的平面區(qū)域，然后結合目標函數(shù)的幾何意義求解最值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點A坐標為：，據此可知目標函數(shù)的最大值為：.本題選擇A選項.點睛：求線性目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最?。划攂＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.8、D【解題分析】

利用等差數(shù)列的前項和公式以及通項公式即可求出.【題目詳解】，，，，故選：D【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式以及通項公式，考查了學生的計算，屬于較易題.9、A【解題分析】由題設可得，則復數(shù)的虛部等于，應選答案A。10、C【解題分析】

先根據隨機變量X的分布列可求m的值，結合，，可求a與b的值.【題目詳解】因為，所以，所以,；因為，，所以解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查隨機變量的期望和方差，注意兩個變量之間的線性關系對期望方差的影響.11、B【解題分析】

分別假設甲、乙、丙、丁猜對比賽結果，逐一判斷得到答案.【題目詳解】假設甲猜對比賽：則觀眾丁猜測也正確，矛盾假設乙猜對比賽：3號得第一名，正確假設丙猜對比賽：則觀眾丁猜測也正確，矛盾假設丁猜對比賽：則觀眾甲和丙中有一人正確，矛盾故答案選B【題目點撥】本題考查了邏輯推理，意在考查學生的邏輯推理能力.12、C【解題分析】

設直線的方程為，聯(lián)立，可得，利用韋達定理結合（），求得，的值，利用可得結果.【題目詳解】因為拋物線的焦點為所以，設直線的方程為，將代入，可得，設，，則，，因為，所以，所以，，所以，即，所以，所以的面積，故選C．【題目點撥】本題主要考查拋物線的方程與幾何性質以及直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.解答有關直線與拋物線位置關系問題，常規(guī)思路是先把直線方程與-拋物線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

根據題意，由對數(shù)的運算性質可得結合函數(shù)的解析式可得，進而計算可得答案.【題目詳解】根據題意，則又由則故答案為：3【題目點撥】本題考查了指數(shù)、對數(shù)的運算和分段函數(shù)求值，考查了學生綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.14、1【解題分析】

設共漸近線的雙曲線系方程后，代入點坐標即可得到答案.【題目詳解】依題意可設所求雙曲線方程為，因為H經過點P（2，1），所以，即，所以雙曲線的方程為，即.故答案為：【題目點撥】本題考查了用共漸近線的雙曲線系方程求雙曲線方程，設出共共漸近線的雙曲線系方程是解題關鍵，屬于基礎題.15、【解題分析】

令，由導函數(shù)得最小值為，且端點處函數(shù)值.再由時，；時，，可得表達式，問題可得解.【題目詳解】則，由得當時，當時所以在上單調遞減，在上單調遞增.最小值為，又，，且當時，即，解得，；當時，即由，得，.綜上，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時取最小值為.故答案為：【題目點撥】本題考查了通過導數(shù)分析函數(shù)的單調性和最值，考查了絕對值函數(shù)，還考查了分類討論思想，屬于難題.16、.【解題分析】

根據復合函數(shù)的真假關系，確定命題p，q的真假，利用函數(shù)的性質分別求出對應的取值范圍即可得到結論．【題目詳解】若p∨（?q）為假命題，則p，?q都為假命題，即p是假命題，q是真命題，由ex﹣mx=0得m=，設f（x）=，則f′（x）==，當x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調遞增，當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調遞遞減，當x＜0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調遞遞減，∴當x=1時，f（x）=取得極小值f（1）=e，∴函數(shù)f（x）=的值域為（﹣∞，0）∪[e，+∞），∴若p是假命題，則0≤m＜e；命題q為真命題時，有Δ＝4m2－4≤0，則－1≤m≤1.所以當p∨(q)為假命題時，m的取值范圍是[0，1].故答案為：【題目點撥】“”，“”“”等形式命題真假的判斷步驟：（1）確定命題的構成形式；（2）判斷其中命題的真假；（3）確定“”，“”“”等形式命題的真假.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），最小正周期為；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）整理，得，由周期公式可得解；（Ⅱ）由已知可得，所以，問題得解.【題目詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，則，∴，∴的最大值為2.【題目點撥】本題考查了輔助角公式和三角函數(shù)周期公式，考查了整體法求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析．【解題分析】分析：（1）利用分析法進行證明；（2）利用常數(shù)代換法應用基本不等式即可證明.詳解：證明：（1）要證；即證，只要證，只要證，只要證，由于，只要證，最后一個不等式顯然成立，所以；（2）因為，，，所以，，當且僅當，即時，等號成立，所以.點睛：利用分析法證明時應注意的問題(1)分析法采用逆向思維，當已知條件與結論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需要用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，從正面不易推導時，?？紤]用分析法．(2)應用分析法的關鍵在于需保證分析過程的每一步都是可逆的，它的常用書面表達形式為“要證……只需證……”或用“?”．注意用分析法證明時，一定要嚴格按照格式書寫．19、(1);(2).【解題分析】分析：（1）由經過點P，得，由離心率為得=，再根據a2=b2+c2聯(lián)立解方程組即可；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y，得，易知判別式△＞1，設A（x1，y1），B（x2，y2），弦長公式及點到直線的距離公式可表示出△PAB的面積，令其為，即可解出m值，驗證是否滿足△＞1．詳解：（1）解：由已知解得，，∴橢圓的方程為.（2）解：由得：由得：設，，則，∴又到的距離為，∴即，解得：.符合，故.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．20、(1);(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）根據橢圓的離心率和所過的點得到關于的方程組，解得后可得橢圓的方程．（2）由題意設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程，根據二次方程根與系數(shù)的關系可得直線的斜率，再根據題意可得，根據此式可求得，為定值．試題解析：（1）由題意可得，解得．故橢圓的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，由，消去整理得，∵直線與橢圓交于兩點，∴．設點的坐標分別為，則，∴．∵直線的斜率成等比數(shù)列，∴，整理得，∴，又，所以，結合圖象可知，故直線的斜率為定值．點睛：（1）圓錐曲線中的定點、定值問題是常考題型，難度一般較大，常常把直線、圓及圓錐曲線等知識結合在一起，注重數(shù)學思想方法的考查，尤其是函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想的考查．（2）解決定值問題時，可直接根據題意進行推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21、(1).(2).【解題分析】

分析：（1）直接建立空間直角坐標系，求出，D，M四點的坐標寫出對于的向量坐標，然后根據向量的夾角公式求解即