浙江省余姚八中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

浙江省余姚八中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若變量，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2．二項(xiàng)式的展開(kāi)式的各項(xiàng)中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為()A． B．和C．和 D．3．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬(wàn)元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬(wàn)斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷(xiāo)售額函數(shù)是（是蓮藕種植量，單位：萬(wàn)斤；銷(xiāo)售額的單位：萬(wàn)元，是常數(shù)），若種植2萬(wàn)斤，利潤(rùn)是2.5萬(wàn)元，則要使利潤(rùn)最大，每年需種植蓮藕（）A．8萬(wàn)斤 B．6萬(wàn)斤 C．3萬(wàn)斤 D．5萬(wàn)斤4．在一次試驗(yàn)中，測(cè)得的四組值分別是A（1,2），B（3,4），C（5,6）D（7,8），則y與x之間的回歸直線方程為（）A． B． C． D．5．如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面BCD，，，，，直線AC與底面BCD所成角的大小為A． B． C． D．6．已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(a-x)的圖象關(guān)于直線A．0 B．1 C．lna D．7．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A． B．4 C．5 D．8．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是()A．B．C．D．9．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則10．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，當(dāng)時(shí)，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底），若方程有且僅有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．12．若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將5個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額分配給3個(gè)不同的班級(jí)，其中甲、乙兩個(gè)班至少各有1個(gè)名額，則不同的分配方案和數(shù)有__________.14．一個(gè)袋子里裝有大小形狀完全相同的個(gè)小球，其編號(hào)分別為甲、乙兩人進(jìn)行取球，甲先從袋子中隨機(jī)取出一個(gè)小球，若編號(hào)為，則停止取球；若編號(hào)不為，則將該球放回袋子中．由乙隨機(jī)取出個(gè)小球后甲再?gòu)拇又惺Ｏ碌膫€(gè)小球隨機(jī)取出一個(gè)，然后停止取球，則甲能取到號(hào)球的概率為_(kāi)_________.15．若平面的一個(gè)法向量為，直線的方向向量為，則與所成角的大小為_(kāi)_________.16．已知函數(shù)f（x）＝e2x+2f（0）ex﹣f′（0）x，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f（x）≥x﹣ex+a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：18．（12分）如圖,四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是線段的中點(diǎn),平面.(1)求證:平面；(2)若,求平面和平面所成的銳二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．20．（12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù)．（I）求的分布列；（II）若要求，確定的最小值；（III）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？21．（12分）已知的展開(kāi)式前三項(xiàng)中的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求的值和展開(kāi)式系數(shù)的和；（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．22．（10分）已知函數(shù).（I）若，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）判斷的奇偶性并證明；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若在上沒(méi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：根據(jù)題意，將化簡(jiǎn)成斜率的表達(dá)形式；所以就是求可行域內(nèi)與連線斜率的取值范圍加1,。詳解：，原式表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與連線的斜率加1。由不等式組成的可行域可表示為：由圖可知，斜率最小值為斜率最大值為所以斜率的取值范圍為所以所以選B點(diǎn)睛：本題考查了斜率的定義，線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用。關(guān)鍵是掌握非線性目標(biāo)函數(shù)為分式型時(shí)的求法，屬于中檔題。2、C【解題分析】

先由二項(xiàng)式，確定其展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，進(jìn)而可確定其最大值.【題目詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，易知當(dāng)或時(shí)，最大，即二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第三項(xiàng)和第四項(xiàng).故第三項(xiàng)為；第四項(xiàng)為.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.3、B【解題分析】

銷(xiāo)售的利潤(rùn)為，利用可得，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性后可得利潤(rùn)的最大值.【題目詳解】設(shè)銷(xiāo)售的利潤(rùn)為，由題意，得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，利潤(rùn)最大，故選B.【題目點(diǎn)撥】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則．4、A【解題分析】分析：根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入所給的四個(gè)選項(xiàng)中驗(yàn)證，若能夠成立的只有一個(gè)，這一個(gè)就是線性回歸方程．詳解：∵，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（4，5）把樣本中心點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中，只有y=x+1成立，故選A．點(diǎn)睛：本題考查求線性回歸方程，一般情況下是一個(gè)運(yùn)算量比較大的問(wèn)題，解題時(shí)注意平均數(shù)的運(yùn)算不要出錯(cuò)，注意系數(shù)的求法，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，但是對(duì)于一個(gè)選擇題，還有它特殊的加法．5、A【解題分析】

取BD中點(diǎn),可證，為直線AC與底面BCD所成角?！绢}目詳解】取BD中點(diǎn)，由，，又側(cè)面底面BCD，所以。所以為直線AC與底面BCD所成角。,所以。選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面角，用幾何法求線面角要一作、二證、三求，要有線面垂直才有線面角。6、A【解題分析】

利用對(duì)稱(chēng)列方程解得a，從而求出f(1)。【題目詳解】由題意得x1+xf所以f(x)=lnx+【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的問(wèn)題，即在函數(shù)上任意兩點(diǎn)x1,x2關(guān)于直線7、C【解題分析】

在中，求出，，然后利用雙曲線的定義列式求解．【題目詳解】在中，因?yàn)?，所以，，，則由雙曲線的定義可得所以離心率，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的定義和離心率，解題的關(guān)鍵是求出，，屬于一般題．8、D【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)圖像即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合圖像判斷出函數(shù)的極值點(diǎn)位置，從而求出答案?！绢}目詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，圖像先單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增，故排除A,C且第二個(gè)拐點(diǎn)（即函數(shù)的極大值點(diǎn)）在軸的右側(cè)，排除B故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系，屬于一般題。9、C【解題分析】

通過(guò)作圖的方法，可以逐一排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【題目詳解】如圖，相交，故A錯(cuò)誤如圖，相交，故B錯(cuò)誤D.如圖，相交，故D錯(cuò)誤故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線和平面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

根據(jù)得出周期，通過(guò)周期和奇函數(shù)把化在上，再通過(guò)周期和奇函數(shù)得．【題目詳解】由，所以函數(shù)的周期因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以所以．選擇C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性質(zhì)以及周期．若為奇函數(shù)，則滿足：1、，2、定義域包含0一定有．若函數(shù)滿足，則函數(shù)周期為．屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

首先需要根據(jù)方程特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù),將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，并根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化成方程解的問(wèn)題，最后利用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求切線斜率問(wèn)題，從而根據(jù)斜率的幾何意義得到解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，，所以零點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，依題意，方程有兩個(gè)不同的正根，又當(dāng)時(shí)，，所以方程可以化為：，即，記，，設(shè)直線與圖像相切時(shí)的切點(diǎn)為，則切線方程為，過(guò)點(diǎn)，所以或（舍棄），所以切線的斜率為，由圖像可以得.選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，突顯了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的考查.屬中檔題.12、D【解題分析】

結(jié)合函數(shù)、不等式及絕對(duì)值含義判斷即可【題目詳解】對(duì)，若，則，但推不出，故錯(cuò)；對(duì)，若，設(shè)，則函數(shù)為增函數(shù)，則，故錯(cuò)；對(duì)，若，但推不出，故錯(cuò)誤；對(duì)，設(shè)，則函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，故正確；故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查由指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)及絕對(duì)值的含義比大小，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解題分析】首先分給甲乙每班一個(gè)名額，余下的3個(gè)名額分到3個(gè)班，每班一個(gè)，有1中分配方法；一個(gè)班1個(gè)，一個(gè)班2個(gè)，一個(gè)班0個(gè)，有種分配方法；一個(gè)班3個(gè)，另外兩個(gè)班0個(gè)有3種分配方法；據(jù)此可得，不同的分配方案和數(shù)有6+3+1=10種.14、【解題分析】

通過(guò)分析，先計(jì)算甲在第一次取得編號(hào)為1的概率，再計(jì)算甲在第二次取得編號(hào)為1的概率，兩者相加即為所求.【題目詳解】甲在第一次取得編號(hào)為1的概率為；甲在第二次取得編號(hào)為1的概率為，于是所求概率為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查概率的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的分析能力，計(jì)算能力，難度中等.15、.【解題分析】

利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值，即可得出直線與平面所成角的大小.【題目詳解】設(shè)，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，.因此，直線與平面所成角的大小為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用空間向量法求直線與平面所成的角，解題的關(guān)鍵就是利用空間向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、（﹣∞，0]．【解題分析】

令，得到，再對(duì)求導(dǎo)，然后得到，令，得到，再得到，然后對(duì)，利用參變分離，得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，從而得到的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)樗粤畹茫?，而令得，即所以則整理得設(shè)，則令，則所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以所以的范圍為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、證明見(jiàn)解析【解題分析】

利用數(shù)學(xué)歸納法的證明標(biāo)準(zhǔn)，驗(yàn)證時(shí)成立，假設(shè)時(shí)成立，證明時(shí)等式也成立即可.【題目詳解】證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，

那么，當(dāng)時(shí)，左邊＝，

這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立.

根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何都成立.【題目點(diǎn)撥】本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，必須用上假設(shè)18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】分析：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可通過(guò)線面垂直的判定方法證得平面；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，即可求得答案.詳解：(1)證明方法一:連接，因?yàn)榈酌媸堑妊菪吻宜裕?，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，因此，且，所以，且，又因?yàn)榍?，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，所以，平面平面，在平行四邊形中，因?yàn)?所以平行四邊形是菱形，因此，所以平面.解法二：底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則,，由得，所以,,,，因此，且，所以且，所以，平面.(2)底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,，所以，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由得，由是平面的法向量，因此，平面和平面所成的銳二面角的余弦值是.點(diǎn)睛：本題考查用空間向量求平面間的夾角，主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等相關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，推理論證能力和運(yùn)算求解能力.19、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論，令得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）令，分離參數(shù)得，令，研究函數(shù)的性質(zhì)，可將證明轉(zhuǎn)化為證明，即證明成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，可得，問(wèn)題得證.詳解：（1），當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）證明：由得，設(shè)，則．由，得；由，得．故的最小值．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，則，等價(jià)于，且在上單調(diào)遞增，要證：，只需證，，只需證，即，即證；設(shè)，則，令，則，，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，，從而得證．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第一問(wèn)屬于易得分題，只需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，再分別令，即可求解函數(shù)的增、減區(qū)間，進(jìn)而判斷其單調(diào)性；第二問(wèn)解題時(shí)，首先對(duì)進(jìn)行參數(shù)分離，再構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，進(jìn)而再利用導(dǎo)數(shù)證明.20、（I）1617182212122（II）2（III）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，2，21，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤2）=．由此能確定滿足P（X≤n）≥1．5中n的最小值．（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤2）=．求出買(mǎi)2個(gè)所需費(fèi)用期望EX1和買(mǎi)21個(gè)所需費(fèi)用期望EX2，由此能求出買(mǎi)2個(gè)更合適試題解析：（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，11，11的概率分別為1．2，1．4，1．2，1．2，從而；；；；；；．所以的分布列為1617182212122（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故