陜西省寶雞市陳倉區(qū)2022屆高考模擬檢測（二）數(shù)學(xué)（理）試卷

2022年陳倉區(qū)高考模擬檢測試題(二)

數(shù)學(xué)(理科)

選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合/={x|%(2-X)>0},集合B={%|y=—2}，則AU8=()

A.(-oo,0)U[2,4-oo)B.(0,2]C.(0,2)D.(0,4-oo)

2.若z(l+i)=1-i,則z=()

A.1—iB.1+iC.—iD.i

3.已知a,be(0,1),則函數(shù)f(x)=a/—4bx+1在［l,+8)上是增函數(shù)的概率為()

4.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍

繞天心石的是扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)組成等差數(shù)列{即},

它的前幾項(xiàng)和為Sn,且a?=18,a5+a7=108,則S21=()

A.2079B.2059C.2022D.1890

5.設(shè)點(diǎn)不共線，則麗+時(shí)>近一前I”是“魂與屈的夾角是銳角”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知某圓錐的母線長為2,其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說法中錯(cuò)誤的是

()

A.圓錐的體積為言兀B.圓錐的表面積為2a兀

C.圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為夜兀的扇形D.圓錐的內(nèi)切球表面積為(24-16或)兀

7.若a￡(0,5,tan2a=端，則tma=()

A.四B?匹C.立D.叵

15533

8.如圖是某屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，現(xiàn)在有4種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定》

每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為()

A.72B.48C.36D.24

9.若函數(shù)f(%)同時(shí)滿足：①對于定義域上的任意％，恒有/(%)+/(-X)=0②對于定義域

上的任意％1，%2，當(dāng)%1時(shí)，恒有等乎2<0,則稱函數(shù)f(x)為''理想函數(shù)”.下列四個(gè)

函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有()

①f(%)=3②f(x)=ln(?T^+x),③/'(%)=W,④/'(')=｛工:'3。

A.①②B.②③C.③④D.①④

10.天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天

干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干

由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙

寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，

然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”…，以此類推.今年是壬寅年，也是中國社會(huì)主

義青年團(tuán)成立100周年，則中國社會(huì)主義青年團(tuán)成立的那一年是()

A.辛酉年B.辛戊年C.壬午年D.壬戌年

11.設(shè)拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為，，點(diǎn)4為拋物線C上一點(diǎn)，以尸為

圓心，14為半徑的圓交”于5、O兩點(diǎn)，若N5FO=12()。，A45。的面積為2石，則。=

()

A.1B.后C.當(dāng)D,2

10%—m,x<-

21(e是自然對數(shù)的底數(shù))在定義域R上有三個(gè)零點(diǎn)，

(xex—2mx+m,x>-

則實(shí)數(shù)TH的取值范圍是()

A.(e,+oo)B.(e,5]C.(e,5)D.[e,5]

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.

13.(%+衰)6的展開式中％3項(xiàng)的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

14.已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，若2al=a3a4,且6^是與2的等差中項(xiàng)，則q的值是.

15.已知F是雙曲線C：/-y2=i的右焦點(diǎn)，p是c的左支上一點(diǎn)，/(0,g).當(dāng)^4>?周長最

小時(shí)，該三角形的面積為.

16.如圖，是半圓。的直徑，點(diǎn)C在半圓上運(yùn)動(dòng)(不與4B重合),

PA_L平面4BC,若4B=2,二面角A-BC—P等于60。，則三棱錐

P-ABC體積的最大值為

三、解答題：共70分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21為必考題，第

22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分

17.(本小題滿分12分)心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)空間立體感和邏輯思維能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣

小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)，給所有同學(xué)幾何和

代數(shù)各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答，統(tǒng)計(jì)情況如下表：(單位：人)

幾何題代數(shù)題總計(jì)

男同學(xué)22830

女同學(xué)81220

總計(jì)302050

(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為空間立體感和邏輯思維能力與性別有關(guān)？

(2)現(xiàn)從選擇幾何題的8名女生中任意抽取兩人對他們的答題進(jìn)行研究，記甲、乙兩名女生被

抽到的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

附表及公式：

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

*2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-be)2

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

18.(本小題滿分12分)設(shè)a,b,c分別為鈍角三角形ABC內(nèi)角A,B,C的對邊，已知

3acosA=bcosC+ccosB.

(1)求cos(/+》

(2)若b=2,c>b,求c的取值范圍.

19.(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC-A/iG中，四邊形A41GC

是邊長為4的正方形,AB=3.再從條件①:BC=5；條件②:AB1；

條件③：平面ABC_L平面/L41cle中選擇兩個(gè)能解決下面問題的條件

作為已知，并作答.

(1)求證：ABJ_平面441GC；

(2)求直線與平面&8的所成角的正弦值.

22

20.(本小題滿分12分)已知橢圓C:￡+方一ig>?！?。)的右焦點(diǎn)為F,長半軸長為逐，過焦點(diǎn)尸且

垂直于x軸的直線/交橢圓于AB,|陰=".

(1)求橢圓C的方程：

(2)直線機(jī)是圓0d2+,2=1的一條切線，且直線m與橢圓C相交于點(diǎn)M,N,求△MON面積的最大值.

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(%)=%ln%—一%+1,aeR.

(1)若函數(shù)y=/'(久)的圖象在點(diǎn)(1J(l))處的切線方程為y=-2x+1,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)與，%2.

⑴求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(ii)當(dāng)0<mW2時(shí),證明:力+心吟

(二)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，若多選，則按所做的第一題計(jì)

分.作答時(shí)先涂題號.

22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

Y=/Cl.

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G：1一(/為參數(shù)，f，0),其中04a<〃，在以。為

[y=fsina

極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線。2：0=2sin8,C3：p=2y[3cos00

(1)求。2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

(2)若C]與相交于點(diǎn)A,&與C3相交于點(diǎn)5,求|A3|的最大值。

23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且a+〃=c+d,證明：

(1)若ab>cd；則五+界>6+；

(2)>Vc+4d是|a-b|<|c-d|的充要條件.

2022年陳倉區(qū)高考模擬檢測試題（二）

理科數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題:

題號123456789101112

答案DCDACBAACDAB

二'填空題：

13.60；14.1；15.-；16.-.

29

三、解答題：

17.解：(1)由表中數(shù)據(jù)得丹2的觀測值［2=50x(22X12-8X8)-5.556>5.024,

30x20x30x20

???根據(jù)統(tǒng)計(jì)有97.5%的把握認(rèn)為空間立體感和邏輯思維能力與性別有關(guān).（6分）

（2）由題可知X可能取值為0、1、2,

15123「2「o1

P(X=0)=-^=P(X=1)=A?*=2,P(X=2)=^^=—

28C；287Cl28

故X的分布列為:

X012

p1531

28728

1531

二E(X)=0x—+lx-+2x—=(12分)

287282

18.解：(1)因?yàn)?acosA=bcosC+ccosB,所以由正弦定理可得：3sinAcos4=sinBcosC+sinCcosB,

即3sin力cos4=sin(B+C)=sinA,又sin4>0,所以cosA=g,且sin4=竽，

故cos(4+*)=乎(cos4—sinA)=(6分)

(2)因?yàn)閏os4=g>0，所以4為銳角，又c>b,所以C>B,因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，

所以C為鈍角.因?yàn)閍2=爐+c?—2bccosA=?2-+4,所以a?+廿—?2=8-1c<0,

解得c>6.(12分)

19.解：選擇①②：

（1）因?yàn)榱=4,4B=3,BC=5,所以4B1AC.又因?yàn)榱?L44,

ACnAAt=A,

AC,AA1u平面441clC.所以4B_L平面441clC.（5分）

(2)由(1)知48_L4C,ABLAAr.因?yàn)樗倪呅?41cle是正方形，所以4cly14.

如圖，以4為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系力-xyz,則4(0,0,0),B(3,0,0),C(0,0,4),

4i(0,4,0),Q(0,4,4),A^B=(3,—4,0),=(0,0,4)，BC=(-3,0,4).

設(shè)平面AiBCi的一個(gè)法向量元=(x,y,z),則1元?9:0,即｛普二^丫二仇

令y=3,則％=4,z=0,所以元=(4,3,0).設(shè)直線BC與平面為BC1所成角為氏

則sin8=|cos(元，五＞|=暮普=】?所以直線BC與平面4BC1所成角的正弦值為蕪(12分)

|DC||71|25N5

選擇①③：(1)因?yàn)锳C=4,AB=3,BC=5,所以4B_L力C.又因?yàn)槠矫鍭BC_L平面441GC,

平面力Ben平面4A1C1C=AC,ABU平面48c.所以AB1平面441clC.（5分）

(2)由(1)知4B_L4C,ABLAA1.因?yàn)樗倪呅蜛&GC是正方形，所以aCJ.44「

如圖，以4為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系4一xyz,則4(0,0,0),B(3,0,0),C(0,0,4),

41(0,4,0),G(0,4,4),A^B=(3,-4,0),=(0,0,4).BC=(-3,0,4).

設(shè)平面&BC］的一個(gè)法向量元=(x,y,z),則］元?9:0,即｛:;二；y=°'

(元.&G=o,z

令y=3,貝改=4,z=0,所以記=(4,3,0).設(shè)直線BC與平面&BC1所成角為。，

貝Usin8=|cos＜而，亢＞|=酷=2所以直線BC與平面&BG所成角的正弦值為(12分)

|DC||R|25Z5

20.解：⑴由題意知：a=&①,"-=-7^②

①?聯(lián)立，解得片=6,6=3.所以橢圓的方程為：+1=1；(4分)

⑵①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線x=l或x=-l,

當(dāng)》=±1時(shí)，y=土?，則S欣亞；②當(dāng)斜率存在，設(shè)直線方程為丫="+機(jī)，

/2A/WCZ/V2

因?yàn)橹本€與圓相切，則*=^=1,即加2=1+公

J1+公

2

直線與橢圓聯(lián)立:",6得（1+2公卜2+4kmx+2m-6=0,

A>0,即16公布-4（1+2公）（2機(jī)2-6）>0,

將1=1+二代入得40k2+6>。恒成立，且占+三=-普7,用x=型二,

1+2&1+2女之

所以|MN|=Ex、仁絲]14x網(wǎng)==.邁夫”哈￡

11YU+2/J1+2/1+2公

22

”11,^,1,Jl+k2XJ10-2+4'（l+Jt）（10A;+4）

所以=卅兇X1=----——^-----

22

乙1?乙K（1+2A:）

令f=1+2公（d1）,即5-=0?+2（胃+|=/需2）+為＜河,

所以當(dāng)』=1時(shí)，與“次取得最大值，且最大值為2.

綜上，AWON面積的最大值為2（12分）

21.解:(I)因?yàn)閒(x)=Inx-ax,則尸(1)=-a,

又/"⑴=一會(huì)所以在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y+：-a(xT)，即y=-ax+],

又該切線為y=-2x+1,則-a=-2且]=1,所以a=2；(4分)

(11)0)函數(shù)/(%)定義域?yàn)?0,+8),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+8)內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)與，x2,

即等價(jià)于函數(shù)r。)=伍x-ax在(0,+8)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)%],x2.

設(shè)/i(x)-Inx—ax,由h'(x)=

當(dāng)aW0時(shí),/i'(x)>0,九(久)在(0,+8)上單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，在(0,*上/i'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(；,+8)上"(%)<0,九(%)單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)X時(shí)，f'(X)max=/'(》=Tna-l,函數(shù)r(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有r(X)max>0，

即—，na—1>0,解得0<a<：,又尸(劫=In"=0(易證Inx<V^),/1(l)=—a<0>

所以/''(%)在(1,*和。粉上各有一個(gè)零點(diǎn)，故/’(%)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的范圍為0<a<￡.(8分)

(ii)法1：由(i)可知％i，%2是九(%)=①工一QX的兩個(gè)零點(diǎn)，不防設(shè)0V/V5V%2，

ax

由仇—axr=0且"'2—2=0，得Q=]詈.

因?yàn)閄l+X]>受竺山辿一小>0。其善噎一7n>0(*)

a%1-％2--1

令￡=葭￡(0,1),則(*)=Int-冷巾V0(**)，記g(t)=ln￡一吊巾V0,tE(0,1),

由d⑴=t-；禽，+1，令p(t)=產(chǎn)一2(?n-l)t+1,0<m<2.

又4=4(m—l)2—4=4m(m-2)<0,則p(t)>0,即g'(t)>0,

所以g?在(0,1)上單調(diào)遞增，故g(t)Vga)=0,即(**)成立.所以不等式/:成立.(12分)

法2：欲證第1+%1>:，由0〈7nW2,0<a<1,則只需證：

不防設(shè)0V/<^<%2>則伉與—a%i=0且m％2-ax2=0，

g=g=122M所以三0任3!3西一2>00駕哇一2>0(*)

117

X2Xr-x2axt-x2葭-1'

令”董6(0,1),貝i」(*)=int-^5？<0(**),記9?)=1區(qū)一^^」€(0,1),由/。=熟20,即

g(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，故g(t)Vga)=0,即(**)成立.故%i+%2>:.(12分)

22。解：(1)由曲線。2：p=2smG1化為p1=2psinG'x2+y2=2y9

同理由。3：2=2j5cos6,可得直角坐標(biāo)方程：x2+j2=243x,

旦

2X=

聯(lián)立｛X+/-2JL=0，解得4(X=0或4^T，

x2+y2-2V3x=0J=03

J=—