建模講義-微分方程

微分方程模

型河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院動(dòng)態(tài)模型

描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程

分析對(duì)象特征的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài)

研究控制對(duì)象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類(lèi)比法建立微分方程微分方程的幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例

在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問(wèn)題，本節(jié)將通過(guò)一些最簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問(wèn)題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。例1

（理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。

從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據(jù)牛頓第二定律可得：

從而得出兩階微分方程：

（3.1）這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程

（3.1）是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，此時(shí)，可考察（3.1）的近似線性方程：

（3.2）由此即可得出

（3.2）的解為:θ(t)=θ0cosωt

其中當(dāng)時(shí),θ(t)=0故有MQPmg圖3-1

（3.1）的近似方程例2

我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問(wèn)巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。

這一問(wèn)題屬于對(duì)策問(wèn)題，較為復(fù)雜。討論以下簡(jiǎn)單情形：敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r(θ)，見(jiàn)圖3-2。BAA1drdsdθθ圖3-2由題意，，故ds=2dr圖3-2可看出，故有:即:（3.3）解為：（3.4）先使自己到極點(diǎn)的距離等于潛艇到極點(diǎn)的距離,然后按（3.4）對(duì)數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：例3

一個(gè)半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開(kāi)始時(shí)盛滿了水，但由于其底部一個(gè)面積為Scm2的小孔在t=0時(shí)刻被打開(kāi)，水被不斷放出。問(wèn)：容器中的水被放完總共需要多少時(shí)間？解:以容器的底部O點(diǎn)為原點(diǎn)，取坐標(biāo)系如圖3.3所示。令h(t)為t時(shí)刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的微分方程。設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學(xué)定律，在不計(jì)水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：因體積守衡，又可得：易見(jiàn)：故有：

即：這是可分離變量的一階微分方程，得RxySO圖3-3hr

為了保持自然資料的合理開(kāi)發(fā)與利用，人類(lèi)必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類(lèi)自身的增長(zhǎng)。本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問(wèn)題。

種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。

Malthus模型與Logistic模型馬爾薩斯（Malthus）模型

馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長(zhǎng)率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率）,即：

或（3.5）

（3.6）

（3.1）的解為：其中N0=N(t0)為初始時(shí)刻t0時(shí)的種群數(shù)。

馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為T(mén)，則有：故模型檢驗(yàn)

比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長(zhǎng)率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測(cè)假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例如，到2510年，人口達(dá)2×1014個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動(dòng)范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象。Logistic模型

人口凈增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(N)

從而有：（3.7）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無(wú)法用擬合方法來(lái)求。為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)單的方法。r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無(wú)法用擬合方法來(lái)求。為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)單的方法。r(N)最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)），令r(N)=r-aN

此時(shí)得到微分方程：

或（3.8）

（3.8）被稱(chēng)為L(zhǎng)ogistic模型或生物總數(shù)增長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱(chēng)為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。r(N)最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無(wú)法用擬合方法來(lái)求。（3.8）可改寫(xiě)成：

（3.9）

(3.9)式還有另一解釋?zhuān)捎诳臻g和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無(wú)限增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過(guò)多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。圖3-5對(duì)（3.9）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3.9）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（3.10）易見(jiàn)：

N(0)=N0

，N(t)的圖形請(qǐng)看圖3-5模型檢驗(yàn)

用Logistic模型來(lái)描述種群增長(zhǎng)的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲(chóng)的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個(gè)原生物草履蟲(chóng)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來(lái)描述種群的增長(zhǎng)，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯把5只草履蟲(chóng)放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營(yíng)養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始時(shí)草履蟲(chóng)以每天230.9%的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見(jiàn)圖3-6。

圖3-6Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對(duì)微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率r為一常數(shù)，（r被稱(chēng)為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。

用模擬近似法建立微分方程來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。

Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來(lái)研究其他實(shí)際問(wèn)題，只要這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。歷史背景:贗品的鑒定在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國(guó)出賣(mài)過(guò)藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫(huà)家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀(jì)荷蘭名畫(huà)家揚(yáng)·弗米爾（JanVeermeer）的油畫(huà)“捉奸”等賣(mài)給納粹德國(guó)戈林的中間人?？墒牵丁っ犯駛愒谕?月12日在牢里宣稱(chēng)：他從未把“捉奸”賣(mài)給戈林，而且他還說(shuō)，這一幅畫(huà)和眾所周知的油畫(huà)“在埃牟斯的門(mén)徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫(huà)和兩幅德胡斯（17世紀(jì)荷蘭畫(huà)家）的油畫(huà)，都是他自己的作品，這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界，為了證明自己是一個(gè)偽造者，他在監(jiān)獄里開(kāi)始偽造弗米爾的油畫(huà)“耶穌在門(mén)徒們中間”，當(dāng)這項(xiàng)工作接近完成時(shí)，范·梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫(huà)變陳，以免留下罪證。

為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國(guó)際專(zhuān)門(mén)小組查究這一事件。他們用X射線檢驗(yàn)畫(huà)布上是否曾經(jīng)有過(guò)別的畫(huà)。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗(yàn)油畫(huà)中有沒(méi)有歷經(jīng)歲月的跡象。科學(xué)家們終于在其中的幾幅畫(huà)中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫(huà)中檢驗(yàn)出了20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類(lèi)人工樹(shù)脂。根據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年?？墒撬诒O(jiān)獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。

歷史背景:

然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門(mén)徒”是范·梅格倫偽造的。事實(shí)上，在此之前這幅畫(huà)已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定為真跡，并以17萬(wàn)美元的高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買(mǎi)下。專(zhuān)家小組對(duì)于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒(méi)有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯的門(mén)徒”，來(lái)證明他高于三流畫(huà)家。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當(dāng)他看到這幅“在埃牟斯的門(mén)徒”多么容易賣(mài)掉以后，他在炮制后來(lái)的偽制品時(shí)就不太用心了

。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證明“在埃牟斯的門(mén)徒”的確是一個(gè)偽造品。這一問(wèn)題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學(xué)的科學(xué)家們

基本上解決。

歷史背景:原理與模型

測(cè)定油畫(huà)和其他巖石類(lèi)材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。

放射性現(xiàn)象：著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時(shí)間內(nèi)，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。

用N(t)表示時(shí)間t時(shí)存在的原子數(shù),則：

常數(shù)λ是正的，稱(chēng)為該物質(zhì)的衰變常數(shù)用λ來(lái)計(jì)算半衰期T:與負(fù)增長(zhǎng)的Malthus模型完全一樣

其解為:

令則有:許多物質(zhì)的半衰期已被測(cè)定，如碳14，其T=5568；鈾238，其T=45億年。與本問(wèn)題相關(guān)的其他知識(shí):

(1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達(dá)兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來(lái)的，而鉛又屬于鈾系，其演變簡(jiǎn)圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)）鈾238-45億年->釷234-24天->釙234-6/5分->鈾234-257億年->釷230-8萬(wàn)年->鐳226-1600年->氡222-19/5天->釙218-3分->鉛214-27分->釙214-<1s->鉛210-20年->鉍210-5天->釙210-138天->鉛206（一種非放射性物質(zhì)）注：時(shí)間均為半衰期

(3)從鉛礦中提煉鉛時(shí)，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有90—95%被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。

(2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補(bǔ)充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測(cè)量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬(wàn)分之2.7（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于2—3%的。簡(jiǎn)化假定：本問(wèn)題建模是為了鑒定幾幅不超過(guò)300年的古畫(huà)，為了使模型盡可能簡(jiǎn)單，可作如下假設(shè)：

(1)由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過(guò)300年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計(jì)算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個(gè)常數(shù)。

(2)鉛210的衰變?yōu)椋?/p>

鉛210T=22年釙210鉛206T=138天若畫(huà)為真品，顏料應(yīng)有300年左右或300年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙210的分解數(shù)等于鉛210的分解數(shù)（相差極微，已無(wú)法區(qū)別）?？捎们罢叽婧笳?，因釙的半衰期較短，易于測(cè)量。建模：

(1)記提煉白鉛的時(shí)刻為t=0，當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同。可以推算出當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于30000個(gè)。若則（個(gè)）這些鈾約重

（克）即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4%以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫(huà)上的鉛分解數(shù)大于該值，說(shuō)明畫(huà)是贗品；但若是小于不能斷定畫(huà)一定是真品。

(2)設(shè)t時(shí)刻1克白鉛中鉛210含量為y(t)，而鐳的單位時(shí)間分解數(shù)為r（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程：

由此解得：故：畫(huà)中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)λy(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測(cè)出，從而可求出λy0的近似值，并利用(1)判斷這樣的分解數(shù)是否合理。Carnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對(duì)部分有疑問(wèn)的油畫(huà)作了鑒定，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（見(jiàn)表3-1）。油畫(huà)名稱(chēng)210分解數(shù)（個(gè)/分）鐳226分解數(shù)（個(gè)/分）1、在埃牟斯的門(mén)徒

8.50.82、濯足12.60.263、看樂(lè)譜的女人10.30.34、演奏曼陀琳的女人8.20.175、花邊織工1.51.46、笑女5.26.0計(jì)算λy0

（個(gè)/分）980501571301273401022501274.8-10181表3-1對(duì)“在埃牟斯的門(mén)徒”，λy0≈98050（個(gè)/每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類(lèi)似可以判定（2），（3），（4）也是贗品。而（5）和（6）都不會(huì)是幾十年內(nèi)偽制品，因?yàn)榉派湫晕镔|(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀(jì)和二十世紀(jì)的任何作品中。判定結(jié)果：利用放射原理，還可以對(duì)其他文物的年代進(jìn)行測(cè)定。例如對(duì)有機(jī)物（動(dòng)、植物）遺體，考古學(xué)上目前流行的測(cè)定方法是放射性碳14測(cè)定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳14（C14）。有機(jī)物存活時(shí)，它們通過(guò)新陳代謝與外界進(jìn)行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的C14處于放射性平衡中。一旦有機(jī)物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過(guò)對(duì)比測(cè)定，可以估計(jì)出它們生存的年代。例如，1950年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，經(jīng)測(cè)定，其C14衰減數(shù)為4.09個(gè)/每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中C14衰減數(shù)為6.68個(gè)/每克每分鐘，C14的半衰期為5568年，由此可以推算出該王朝約存在于3900-4000年前。

新產(chǎn)品的推廣

經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷(xiāo)速度問(wèn)題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯煲銷(xiāo)售模型。

設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記t時(shí)刻已銷(xiāo)售出的電飯煲數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計(jì)籌算律：記比例系數(shù)為k，則x(t)滿足：

此方程即Logistic模型，解為：

還有兩個(gè)奇解:x=0和x=K

對(duì)x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)：x’(t)>0，即x(t)單調(diào)增加。令x’’(t0)=0，有當(dāng)t<t0時(shí)，x’(t)單調(diào)增加，當(dāng)t>t0時(shí)，x’(t)單調(diào)減小。在銷(xiāo)出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷(xiāo)售速度是不斷增大的，銷(xiāo)出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷(xiāo)，接著銷(xiāo)售速度將開(kāi)始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶(hù)到有80%用戶(hù)這段時(shí)期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。

傳染病模型傳染病是人類(lèi)的大敵，通過(guò)疾病傳播過(guò)程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。

醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)得病也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會(huì)相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明。

問(wèn)題的提出：設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時(shí)刻共有i人得病，t時(shí)刻已感染（infective）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給k個(gè)人（k稱(chēng)為該疾病的傳染強(qiáng)度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)模型1此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的推移，將越來(lái)越偏離實(shí)際情況。

已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類(lèi)中的個(gè)體則不加任何區(qū)分，來(lái)建立兩房室系統(tǒng)。

則可導(dǎo)出：故可得：

(3.15)

模型2記t時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為i(t)與s(t)，初始時(shí)刻的病人數(shù)為i。根據(jù)病人不死也不會(huì)康復(fù)的假設(shè)及（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）統(tǒng)計(jì)籌算律，其中：解得：（3.17）可得：（3.16）統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，(3.17)預(yù)報(bào)結(jié)果比(3.15)更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱(chēng)曲線為傳染病曲線，并稱(chēng)最大值時(shí)刻t1為此傳染病的流行高峰。令：得：此值與傳染病的實(shí)際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學(xué)上的預(yù)報(bào)公式。

模型2仍有不足之處，它無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)，模型預(yù)測(cè)最終所有人都得病，與實(shí)際情況不符。

為了使模型更精確，有必要再將人群細(xì)分，建立多房室系統(tǒng)infectiverecoveredsusceptiblekl

（3.18）

l稱(chēng)為傳染病恢復(fù)系數(shù)求解過(guò)程如下：

對(duì)（3）式求導(dǎo)，由（1）、（2）得：解得：記：

則：將人群劃分為三類(lèi)（見(jiàn)右圖）：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者（recovered）。分別記t時(shí)刻的三類(lèi)人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)，則可建立下面的三房室模型：模型3infectiverecoveredsusceptiblekl

由(1)式可得：

從而解得：積分得：（3.19）

不難驗(yàn)證，當(dāng)t→+∞時(shí)，r(t)趨向于一個(gè)常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。

為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.18）中的第（1）式改寫(xiě)成：其中通常是一個(gè)與疾病種類(lèi)有關(guān)的較大的常數(shù)。下面對(duì)

進(jìn)行討論，請(qǐng)參見(jiàn)右圖如果，則有，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來(lái)。如果，則開(kāi)始時(shí)，i(t)單增。但在i(t)增加的同時(shí)，伴隨地有s(t)單減。當(dāng)s(t)減少到小于等于時(shí)，i(t)開(kāi)始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。鑒于在本模型中的作用，被醫(yī)生們稱(chēng)為此疾病在該地區(qū)的閥值。的引入解釋了為什么此疾病沒(méi)有波及到該地區(qū)的所有人。圖3-14

綜上所述，模型3指出了傳染病的以下特征：（1）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過(guò)閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。（2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因?yàn)槿鄙賯鞑フ卟磐Ｖ箓鞑サ模駝t將導(dǎo)致所有人得病。（3）種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。

模型檢驗(yàn)：

醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)r(t)來(lái)統(tǒng)計(jì)疾病的波及人數(shù)，從廣義上理解，r(t)為t時(shí)刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)模型并無(wú)影響。及：注意到：可得：（3.20）

通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)太大，故一般是小量。利用泰勒公式展開(kāi)取前三項(xiàng)，有：

代入（3.20）得近似方程：積分得：其中：這里雙曲正切函數(shù)：而：對(duì)r(t)求導(dǎo)：（3.21）曲線

在醫(yī)學(xué)上被稱(chēng)為疾病傳染曲線。圖3-14給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實(shí)際登錄數(shù)進(jìn)行比較擬合得最優(yōu)曲線。圖3-14（a）穩(wěn)定性問(wèn)題

在研究許多實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時(shí)間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢(shì)。例如，在研究某頻危種群時(shí)，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會(huì)絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問(wèn)題。要解決這類(lèi)問(wèn)題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。一般的微分方程或微分方程組可以寫(xiě)成：定義

稱(chēng)微分方程或微分方程組

為自治系統(tǒng)或動(dòng)力系統(tǒng)。(3.28)

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱(chēng)點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。

本章第2節(jié)中的Logistic模型

共有兩個(gè)平衡點(diǎn)：N=0和N=K，分別對(duì)應(yīng)微分方程的兩兩個(gè)特殊解。前者為No=0時(shí)的解而后者為No=K時(shí)的解。

當(dāng)No<K時(shí)，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當(dāng)No>K時(shí)，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱(chēng)為軌線）將趨于K。這說(shuō)明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1

自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標(biāo)的空間Rn。特別，當(dāng)n=2時(shí)，稱(chēng)相空間為相平面。空間Rn的點(diǎn)集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱(chēng)為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱(chēng)為相圖。定義2

設(shè)x0是（3.28）的平衡點(diǎn)，稱(chēng)：

（1）x0是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的ε>0，存在一個(gè)δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對(duì)所有的t都成立。

（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過(guò)解析方法來(lái)討論，所用工具為以下一些定理。

（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點(diǎn)N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0則是不穩(wěn)定的。

解析方法定理1設(shè)xo是微分方程的平衡點(diǎn)：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當(dāng)x與xo充分接近時(shí)，有：由于xo是平