大學數(shù)學(二)-向量空間

匯報人：AA2024-01-24大學數(shù)學(二)-向量空間目錄CONTENTS向量空間基本概念向量空間中的線性變換內積空間與正交性線性方程組求解與應用特征值問題與二次型化簡總結回顧與拓展延伸01向量空間基本概念向量是既有大小又有方向的量，常用帶箭頭的線段表示，線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量定義向量空間是一個集合，其中的元素被稱為向量，且滿足特定的運算規(guī)則。具體來說，一個向量空間需要滿足加法封閉性、數(shù)乘封閉性、加法交換律、加法結合律、數(shù)乘分配律等性質。向量空間定義向量與向量空間定義向量線性組合若向量組中的每個向量都可以表示為其他向量的線性組合，則稱該向量組線性相關；否則稱該向量組線性無關。線性相關性判定對于給定的向量組，可以通過求解線性方程組來判斷其線性相關性。若方程組有非零解，則向量組線性相關；若方程組只有零解，則向量組線性無關。向量線性組合與線性相關性向量空間基與維數(shù)向量空間基向量空間的一個極大線性無關組稱為該空間的基?；械南蛄總€數(shù)稱為向量空間的維數(shù)。維數(shù)性質對于有限維向量空間，其任意兩個基所含向量的個數(shù)相等，即維數(shù)是唯一的。此外，若一個向量空間的維數(shù)為n，則它等價于n維行向量空間或n維列向量空間。設W是數(shù)域F上的n維向量空間V的一個非空子集，若W對于V的加法和數(shù)乘運算也構成數(shù)域F上的向量空間，則稱W是V的一個子空間。子空間必須包含零向量；子空間對加法和數(shù)乘封閉；子空間的交與和仍是子空間。子空間及其性質子空間性質子空間定義02向量空間中的線性變換線性變換定義：設V和W是數(shù)域F上的向量空間，T是V到W的一個映射，若T滿足對V中任意向量α，β和F中任意數(shù)k，都有T(α+β)=T(α)+T(β)，T(kα)=kT(α)，則稱T是V到W的線性變換。線性變換性質T(0)=0，T(-α)=-T(α)；若k1，k2為數(shù)，α1，α2為向量，則T(k1α1+k2α2)=k1T(α1)+k2T(α2)；若α1，...，αs線性相關，則T(α1)，...，T(αs)也線性相關；若V中向量組α1，...，αs能由向量組β1，...，βr線性表示出來，則T(α1)，...，T(αs)能由T(β1)，...，T(βr)線性表示出來。線性變換定義與性質線性變換矩陣定義：設V和W是數(shù)域F上的n維向量空間，T是V到W的一個線性變換，在V和W中分別取定基α1，...，αn和基β1，...，βn，于是V中任一向量α可表為α=x1α1+...+xnαn，記作X=(x1,...,xn)T，稱X為α在基α1，...，αn下的坐標。若W中向量T(α)在基β1，...，βn下的坐標為Y=(y1,...,yn)T，則按定義有T(α)=y1β1+...+ynβn。線性變換矩陣性質線性變換矩陣A唯一；若數(shù)域F上的n維向量空間V中取定基α1，...，αn，則V上的任一線性變換都可由一個n階矩陣A唯一確定；若數(shù)域F上的n維向量空間V、W中分別取定基，則V到W的任一線性變換都可由一個n階矩陣A唯一確定。0102030405線性變換矩陣表示法特征值與特征向量定義：設A是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量x，使得Ax=mx成立，則稱m是A的一個特征值（characteristicvalue)，非零n維列向量x稱為矩陣A的對應于（或屬于）特征值m的特征向量或本征向量（eigenvector)。特征值與特征向量性質不同特征值對應的特征向量線性無關；相似矩陣具有相同的特征多項式；若λ1,λ2,...,λn是方陣A的n個特征值,p1,p2,...,pn依次是與之對應的特征向量,則p1,p2,...,pn線性無關,即不相同得特征值對應的特征向量線性無關。0102030405特征值與特征向量設A、B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使P^(-1)AP=B，則稱B是A的相似矩陣,并稱矩陣A與B相似，記為A~B。對進行運算稱為對進行相似變換，稱可逆矩陣為相似變換矩陣。相似矩陣定義如果一個方塊矩陣A相似于對角矩陣，也就是說，如果存在一個可逆矩陣P使得P^?1AP是對角矩陣，則它就被稱為可對角化的。對角化定義相似矩陣及對角化01對角化性質02n階矩陣A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量；03若n階矩陣A有n個不同的特征值，則A必能相似于對角矩陣；04當A的特征方程有重根時，就不一定有n個線性無關的特征向量，從而未必能對角化。相似矩陣及對角化03內積空間與正交性對于向量空間V中的任意兩個向量α和β，存在一個實數(shù)<α,β>，滿足以下性質內積定義<α,β>=<β,α>對稱性<kα,β>=k<α,β>，<α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>線性性010203內積定義及性質03正定性強化了非負性僅當α=0時，<α,α>=001正定性<α,α>≥0，且<α,α>=0當且僅當α=002非負性對于任意向量α，有<α,α>≥0內積定義及性質<α,β>=<β,α>的共軛對稱性<kα+β,γ>=k<α,γ>+<β,γ>線性性內積定義及性質正交基：在n維歐幾里得空間中，由n個向量組成的基，如果向量兩兩正交，則稱該基為正交基。正交補：設W是V的一個子空間，W的正交補W⊥是V中所有與W正交的向量的集合。W⊥也是一個子空間，并且與W正交。性質若{α1,α2,...,αr}是正交基，則它是線性無關的。若{α1,α2,...,αr}是正交基，且都是單位向量，則它是標準正交基。在n維歐幾里得空間中，任意n個線性無關的向量都可以施密特正交化為一組正交基。正交基與正交補對稱變換：設σ是V到V的一個線性變換，如果存在V的一個基，使得σ在這個基下的矩陣是對稱的，則稱σ為對稱變換。性質對稱變換的矩陣是對稱的。正交變換保持向量的長度和夾角不變。正交變換：設σ是V到V的一個線性變換，如果對于V中任意兩個向量α和β，都有<σ(α),σ(β)>=<α,β>，則稱σ為正交變換。正交變換和對稱變換01正交矩陣：如果n階方陣A滿足A'A=E（E為單位矩陣），則稱A為正交矩陣。02性質03A的各行（或各列）向量都是單位向量且兩兩正交。04A'也是正交矩陣。05|A|=1或|A|=-1。06正交矩陣的逆矩陣等于其轉置矩陣。正交矩陣及其性質04線性方程組求解與應用通過對方程進行變換，消去某些未知數(shù)，從而使問題簡化。消元法利用行列式的性質，直接求解線性方程組的解?？死▌t將線性方程組表示為矩陣形式，通過矩陣運算求解。矩陣法線性方程組求解方法回顧VS通過對方程進行初等行變換，將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，從而求解線性方程組。主元素消元法在高斯消元法的基礎上，選取每列的主元素進行消元，以避免出現(xiàn)分母為零的情況。高斯消元法高斯消元法和主元素消元法克拉默法則對于n個未知數(shù)的n個線性方程組成的方程組，如果系數(shù)行列式D不等于零，則方程組有唯一解，且每個未知數(shù)的解都可以用系數(shù)行列式表示。逆矩陣法如果系數(shù)矩陣A可逆，則線性方程組的解可以表示為A的逆矩陣與常數(shù)向量的乘積?？死▌t和逆矩陣法從給定的初始值出發(fā)，通過逐步迭代逼近精確解。適用于大型稀疏線性方程組，計算量相對較小。通過有限步運算直接求得精確解。適用于中小型稠密線性方程組，計算精度較高。迭代法直接法迭代法和直接法比較05特征值問題與二次型化簡特征多項式法通過求解特征多項式得到特征值，適用于小規(guī)模問題。冪法通過迭代計算矩陣的冪來逼近最大特征值和對應特征向量，適用于大規(guī)模稀疏矩陣。反冪法通過求解逆矩陣的冪來逼近最小特征值和對應特征向量，適用于大規(guī)模稠密矩陣。特征值問題求解方法通過配方將二次型化為標準型，適用于二次型中不含交叉項的情況。配方法通過正交變換將二次型化為標準型，適用于二次型中含有交叉項的情況。正交變換保持向量的長度和夾角不變，因此化簡后的標準型具有更好的性質。正交變換法二次型化簡為標準型正定二次型和半正定二次型對于任意非零向量x，都有f(x)>0，則稱f為正定二次型。正定二次型的矩陣A的所有特征值均為正數(shù)，且存在可逆矩陣C使得A=C'C。正定二次型對于任意向量x，都有f(x)≥0，則稱f為半正定二次型。半正定二次型的矩陣A的所有特征值均為非負數(shù)，但不一定存在可逆矩陣C使得A=C'C。半正定二次型123在回歸分析中，通過最小化殘差平方和來求解回歸系數(shù)，可轉化為求解二次型的最小值問題。最小二乘法在約束條件下求解目標函數(shù)的最小值或最大值，可通過拉格朗日乘數(shù)法將問題轉化為求解二次型的極值問題。約束優(yōu)化問題在圖像處理中，可通過二次型來描述像素之間的相似性或差異性，進而實現(xiàn)圖像分割、邊緣檢測等任務。圖像處理二次型在優(yōu)化問題中應用06總結回顧與拓展延伸向量的線性組合向量空間中任意向量可以由其他向量通過線性組合得到。向量空間的子空間向量空間的子空間是原向量空間的一個子集，且滿足加法封閉性和數(shù)乘封閉性。向量空間的基與維數(shù)向量空間的基是一組線性無關的向量，能夠生成整個向量空間?；邢蛄康膫€數(shù)稱為向量空間的維數(shù)。向量空間定義向量空間是由一組向量構成的集合，滿足加法封閉性和數(shù)乘封閉性，同時存在零元和負元。關鍵知識點總結回顧認為所有向量集合都是向量空間。實際上，只有滿足向量空間定義的向量集合才是向量空間。誤區(qū)一誤區(qū)二易錯點一易錯點二忽視零元和負元的存在。在向量空間中，零元和負元是不可或缺的，否則將不滿足向量空間的定義。在計算向量的線性組合時，容易忽略系數(shù)取值的任意性，從而導致計算錯誤。在確定向量空間的基和維數(shù)時，容易忽略基中向量的線性無關性和生成性，從而導致判斷錯誤。常見誤區(qū)及易錯點