2024屆上海市靜安區(qū)豐華中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆上海市靜安區(qū)豐華中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．2．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．3．設(shè)集合，則A． B． C． D．4．設(shè)是虛數(shù)單位，條件復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，條件，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，設(shè)其樣本點為，回歸直線方程為，若，（為原點），則（）A． B． C． D．6．已知，且，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．7．設(shè)是實數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件8．曲線在點處的切線方程是

A． B．C． D．9．已知兩變量x和y的一組觀測值如下表所示：x234y546如果兩變量線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則＝()A．－ B．－C． D．10．若，則的值為（）A． B． C． D．11．我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲－15飛機準(zhǔn)備著艦．如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A．12種 B．18種 C．24種 D．48種12．“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)滿足條件則的取值范圍為____________.14．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，，則．15．若，則a4+a2+a0＝_____16．在中，是角A，B，C的對邊，己知，現(xiàn)有以下判斷：①的外接圓面積是；②；③可能等于16；④作A關(guān)于BC的對稱點，則的最大值是.請將所有正確的判斷序號填在橫線上________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線的方程為，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）求直線與圓的交點的極坐標(biāo)；（2）若為圓上的動點，求到直線的距離的最大值．18．（12分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝t，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz．（1）若t＝1，求異面直線AC1與A1B所成角的大??；（2）若t＝5，求直線AC1與平面A1BD所成角的正弦值；（3）若二面角A1—BD—C的大小為120°，求實數(shù)t的值.19．（12分）如圖，在棱長為1的正方體中，點在上移動，點在上移動，，連接.（1）證明：對任意，總有∥平面；（2）當(dāng)?shù)拈L度最小時，求二面角的平面角的余弦值．20．（12分）雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）雙曲線上有兩個點，直線和的斜率之積為，判別是否為定值，；（3）經(jīng)過點的直線且與雙曲線有兩個交點，直線的傾斜角是，是否存在直線（其中）使得恒成立？（其中分別是點到的距離）若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.21．（12分）已知、為橢圓的左右焦點，是坐標(biāo)原點，過作垂直于軸的直線交橢圓于．（1）求橢圓的方程；（2）若過點的直線與橢圓交于、兩點，若，求直線的方程．22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點在直線l：上．（1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C的相交于點A、B，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

試題分析：由，，可知2、D【解題分析】

首先解出集合，，由集合基本運算的定義依次對選項進行判定?！绢}目詳解】由題可得，；所以，則選項正確；故答案選D【題目點撥】本題考查一元二次方程、絕對值不等式的解法以及集合間基本運算，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解題分析】由題意，故選A.點睛:集合的基本運算的關(guān)注點：(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．4、A【解題分析】

復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，必有利用充分條件與必要條件的定義可得結(jié)果.【題目詳解】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，必有所以由能推出；但若,不能推出復(fù)數(shù)是純虛數(shù).所以由不能推出.，因此是充分不必要條件,故選A.【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念以及充分條件與必要條件的定義，屬于簡單題.判斷充要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.5、D【解題分析】

計算出樣本中心點的坐標(biāo)，將該點坐標(biāo)代入回歸直線方程可求出實數(shù)的值.【題目詳解】由題意可得，，將點的坐標(biāo)代入回歸直線方程得，解得，故選D.【題目點撥】本題考查利用回歸直線方程求參數(shù)的值，解題時要熟悉“回歸直線過樣本中心點”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

分析：由推導(dǎo)出，從而，由此能求出向量在向量方向上的投影.詳解：，且，，，向量在向量方向上的投影為，故選C.點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.7、B【解題分析】

求解不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可．【題目詳解】解：設(shè)是實數(shù)，若“”則：，即：，不能推出“”若：“”則：，即：，能推出“”由充要條件的定義可知：是實數(shù)，則“”是“”的必要不充分條件；故選：B．【題目點撥】本題考查了充分條件和必要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線方程的斜率，即可得到切線方程．【題目詳解】曲線，解得y′=ex+xex，所以在點(2,1)處切線的斜率為1．曲線在點（2，1）處的切線方程是：y﹣1=x．即x﹣y+1=2．故選A．【題目點撥】本題考查曲線的切線方程的求法，考查計算能力9、D【解題分析】

先計算＝＝3，＝＝5，代入方程即可．【題目詳解】＝＝3，＝＝5，代入線性回歸方程可得5＝3＋，解之得＝.故選D【題目點撥】線性回歸直線必過樣本中心．10、A【解題分析】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2選A11、C【解題分析】試題分析：先將甲、乙兩機看成一個整體，與另外一機進行全排列，共有種排列方法，且留有三個空；再從三個位置中將丙、丁兩機進行排列，有種方法；由分步乘法計數(shù)原理，得不同的著艦方法有種.考點：排列組合.12、A【解題分析】

若方程表示雙曲線，則有，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.【題目詳解】因為方程表示雙曲線等價于，所以“”，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.【題目點撥】本題考查充分條件與必要條件以及雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)滿足條件畫出可行域，然后分析的最值詳解：滿足條件即，畫出可行域：根據(jù)可行域可知，目標(biāo)函數(shù)在A點處取得最小值，在C點處取得最大值，所以的取值范圍為點睛：點睛：線性規(guī)劃要能夠準(zhǔn)確畫出可行域，尤其是判斷每一個不等式代表的是直線的左側(cè)還是右側(cè)時不能出錯，常用帶點方法判斷比較準(zhǔn)確。14、0.8【解題分析】分析：先根據(jù)正態(tài)分布曲線對稱性求，再根據(jù)求結(jié)果.詳解：因為正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，所以,因此點睛：利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.15、1【解題分析】

利用特殊值法，令x＝0，1，﹣1，將所得結(jié)果進行運算可得解．【題目詳解】令x＝0，可得a0＝1；令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝1，即a1+a2+a3+a4＝0①；令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝81，即﹣a1+a2﹣a3+a4＝80②，將①和②相加可得，2（a2+a4）＝80，所以a2+a4＝40，所以a0+a2+a4＝1．故答案為1．【題目點撥】本題考查二項式展開式的系數(shù)的求解方法：賦值法，對題目中的x合理賦值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、①②④【解題分析】

根據(jù)題目可知，利用正弦定理與三角恒等變換逐個分析即可判斷每個命題的真假．【題目詳解】①設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理，可得，所以的外接圓面積是，故①正確．②根據(jù)正弦定理，利用邊化角的方法，結(jié)合，可將原式化為，故②正確．③，故③錯誤．④設(shè)到直線的距離為，根據(jù)面積公式可得，即，再根據(jù)①中的結(jié)論，可得，故④正確．綜上，答案為①②④．【題目點撥】本題是考查三角恒等變換與解三角形結(jié)合的綜合題，解題時應(yīng)熟練掌握運用三角函數(shù)的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式以及正余弦定理、面積公式等．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)對應(yīng)的極坐標(biāo)分別為，(2)【解題分析】

（I）由圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），利用cos2θ+sin2θ=1化為普通方程，與直線方程聯(lián)立解得交點坐標(biāo)，利用可得極坐標(biāo)．（II）圓心（0，2）到直線l的距離為d1，可得P到直線l的距離d的最大值為d1+r．【題目詳解】解：（I）直線:,圓:聯(lián)立方程組,解得或?qū)?yīng)的極坐標(biāo)分別為,.（II）設(shè),則,當(dāng)時,取得最大值.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、(1).(2).(3).【解題分析】分析：（1）先根據(jù)坐標(biāo)表示向量，，再利用向量數(shù)量積求向量夾角，即得異面直線與所成角，（2）先利用方程組解得平面的一個法向量，利用向量數(shù)量積得向量夾角余弦值，再根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系得結(jié)果，（3）先利用方程組解得平面以及平面的一個法向量，利用向量數(shù)量積得法向量夾角余弦值，再根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關(guān)系得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時，，，，，，則，，故，所以異面直線與所成角為．（2）當(dāng)時，，，，，，則，，設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，設(shè)與平面所成角為，因為，則，所以與平面所成角的正弦值為．（3）由得，，，設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，又平面的法向量，故，解得，由圖形得二面角大于，所以符合題意．所以二面角的大小為，的值為．點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

作∥，交于點，作∥，交于點，連接.通過證明四邊形為平行四邊形,可得∥,再根據(jù)直線與平面平行的判斷定理可證.(2)根據(jù)題意計算得,再配方可得取最小值時分別為的中點,再取為,連接，，,可得是二面角的平面角,再計算可得.【題目詳解】（1）證明：如圖，作∥，交于點，作∥，交于點，連接.由題意得∥，且，則四邊形為平行四邊形.∴∥.又∵，，∴∥.（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，∴.∵，∴.∵，∴，.即，故當(dāng)時，的長度有最小值．分別取，的中點、，連接，，．易知，，故是二面角的平面角在中，．所以.【題目點撥】本題考查了直線與平面平行的判定定理,以及二面角,屬中檔題.20、（1）；（2）8；（3）存在且【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為.易求求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線的斜率，顯然，聯(lián)立得，求出，，可證；（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立，（*），∵，方程總有兩個解，設(shè)，得到，根據(jù)得，整理得，由，則符合題目要求，存在直線．詳解：（1）雙曲線；（2）設(shè)直線的斜率，顯然，聯(lián)立得，，，；（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立，（*），∵，方程總有兩個解，設(shè)，，根據(jù)得，整理得，∵，∴符合題目要求，存在直線．點睛：本題考查雙曲線的求法，直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬難題.21、（1）；（2）或【解題分析】

（1）根據(jù)點坐標(biāo)，結(jié)合，求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）當(dāng)軸時，求得兩點的坐標(biāo)，計算出.當(dāng)不垂直軸時，設(shè)出直線的方程，