吉林省長春市“BEST合作體”2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題含解析

吉林省長春市“BEST合作體”2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．二項(xiàng)式(ax-36)3(a>0)的展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為A．3B．73C．3或73D．32．已知，，，（e為自然對數(shù)的底）則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．4．已知雙曲線方程為，它的一條漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．已知，，，若>恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A．或 B．或C． D．6．已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．7．已知函數(shù)f（x）＝2x－1，（a∈R），若對任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知命題p：?x0>0，使得(A．?x≤0，總有(x+2)ex≥1 B．C．?x>0，總有(x+2)ex≥1 D．9．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為()A． B．1 C．6 D．910．若a>b>c,ac<0，則下列不等式一定成立的是A．a(chǎn)b>0 B．bc<0 C．a(chǎn)b>ac D．b(a-c)>011．一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，若從中任取2個(gè)球，則這2個(gè)球中有白球的概率是A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)的極小值為，則下列判斷正確的是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正三棱錐中，，，記二面角，的平面角依次為，，則______．14．設(shè)函數(shù)，.若，且的最小值為-1，則實(shí)數(shù)的值為__________．15．若的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為-121，則n=___________。16．已知函數(shù)fx=x?lnx，且0<x1<x2，給出下列命題：①fx1-f三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)且，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處切線的斜率；（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)．18．（12分）已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為.（1）求；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．19．（12分）將一枚六個(gè)面的編號(hào)為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后擲兩次，記第一次出的點(diǎn)數(shù)為，第二次出的點(diǎn)數(shù)為，且已知關(guān)于、的方程組.（1）求此方程組有解的概率；（2）若記此方程組的解為，求且的概率.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的值，并求定點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之積.21．（12分）如圖，已知單位圓上有四點(diǎn)，，，，其中，分別設(shè)的面積為和.（1）用表示和；（2）求的最大值及取最大值時(shí)的值．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓的方程為.（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若，圓與直線交于兩點(diǎn)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：∵展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為-32，∴C31a2(-當(dāng)a=1時(shí)，-2a考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理、積分的運(yùn)算.2、A【解題分析】

根據(jù)條件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的換底公式，考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得，然后比較大小，利用函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【題目詳解】由題意可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，∴函數(shù)的零點(diǎn)，又函數(shù)的零點(diǎn)，，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查零點(diǎn)存在性定理以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較式子大小，難點(diǎn)在于判斷的范圍，屬基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】方法一：雙曲線的漸近線方程為，則，圓的方程，圓心為，所以，化簡可得，則離心率.方法二：因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，則有平行線的對應(yīng)成比例可得知，即則離心率為.選A.5、C【解題分析】分析：用“1”的替換先解的最小值，再解的取值范圍。詳解：，所以的解集為，故選C點(diǎn)睛：已知二元一次方程，求二元一次分式結(jié)構(gòu)的最值，用“1”的替換是均值不等式的應(yīng)用，構(gòu)造出的模型，再驗(yàn)證條件。6、D【解題分析】

先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進(jìn)而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【題目詳解】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點(diǎn)，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點(diǎn)，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決．7、C【解題分析】

對a分a=0,a＜0和a＞0討論，a＞0時(shí)分兩種情況討論，比較兩個(gè)函數(shù)的值域的關(guān)系，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）＝2x－1的值域?yàn)閇1,+∞），函數(shù)的值域?yàn)閇0,++∞），滿足題意.當(dāng)a＜0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇a+2,-a+2],因?yàn)閍+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此時(shí)函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?a,+∞）,由題得2a＜1，即a＜，即a＜0.當(dāng)a＞0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇-a+2,a+2],當(dāng)a≥時(shí)，-a+2≤2a,由題得.當(dāng)0＜a＜時(shí)，-a+2＞2a，由題得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.綜合得a的范圍為a＜或1≤a≤2，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8、C【解題分析】

原命題為特稱命題，則其否定為全稱命題，即可得到答案【題目詳解】∵命題p：?x0∴?p：?x>0，總有(x+2)故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是命題及其關(guān)系，命題的否定是對命題結(jié)論的否定，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖像求得結(jié)果【題目詳解】解：畫出實(shí)數(shù)滿足約束條件表示的可行域，由得，則表示直線在軸上的截距，截距越大，越大，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線由圖可知將直線向上平移，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為所以的最大值為故選：D【題目點(diǎn)撥】此題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域，考查數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值.10、C【解題分析】

取特殊值a=1,b=0,c=-1進(jìn)行驗(yàn)證即可?！绢}目詳解】取a=1,b=0,c=-1代入，排除A、B、D，故選：C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查不等式的基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)、特殊值法是兩種常用方法，但在利用特殊值法時(shí)取特殊值時(shí)要全面。11、B【解題分析】

先計(jì)算從中任取2個(gè)球的基本事件總數(shù)，然后計(jì)算這2個(gè)球中有白球包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這2個(gè)球中有白球的概率．【題目詳解】解：一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，將4紅球編號(hào)為1，2，3，4；2個(gè)白球編號(hào)為5，1．從中任取2個(gè)球，基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，1}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，1}，{3，4}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}，共15個(gè)，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“兩個(gè)球中有白球”這一事件，則A包含的基本事件有：{1，5}，{1，1}，{2，5}，{2，1}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}共9個(gè)，這2個(gè)球中有白球的概率是．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，利用求得極值點(diǎn)，再檢驗(yàn)是否為極小值點(diǎn)，從而求得極小值的范圍.【題目詳解】令，得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的極小值點(diǎn)為，所以的極小值為，又．∵，∴，∴．選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值的關(guān)系，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

作平面ABC，連接CO延長交AB于點(diǎn)D，連接可得D為AB的中點(diǎn)，，于是二面角的平面角為作，垂足為E點(diǎn)，連接BE，根據(jù)≌，可得可得為的平面角，利用余弦定理即可得出．【題目詳解】如圖所示，作平面ABC，連接CO延長交AB于點(diǎn)D，連接PD．則D為AB的中點(diǎn)，，．二面角的平面角為．，，，．．作，垂足為E點(diǎn)，連接BE，≌，．為的平面角，．．在中，．．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正三棱錐的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、余弦定理、勾股定理、二面角、三角形全等，屬于難題．14、2【解題分析】分析：先表示函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，最后根據(jù)的最小值為-1得實(shí)數(shù)的值.詳解：因?yàn)?，設(shè)，則所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)睛：兩函數(shù)關(guān)系問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式或方程，從而求出參數(shù)的取值范圍或值.15、5【解題分析】

令和，作和即可得到奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和，從而構(gòu)造出方程解得結(jié)果.【題目詳解】令得：令得：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為：，解得：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題，關(guān)鍵是采用賦值的方式快速得到系數(shù)和.16、②③【解題分析】

根據(jù)每一個(gè)問題構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷命題正誤.【題目詳解】∵f當(dāng)0<x<1e時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)x>1e時(shí)，f'(x)>0，①令g(x)=f(x)-x=xlnx-x，則g'(x)=ln∴g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增，當(dāng)x2>x∴f(x2)-②令g(x)=f(x)x=lnx∵0<x1<x2③當(dāng)lnx>-1時(shí)，則x>1e，∴f(x)在(∴x1f(∴x④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x，則∴x∈(0,1e2)時(shí)，h'設(shè)x1,x2∈(0,∴x【題目點(diǎn)撥】證明函數(shù)不等式問題，經(jīng)常與函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性有關(guān).解決問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造什么樣函數(shù)？三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)，根據(jù)a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．（2）由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0，我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，分別在每個(gè)區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可得到函數(shù)函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．試題解析：(1)由已知得x>0.當(dāng)a＝2時(shí)，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(a,1)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．此時(shí)x＝a時(shí)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)．②當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，a)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．此時(shí)x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的極小值點(diǎn)．綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，x＝a是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)；當(dāng)a>1時(shí)，x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的極小值點(diǎn)．點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，屬于中檔題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值.18、（1）8；（2）.【解題分析】

⑴觀察可知，展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，即，解出得到的值⑵利用二次展開式中的第項(xiàng)，即通項(xiàng)公式，將第一問的代入，并整理，令的次數(shù)為，解出，得到答案【題目詳解】（1）由題意，得，即＝256，解得n＝8.（2）該二項(xiàng)展開式中的第項(xiàng)為Tr＋1＝，令＝0，得r＝2，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為＝28.【題目點(diǎn)撥】本題主要考的是利用賦值法解決展開式的系數(shù)和問題，考查了利用二次展開式的通項(xiàng)公式解決二次展開式的特定項(xiàng)問題。19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先根據(jù)方程組有解得關(guān)系，再確定取法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果；（2）先求方程組解，再根據(jù)解的情況得關(guān)系，進(jìn)而確定取法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.【題目詳解】（1）因?yàn)榉匠探M有解，所以而有這三種情況，所以所求概率為；（2）因?yàn)榍?，所以因此即有種情況，所以所求概率為；【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率以及二元一次方程組的解，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20、（Ⅰ）直線的普通方程，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）.【解題分析】